以高考試題為例談核心素養(yǎng)下的課堂教學(xué)

[摘 要] 學(xué)科核心素養(yǎng)是育人價(jià)值的集中體現(xiàn)。本文以高考試題為載體，具體地從核心素養(yǎng)的六個(gè)方面，探討新時(shí)期的課堂教學(xué)，為學(xué)生可持續(xù)發(fā)展和終身學(xué)習(xí)創(chuàng)造條件。

[關(guān)鍵詞] 核心素養(yǎng);課堂教學(xué);終身學(xué)習(xí)

[作者簡介] 趙修明（1967—），男，山東濟(jì)寧人，學(xué)士，年級組主任，中學(xué)高級教師，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育。

[中圖分類號] G632.474 ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A ? ?[文章編號] 1674-9324（2020）43-0312-03 ? ?[收稿日期] 2020-03-18

教育部在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中，強(qiáng)調(diào)以學(xué)生發(fā)展為本，落實(shí)立德樹人，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。課堂作為學(xué)生的主陣地，必須與時(shí)俱進(jìn)，深化改革，結(jié)合近年數(shù)學(xué)高考和社會(huì)發(fā)展對學(xué)生的需要，下面從六個(gè)角度，探究如何通過課堂進(jìn)行核心素養(yǎng)教學(xué)。

一、數(shù)學(xué)抽象的教學(xué)

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的一種美。有了數(shù)學(xué)抽象才使得數(shù)學(xué)成為高度概括、表達(dá)準(zhǔn)確、結(jié)論一般、有序多級的最美基礎(chǔ)學(xué)科之一。數(shù)學(xué)概念和規(guī)則的形成、數(shù)學(xué)思想與方法提煉、公理體系的建立等都離不開數(shù)學(xué)抽象，所以是每年高考直接或間接必考點(diǎn)。

總起來看，數(shù)學(xué)抽象主要表現(xiàn)為由抽象、特定的數(shù)學(xué)符號所表示的數(shù)量與數(shù)量關(guān)系，從相近或相似的圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系。例1立意于數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。通過抽象符號f（x）、抽象概念奇函數(shù)、抽象方程f（1-x）=f（1+x）等所反映出的函數(shù)對稱性、周期性，最后求50個(gè)函數(shù)值的和。初中教師的授課生動(dòng)、形象、具體，高中知識(shí)就變得抽象了。比如，在關(guān)于x的方程ax=1中，1、a、x三個(gè)量：1就是1，是一個(gè)具體的數(shù);x表示所解未知量;a表示一個(gè)常數(shù)，是確定的，但具體不知道是多少，不像1那樣具體，這樣顯得比較抽象。若繼續(xù)求解該方程，就要分①當(dāng)a=0時(shí)，②當(dāng)a≠0時(shí)討論，這樣學(xué)生就能對a進(jìn)一步理解了。處理此類問題方法一是將抽象問題具體化、直觀化，借助滿足抽象條件所學(xué)過的具體函數(shù)、方程、公式等“特殊化”，使學(xué)生感覺到問題有“存在感”，而不是虛無飄渺的。比如例1，由“f（x）是定義域?yàn)椋?∞，+∞）的奇函數(shù)”可聯(lián)想到一次函數(shù)、正弦函數(shù)等;看到“f（1+x）=f（1-x）”可想到“f（x）圖像關(guān)于直線x=1對稱”，結(jié)合這兩個(gè)條件可借助正弦函數(shù)找到答案。二是嚴(yán)格的邏輯分析。比如“f（x）是定義域?yàn)椋?∞，+∞）的奇函數(shù)”等價(jià)于“f（-x）=-f（x） x∈R”，“f（1+x）=f（1-x）”等價(jià)于“f（-x）=f（x+2）”，由此可得f（x）是一個(gè)周期函數(shù)且周期是4。其實(shí)如果一個(gè)函數(shù)同時(shí)具備兩個(gè)（種）對稱性，該函數(shù)就是一個(gè)周期函數(shù)。

二、邏輯推理的教學(xué)

邏輯推理是重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)，使問題解決言之有物，言之有理。主要包括兩類：一是由特殊到一般的歸納、類比推理;一是由一般到特殊的演繹推理。基于邏輯推理具有嚴(yán)謹(jǐn)性、條理性、完美性等特點(diǎn)，邏輯推理立意始終貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)高考試卷之中。

例2.（2019年全國卷Ⅱ理科7）設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是

A.α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行

B.α內(nèi)有兩條相交直線與β平行

C.α，β平行于同一條直線

D.α，β垂直于同一平面

本題考查了空間兩個(gè)平面的判定與性質(zhì)及充要條件等嚴(yán)密的邏輯推理、學(xué)生對基本知識(shí)的理解和掌握程度。對于邏輯推理課堂教學(xué)，要注意三點(diǎn)：通透、明晰、體系。通透就是將教材上的概念、定義、法則、公理、定理、推論、法則等要分析透：為什么要學(xué)？成立所需的條件是什么？為什么需要這些條件？條件關(guān)鍵點(diǎn)在哪里？條件是否可以改變？結(jié)論是什么？如何進(jìn)行論證的？能用來解決哪些問題？易錯(cuò)點(diǎn)在哪里？等等。明晰就是將相點(diǎn)近或者相似知識(shí)的拿來一并分析，清楚它們的異同點(diǎn)，辨析的越清楚，理解的就會(huì)越準(zhǔn)確，用的就會(huì)越熟練。體系就是要將“知識(shí)點(diǎn)”連成“知識(shí)線”“知識(shí)網(wǎng)”，使之成為體系。

三、數(shù)學(xué)建模的教學(xué)

數(shù)學(xué)建模體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用性。學(xué)數(shù)學(xué)的目的在于讓人們要用數(shù)學(xué)的眼睛來觀察事物，用數(shù)學(xué)的語言來描述感受，用數(shù)學(xué)的頭腦來探求所惑，用數(shù)學(xué)的知識(shí)來解決問題。

例3.（2016年全國I高考19）某公司計(jì)劃購買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘。機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購買這種零件作為備件，每個(gè)200元。在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個(gè)500元?，F(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：

以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，

記X，n表示購買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購買的易損零件數(shù)。

（I）求X的分布列;（II）若要求P（X≤n）≥0.5，確定n的最小值;

（III）以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n=19與n=20之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？

本題涉及到現(xiàn)實(shí)生活中的最優(yōu)化問題。根據(jù)題意“以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)”，需先清楚“購買易損零件所需費(fèi)用的期望值”，若求解該期望值需求解“表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)的分布列”，由此看來，本題需要用數(shù)學(xué)中的“概率”這個(gè)數(shù)學(xué)模型，本題數(shù)學(xué)模型比較容易找。

數(shù)學(xué)建模大致分審題、建模、解模、回歸四大部分。審題分為三個(gè)層次：讀題、翻譯、挖掘信息點(diǎn)，即拋開錯(cuò)綜復(fù)雜的語言背景，明確其具體要求。高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的建模相對比較簡單，模型也較為固定，常用的模型有函數(shù)模型、三角模型、數(shù)列模型、立體幾何模型、排列組合概率模型、方程和不等式問題等基本模型。解模即用數(shù)學(xué)知識(shí)解決和解答模型所涉及到的數(shù)學(xué)問題?；貧w：就是回歸主題。隨著社會(huì)的發(fā)展，對數(shù)學(xué)建模的要求會(huì)不斷提高。其過程總結(jié)為：從數(shù)學(xué)理性的視角在實(shí)際情境中分析要點(diǎn)、明確所解問題、精準(zhǔn)問題分析、建立數(shù)學(xué)模型、確定需要參數(shù)、合理計(jì)算求解、檢驗(yàn)初步結(jié)果、完善所建模型，最終達(dá)到科學(xué)地解決實(shí)際問題。

四、直觀想象的教學(xué)

直觀想象可理解為通過已掌握的平面圖形、空間結(jié)構(gòu)的直觀感受，來研究新的對象或是抽象出新的概念。不光是研究平面與平面、平面與空間之間的形態(tài)和位置的變化，還進(jìn)一步提高數(shù)與形相結(jié)合能力，培養(yǎng)創(chuàng)新思維，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，開闊解決問題的思路。

例4.（2019年全國Ⅱ高考16）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一。印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）。半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美。圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長為1，則該半正多面體共有________個(gè)面，其棱長為_________。

第一問可按題目并結(jié)合其對稱性可數(shù)出26個(gè)面;第二問則需直觀想象還原出物體（如下圖）。

本題立意新穎，需具備強(qiáng)大空間想象能力，快速還原圖形。解決本題的關(guān)鍵是確定半正多面體的各頂點(diǎn)在正方體上的具體位置，最終將立體幾何問題平面化。中學(xué)階段對直觀想象的要求是能夠掌握研究圖形與圖形、圖形與數(shù)量之間關(guān)系的基本方法，借助圖形性質(zhì)探索數(shù)學(xué)規(guī)律，解決實(shí)際問題或數(shù)學(xué)問題。在平時(shí)課堂教學(xué)時(shí)，首先讓學(xué)生大腦儲(chǔ)備大量素材，來提升學(xué)生的直觀想象能力，可謂是“讀書破萬卷，下筆如有神”。教師要善于利用一些生活事例和圖像讓學(xué)生親身感知和分析。凡是教材上出現(xiàn)的圖像、圖形要畫準(zhǔn)、畫熟，平面圖形中的所有基本函數(shù)圖像、空間中常見幾何體要爛熟于心。其次是要善于利用多媒體等現(xiàn)代技術(shù)，積累一些組合體的直觀印象，比如，特殊的多面體與多面體正方體、常見的多面體與旋轉(zhuǎn)體等組合體等類似如下幾何模型。

第三，要善于動(dòng)手制作幾何模型。如折疊長方體等，也可從切割土豆等，充分發(fā)揮自己的空間想象力，在動(dòng)手參與過程中能夠?qū)臻g感與空間位置不斷增強(qiáng)，同時(shí)對幾何體有了更清晰的認(rèn)識(shí)。第四是熟練掌握、應(yīng)用所學(xué)的定義、公理、定理、推理等，實(shí)現(xiàn)由直觀、生動(dòng)的感知，到理性、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)纳A。

五、數(shù)學(xué)運(yùn)算的教學(xué)

數(shù)學(xué)運(yùn)算既不是簡單的數(shù)字、公式“堆砌”，也不是解析幾何繁雜的計(jì)算，而是一種程序性極強(qiáng)的學(xué)生腦力活動(dòng)。分析數(shù)學(xué)運(yùn)算的整個(gè)過程，基本分為分析運(yùn)算對象和要求，探求運(yùn)算思路，明確所用工具，講究詳略得當(dāng)?shù)倪\(yùn)算步驟，得到理想答案。關(guān)鍵在于如何運(yùn)用所掌握知識(shí)將搭起“所求”與“已知”的橋梁，數(shù)學(xué)運(yùn)算其實(shí)是一個(gè)人的綜合能力的表現(xiàn)。

六、數(shù)據(jù)分析的教學(xué)

數(shù)據(jù)分析是大數(shù)據(jù)時(shí)代數(shù)學(xué)應(yīng)用的主要方法，主要表現(xiàn)為：收集和整理數(shù)據(jù)，理解和處理數(shù)據(jù)，獲得和解釋結(jié)論，概括和形成知識(shí)。數(shù)據(jù)分析是每年高考的必考內(nèi)容。

例6.（2015年新課標(biāo)Ⅱ理科3）根據(jù)如圖給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量（單位：萬噸）柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是（ ?）

A.逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著

B.2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)

C.2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢

D.2006年以來我國二氧化硫排放量與年份正相關(guān)

本題考查頻率分布直方圖的基本知識(shí)。在課堂教學(xué)時(shí)，先從時(shí)間、空間兩個(gè)維度界定分析確定分析目標(biāo)，分析定性數(shù)據(jù)還是分析定量數(shù)據(jù)。本題根據(jù)選項(xiàng)中，沒有對具體數(shù)字做出判斷的問題，可視為定性數(shù)據(jù)分析。如果涉及到平均數(shù)、方差、概率等具體數(shù)字，需要準(zhǔn)確定位的，視為定量數(shù)據(jù)分析。其次要確保數(shù)據(jù)分析結(jié)構(gòu)體系化。運(yùn)用分析方法，根據(jù)題意判定該題屬于哪類數(shù)學(xué)模型（高中階段主要有：①相關(guān)分析、回歸分析模型，②卡方檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?，③方差分析模型，④概率模型，⑤正態(tài)分布模型等等），由已知條件，利用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解析，最后要準(zhǔn)確回歸題意。注意要分清是開放性、建設(shè)性的結(jié)論還是評價(jià)性的結(jié)論。

提高學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)是教師課堂的育人目標(biāo)，學(xué)生通過平時(shí)的認(rèn)真學(xué)習(xí)，形成正確的人生觀、價(jià)值觀、世界觀，培養(yǎng)了深刻性、靈活性、獨(dú)創(chuàng)性、批判性、敏捷性等優(yōu)秀的思維品質(zhì)，在學(xué)習(xí)過程中，探索求真，磨練意志，團(tuán)結(jié)協(xié)作，分享喜悅。掌握了知識(shí)，培養(yǎng)了能力，使情感、態(tài)度與價(jià)值觀得以更好的提升。

參考文獻(xiàn)

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[2]沈良.試論數(shù)學(xué)運(yùn)算的理解與教學(xué)[J]數(shù)學(xué)教研，2019（2）：3.