紙飛機(jī)拋出的最佳角度及重心位置數(shù)學(xué)建模

董曉紅 康平

摘 要：本文假設(shè)紙飛機(jī)比賽可以調(diào)整配重來(lái)改變重心，例如可以使用少量膠帶粘貼在機(jī)身上，調(diào)整重心的前后位置，同時(shí)需要考慮紙飛機(jī)滯空時(shí)間盡可能長(zhǎng)，設(shè)計(jì)最佳重心位置和出手角度。

關(guān)鍵詞：紙飛機(jī);重心位置;數(shù)學(xué)建模

1 問(wèn)題分析

假設(shè)紙飛機(jī)翼面為精確平面，且比賽需要可以調(diào)整配重來(lái)改變重心，研究重心的位置對(duì)紙飛機(jī)的影響，以及紙飛機(jī)穩(wěn)定性、受力，隨重心位置的改變情況，從而得重心的最佳位置。

2 問(wèn)題的求解

2.1 重心對(duì)紙飛機(jī)的影響

若紙飛機(jī)的重心偏前：紙飛機(jī)前部就會(huì)向下俯沖，飛行距離就會(huì)減小，提前向下墜落;若紙飛機(jī)的重心偏后：紙飛機(jī)加速上升，重力增大，阻力也增大，紙飛機(jī)會(huì)快速墜落。因此在在紙飛機(jī)的折疊過(guò)程中，應(yīng)盡可能將重心放置最佳升力點(diǎn)的位置上，這樣才能維持飛機(jī)飛行的穩(wěn)定性和飛行時(shí)間。

2.2 升力來(lái)源

升力來(lái)源為空氣對(duì)機(jī)翼反作用力的向上分力，若分力在機(jī)翼表面均勻分布，則例如三角形機(jī)翼，升力的合力應(yīng)該在飛機(jī)機(jī)翼的幾何重心位置產(chǎn)生作用力。

2.3 機(jī)翼面積的影響

若增大紙飛機(jī)的機(jī)翼面積，則空氣對(duì)機(jī)翼的反作用力增大，升力及阻力都增大。

若機(jī)翼的水平夾角小于45°，空氣對(duì)機(jī)翼的力量影響較大，仰角大于45°，影響阻力增大。

機(jī)翼面積增大，升力會(huì)變大，同時(shí)單位面積的重量越小，重量的增量越小。相對(duì)因素變小導(dǎo)致慣性變小，向前的動(dòng)力也會(huì)受阻力影響而變小。

2.4 紙飛機(jī)的飛行距離與拋出角度的關(guān)系

當(dāng)θ=45°此時(shí)紙飛機(jī)的升力達(dá)到最大值，使紙飛機(jī)從最高處向下滑翔（此時(shí)不考慮其他因素對(duì)紙飛機(jī)影響），而使飛機(jī)達(dá)到最遠(yuǎn)的飛行距離。

先制作了幾組飛機(jī)，每一組盡可能的折出多種不同的形狀或結(jié)構(gòu)的紙飛機(jī)，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，將測(cè)量的數(shù)據(jù)記錄下來(lái)。然后改進(jìn)、調(diào)整紙飛機(jī)，如將紙飛機(jī)增大或增重，做第二次試驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：保持第一組飛機(jī)其他量不變，體積增大，飛行速度明顯減小，飛行距離也大大縮短;其他因素不變，增大質(zhì)量會(huì)使飛行速度加大，飛行距離更遠(yuǎn);整體上飛行速度略有減慢但飛行距離略有增加。

2.5 問(wèn)題的求解

2.5.1 常見(jiàn)紙飛機(jī)類(lèi)型分析

簡(jiǎn)易型：機(jī)身長(zhǎng)度約為29.6cm;機(jī)翼翼展約為14.1cm;重心位置約為距機(jī)頭13～14cm;無(wú)襟翼、翼梢小翼和尾翼;機(jī)翼剖面為上凸形的弧線(xiàn)，翼身合一，可提升升力，但穩(wěn)定性差;拋出方式影響飛機(jī)的穩(wěn)定性，高速投擲時(shí)，飛行距離較大、方向性較準(zhǔn)確。

傳統(tǒng)型：機(jī)身長(zhǎng)度約為18.1cm，機(jī)翼翼展約為15.3cm;重心位置約為距機(jī)頭6～7cm;無(wú)襟翼、翼梢小翼和尾翼;翼身合一，機(jī)翼剖面為下凹形的弧線(xiàn)，比簡(jiǎn)易型重心前移。

平穩(wěn)性強(qiáng)于簡(jiǎn)易型，但會(huì)出現(xiàn)上揚(yáng)和回旋，投擲初速度過(guò)大，則出現(xiàn)明顯回旋，穩(wěn)定性較差，投擲時(shí)小力拋出才能保持相對(duì)平穩(wěn)飛行。

DC-03型：機(jī)身長(zhǎng)度約為22.3cm，機(jī)翼翼展約為151cm，重心位置約為距機(jī)頭5～5.5cm;無(wú)襟翼，有翼梢小翼和尾翼，翼身部分合一，但機(jī)尾部分分離;在傳統(tǒng)型的基礎(chǔ)上，重心前移更多，同時(shí)機(jī)尾向后延伸，且幅度較大;穩(wěn)定性比前兩種強(qiáng)，但由于重心靠前，不易上揚(yáng);投擲方式對(duì)穩(wěn)定性影響不大;尾翼會(huì)受投擲速度影響，若拆除尾翼，會(huì)增強(qiáng)流暢性和穩(wěn)定性，不同速度飛行表現(xiàn)俱佳。

2.5.2 紙飛機(jī)的軸線(xiàn)

（1）縱軸：由機(jī)鼻至機(jī)尾的軸線(xiàn)，稱(chēng)為“縱軸”Longitudinal Axis。飛機(jī)繞縱軸轉(zhuǎn)動(dòng)，控制飛機(jī)左右轉(zhuǎn)動(dòng)。

（2）橫軸：由機(jī)兩翼連接、并貫穿重心的軸線(xiàn)，稱(chēng)為“側(cè)軸”或“橫軸”Lateral Axis。飛機(jī)繞橫軸轉(zhuǎn)動(dòng)，控制飛機(jī)下俯或上揚(yáng)。

（3）立軸：由上至下、貫穿重心的軸線(xiàn)，稱(chēng)為“立軸”“法線(xiàn)軸”或“垂直軸”Normal Axis。飛機(jī)繞立軸轉(zhuǎn)動(dòng)，控制飛機(jī)方向。

2.5.3 作用效果

起飛階段：由于起飛時(shí)飛機(jī)由手部拋出，起到一定固定作用，繞縱軸的橫向翻滾，可以忽略不計(jì)。而起飛時(shí)，若手部施力點(diǎn)位置不當(dāng)，易引起繞橫軸的俯仰轉(zhuǎn)動(dòng)與繞立軸的方向偏轉(zhuǎn)。若施力點(diǎn)處于重心后，紙飛機(jī)會(huì)因?yàn)榱厥Ш舛瓭L。

飛行階段：將以上三種機(jī)型進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，結(jié)果顯示，若紙飛機(jī)重心靠后，力矩失衡，紙飛機(jī)會(huì)發(fā)生下俯或上揚(yáng)。同時(shí)很微小的方向偏轉(zhuǎn)，也會(huì)使得紙飛機(jī)一側(cè)的氣流變大，從而機(jī)翼升力變大，另一側(cè)氣流減小，同時(shí)升力減小，紙飛機(jī)也容易產(chǎn)生明顯翻滾。

機(jī)身平均高度/斜度：若折疊紙飛機(jī)的紙張大小恒定，調(diào)節(jié)紙飛機(jī)的機(jī)身高度也就調(diào)整了機(jī)翼的大小與展弦比，同時(shí)也就改變了升力的大小，使飛機(jī)能夠力矩平衡。

紙飛機(jī)的機(jī)翼，用于產(chǎn)生一部分升力來(lái)抵消重力，使紙飛機(jī)能夠滯空時(shí)間更長(zhǎng)，同時(shí)若調(diào)整好重心位置與機(jī)翼配合，還能改變紙飛機(jī)的飛行姿態(tài)。

2.5.4 機(jī)翼的種類(lèi)

翼梢小翼：即在機(jī)翼設(shè)計(jì)時(shí)在翼梢引入了小的垂直隆起，機(jī)翼上、下翼面的氣流竄動(dòng)，會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)漩渦氣流，從機(jī)翼往后延伸較長(zhǎng)的距離，同時(shí)帶走了能量，增加誘導(dǎo)阻力。翼梢小翼可以削弱這類(lèi)阻力，使紙飛機(jī)飛的更遠(yuǎn)。

襟翼：機(jī)翼邊緣部分的一種翼面形可動(dòng)裝置，襟翼可裝在機(jī)翼后緣或前緣，可向下偏轉(zhuǎn)或向后（前）滑動(dòng)，其基本效用是在飛行中增加升力，也增加阻力。依據(jù)所安裝部位和具體作用的不同，襟翼可分為后緣襟翼、前緣襟翼。但紙飛機(jī)本身無(wú)動(dòng)力，因此忽略不計(jì)。

尾翼：主要用于保持紙飛機(jī)的平衡，防止飛機(jī)打轉(zhuǎn)，增強(qiáng)紙飛機(jī)的滑翔力，保持空氣流動(dòng)。

垂直尾翼：順氣流直立于飛機(jī)尾部，以保持航向平衡、穩(wěn)定和航向操縱用的翼面。

水平尾翼：主要起減少紙飛機(jī)縱向震動(dòng)和俯仰操縱的作用，來(lái)減少阻力，折出水平尾翼后紙飛機(jī)重心會(huì)向后移。

機(jī)翼的上反角、后掠翼：是指機(jī)翼安裝時(shí)，與水平面之間的夾角。也就是機(jī)翼向上翹。若飛機(jī)受氣流影響偏離了平衡位置，向一側(cè)傾斜（也就是開(kāi)始帶坡度），飛機(jī)升力也隨之傾斜，并產(chǎn)生橫向的水平分量。該水平分量起到向心力作用，促使飛機(jī)在水平面內(nèi)開(kāi)始做圓周運(yùn)動(dòng)。這樣一來(lái)飛機(jī)產(chǎn)生內(nèi)側(cè)滑（空氣從轉(zhuǎn)彎方向內(nèi)側(cè)吹過(guò)來(lái)，飛機(jī)的速度方向和機(jī)身縱軸不在一條線(xiàn)上）內(nèi)側(cè)滑使得側(cè)滑前翼迎角大于側(cè)滑后翼迎角，于是側(cè)滑前翼升力大于側(cè)滑后翼升力，造成內(nèi)外兩側(cè)機(jī)翼出現(xiàn)升力差。升力差力圖消除坡度使飛機(jī)回歸平衡位置，于是飛機(jī)就具有能夠消除橫側(cè)擾動(dòng)的影響，不需要施加外力干涉即可回歸平衡位置，起到橫向穩(wěn)定的作用。

機(jī)翼的下反角、前掠翼：會(huì)降低飛機(jī)橫向穩(wěn)定性，但增加橫向捷敏性和滾轉(zhuǎn)能力，有利于飛機(jī)做滾轉(zhuǎn)動(dòng)作，增加機(jī)動(dòng)性。在飛機(jī)傾側(cè)的時(shí)候，機(jī)翼相對(duì)氣流有側(cè)滑現(xiàn)象時(shí)，下方的機(jī)翼迎向側(cè)滑方向的一側(cè)機(jī)翼的迎風(fēng)面積以會(huì)比另一側(cè)機(jī)翼要小，因此飛機(jī)滾轉(zhuǎn)作用力更大?？梢苑乐箼C(jī)翼下的氣壓順翼尖方向與機(jī)翼分離逃逸。一方面可以減小誘導(dǎo)阻力，更重要的是在大迎角的時(shí)候，組織氣流沿著機(jī)翼前緣分離，優(yōu)化大迎角激動(dòng)能力。

2.5.5 展弦比

展弦比：大展弦比的機(jī)翼長(zhǎng)且窄，小展弦比的機(jī)翼短且寬。短而寬的機(jī)翼（低展弦比）誘導(dǎo)阻力較大，適合高速物體，想要滯空時(shí)間更的則多采大展弦比以降低誘導(dǎo)阻力。若機(jī)翼面積相同，在相同條件下展弦比大的機(jī)翼產(chǎn)生的升力也大，因而能減小飛機(jī)的起飛距離和提高機(jī)動(dòng)性。

2.5.6 機(jī)翼強(qiáng)度

以簡(jiǎn)易型紙飛機(jī)為例，起飛階段：紙飛機(jī)機(jī)械強(qiáng)度不夠，但往往投擲速度較大，起飛時(shí)會(huì)形成很大阻力，使紙飛機(jī)變形，飛行距離縮短，增強(qiáng)機(jī)翼強(qiáng)度，能有效改善這一問(wèn)題。飛行階段：紙飛機(jī)被投擲后，紙張會(huì)發(fā)生舒張，飛機(jī)所受空氣阻力的面積增大，增加機(jī)翼強(qiáng)度，會(huì)降低紙張舒張度，減少阻力面積，延長(zhǎng)飛行距離。

2.6 改進(jìn)

對(duì)幾種常見(jiàn)機(jī)型改進(jìn)如下：

采用封閉式機(jī)頭來(lái)加大機(jī)翼下方的氣流量;

調(diào)整展弦比：小展弦比，展長(zhǎng)約為13cm，機(jī)翼面積約為224平方厘米，展弦比約為0.876;大展弦比，展長(zhǎng)約為15cm，機(jī)翼面積約為：161平方厘米，展弦比約為1.602。

機(jī)翼強(qiáng)度：若機(jī)翼位置緊挨機(jī)身，機(jī)翼震動(dòng)非常小，升力增大，而機(jī)翼強(qiáng)度不加強(qiáng)可減輕單位面積重量。若機(jī)翼向外延伸，較易發(fā)生震動(dòng)，因此將機(jī)翼前端折疊，來(lái)加強(qiáng)機(jī)翼強(qiáng)度。

翼梢小翼：機(jī)體本身的結(jié)構(gòu)不易受翼梢小翼的影響，同時(shí)阻力減小，因此設(shè)置翼梢小翼。

大展弦比的紙飛機(jī)，往往機(jī)翼面積大，不易垂直震動(dòng)，因此僅折疊垂直尾翼。

小展弦比的紙飛機(jī)，僅尾翼的效果不佳，因此需要設(shè)置水平尾翼與垂直尾翼。

2.7 調(diào)整重心位置

小展弦比的機(jī)翼：機(jī)頭至10cm/20cm處纏膠帶，調(diào)整重心位置。

大展弦比的機(jī)翼：機(jī)頭至5.5cm/13.5cm處纏膠帶，調(diào)整重心位置。

3 結(jié)論

通過(guò)對(duì)紙飛機(jī)進(jìn)行研究，展弦比大的，升力也大，速度小但滯空時(shí)間較長(zhǎng)，易受拋出方式的影響，而產(chǎn)生下俯、上揚(yáng)、偏移等現(xiàn)象。展弦比小的，有很好的方向性，且其機(jī)翼面受力面積小，受氣流影響較小，升力也小，速度更快，不易受拋出但滯空時(shí)間相對(duì)較短。不同折法也會(huì)影響紙飛機(jī)飛行的距離。為了保持機(jī)身平衡，在折飛機(jī)時(shí)，可將機(jī)翼向上微折，尾部向上翹一點(diǎn)，這樣飛行過(guò)程中，空氣對(duì)紙飛機(jī)就會(huì)有一個(gè)向下的推力，進(jìn)而能夠更加平穩(wěn)地飛行。同時(shí)，紙飛機(jī)的機(jī)翼面積越大，在空中飛行的浮力也越大，飛行的時(shí)間就更久。

參考文獻(xiàn)：

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課題：內(nèi)蒙古自治區(qū)教育科學(xué)“十三五規(guī)劃課題”數(shù)學(xué)建模推進(jìn)高職院校教學(xué)課程教學(xué)改革的研究NZJGH2019159

作者簡(jiǎn)介：董曉紅（1983—），女，內(nèi)蒙古包頭人，理學(xué)碩士，講師，主要從事高等數(shù)學(xué)的教學(xué)與研究工作。