淺談“弧長及扇形面積”教學難點中的問題

應位峰

【摘要】幾何作為初中數(shù)學的重要組成部分，對培養(yǎng)學生的空間觀念、邏輯思維能力有著非常重要的影響，有助于學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的形成.在九年級數(shù)學教學中，“圓”這一章節(jié)有一課“弧長及扇形面積”，很多教師發(fā)現(xiàn)教學效果不佳，學生對于這一課所學的公式掌握得也不是很到位，對于具體的題目不會靈活地運用公式去解決.本文對這個問題進行了淺顯的研究，希望能夠對學生靈活運用公式提供一點幫助.

【關鍵詞】公式;計算;教學

“弧長及扇形面積”這一課的內容主要涉及弧長公式與扇形面積公式的推導過程及其在實際問題中的運用.這幾個公式是以圓的周長與面積公式為依據(jù)的，因此，這節(jié)課的內容屬于圓的相關計算中的一個重要問題，也是后續(xù)學習圓錐側面展開圖的基礎.在初中數(shù)學教學實踐中，筆者發(fā)現(xiàn)很多學生對于弧長公式與扇形面積公式的推導過程理解得不透徹、不深刻，遇到新的題目時往往找不到正確的解題思路，不會靈活運用公式.基于此，本文圍繞“弧長及扇形面積”這一課的教學現(xiàn)狀，探討問題所在及化解對策，以期進一步提高教師的教學效率，并且讓學生更熟練地掌握這些公式.

一、問題由來

（一）教學目標

對于蘇教版九年級數(shù)學中關于“弧長與扇形面積”這一課，筆者根據(jù)自己班上學生的學習情況并結合教學大綱要求設定了下列教學目標：

1.知識目標：學生通過自主探索去認識扇形，從而了解弧長與扇形面積公式，學會運用弧長公式與扇形面積公式去解決一些實際問題.

2.能力目標：

學生通過自主探索，經(jīng)歷弧長及扇形面積公式的具體推導過程，從而鍛煉他們的自主探索能力.教師引導學生運用相關公式進行解題訓練，以提高他們應用知識的能力、空間想象能力及動手畫圖能力，同時，讓他們體會從一般到特殊的數(shù)學思想.

3.情感與價值目標：學生通過欣賞生活中的相關圖片體會到數(shù)學與我們的美好生活有著密切的聯(lián)系，從而激發(fā)他們對數(shù)學學習的熱情.學生通過對弧長與扇形面積公式的自主探索，使其在參與過程中獲得情感體驗.學生在與同桌交流、討論、探究的過程中能夠更多地展示自我，樹立自信心，從而建立正確的價值觀.

（二）教學重難點

1.重點：教師引導學生經(jīng)歷弧長與扇形面積公式的推導過程，并能應用弧長及扇形面積公式解決問題.

2.難點：學生對三個公式的靈活應用.

二、問題剖析

（一）教學時間的分配

很多數(shù)學教師在教學時間安排上存在不合理的問題，大多是因為他們?yōu)榱俗寣W生有充足的探索時間可以有效完成對弧長及扇形面積公式推導過程的探索.因此，很多教師在這一教學環(huán)節(jié)花費了過多時間，導致后面的教學環(huán)節(jié)的時間很緊張，不得不壓縮后面的教學內容.這使得學生在公式的運用方面沒有足夠的時間去掌握，從而使知識的鞏固與內化效果相對不高.

（二）例題教學的設置

教材設置的兩道例題分別是：

例1?如圖1，△ABC是⊙O的內接三角形，∠BAC=60°，設⊙O的半徑為2，求弧BC的長.

例2?如圖2，折扇打開后，OA，OB的夾角為120°，OA的長為30 cm，AC的長為20 cm.求圖中陰影部分的面積.

例1已知R的值，而要求n，就要添加輔助線構造圓心角，再利用同弧所對圓心角與圓周角的關系進行轉化得到.例2首先要引導學生先分析圖形之間的數(shù)量關系，再確定R，n的值選擇公式2進行計算.這樣的例題設置對剛掌握公式的學生來說，由于涉及一些對圖形的分析和額外知識點的運用穿插，因此難度稍大.教師課上照搬這兩道例題，對于學生熟練運用公式?jīng)]有起到應有的作用.另外，很多教師都是在一個公式講完之后就進行對應公式的例題和練習的訓練，這種方法能使學生對各個公式鞏固得都很到位.但當課后三個公式同時擇用時，學生反而不會分析了.

（三）三個公式的同時記憶

教師在教學重點完成之后應該要求學生對這三個公式同時記憶，不然學生靠理解再推導時間上是不允許的.但是學生對三個公式同時記憶是非常困難的，尤其弧長公式和面積第一公式非常相似，學生容易混淆.即便學生課后通過大量練習鞏固了這三個公式，但當學過其他章節(jié)知識之后再回過頭來做題，效果依然不佳.

三、問題解決

（一）合理安排教學時間進度

教學時間的安排：本節(jié)采用情境導入法，以回憶為主，外加板書，3分鐘即可;三個探索活動中，探索弧長計算公式的時間為8分鐘左右;面積第一公式的活動過程與弧長公式推導過程類似，可在5分鐘之內解決;面積第二公式就是整合前面兩個公式推導出來的，時間控制在3分鐘左右即可;例題教學主要是熟悉公式，時間控制在10分鐘之內即可;剩余時間應該用于練習、鞏固公式，以達到熟練運用的效果.當然，如果老師仍然感覺時間很緊，且班級學生的學習層次較弱的話，那么可以將此課分兩課時進行教學，在第二課時讓學生通過大量的練習能夠靈活運用公式.

本節(jié)課的問題情景可如下設置：（由多媒體展示圖片）在一片空曠的草原上有一根柱子，柱子上面拴著一條長4米的繩子，繩子的另一頭拴著一頭牛.假設這頭牛能沿著柱子轉動n°角，那么它可以吃草的最大活動區(qū)域面積是多少？學生分析出問題后，教師即可引出本堂課的主題：弧長及扇形面積.教師引導學生圍繞圖形講出與圓相關的概念，包括圓心角、半徑、圓心角所對的弧，進而引入扇形的概念.然后，教師可讓學生判斷給出的圖形中哪些是扇形，從而加深學生對扇形概念的理解.在此基礎上，教師開始引導學生探究弧長公式：

1.復習圓的周長公式：C=2πR;

2.引導學生將圓的周長看作360°圓心角所對的弧長;

3.假設圓的半徑為R，那么：1°的圓心角所對弧長l=πR[]180，2°的圓心角所對弧長l=πR[]90，…，n°的圓心角所對的弧長l=nπR[]180;

4.通過探究，總結歸納出弧長公式.

此處探究運用了從部分到整體、從特殊到一般的歸納方法.

學生有了上述探究體驗后，再開展扇形面積公式的推導活動就容易得多了.此處教師可要求學生以小組合作的方式進行推導探究，可參照推導弧長公式的方法進行.這樣能加深學生對這部分內容的理解，也能培養(yǎng)他們的自主探究學習能力.

（二）設置例題與練習題時減少對單一公式的訓練

教師在設置例題與練習題時，要適當減少對單一公式的訓練，也就是說不要在一個公式推導出來后就開展較多的訓練，應該增加三個公式都推導出來之后的混合訓練題的數(shù)量.教師先讓學生訓練純文字的題，等學生能熟練運用公式之后，再訓練帶圖的幾何題，如例1，例2.這樣能有效利用課堂上的45分鐘，讓學生通過必要的練習達到鞏固、內化知識的目的.

（三）對公式2，3的取舍

公式2和公式3都是計算面積的，使用一個就可以了.那使用哪一個呢？公式2與弧長公式非常像，容易混淆，且沒有公式3簡潔，因此筆者認為應該選擇公式3.下面我們來看幾道題：

1.圓心角為40°，半徑為6的扇形面積是多少？

2.已知扇形的圓心角為120°，弧長為20π，求這個扇形的面積.

3.弧長為2π，面積為4π的扇形的半徑和圓心角分別是多少？

對于題1，已知n，R的值，先代入公式1求出l的值，然后把l，R的值代入公式3即可求出扇形面積.對于題2，已知n，l的值，先代入公式1求出R的值，再把l，R的值代入公式3即可求出扇形面積.對于題3，已知l，S的值，很明顯應該先代入公式3求出R的值，再把R，l的值代入公式1即可求出n的值.

四、教學反思

本節(jié)課是按照“先學后教、當堂達標”以及學案的形式開展的一堂幾何教學課，根據(jù)教學實踐，筆者認為教學目標的定位比較準確、合理，且教學目標達成度較高.教學過程圍繞“六化”模式順利推進：

1.問題化：教師通過創(chuàng)設合理的問題情景，引導學生思考.問題情景的創(chuàng)設圍繞著學生的生活實際以及心理特征，并未直接運用教材上的例子，而是設計了牛吃草探索其活動區(qū)域的問題，有效地調動了學生學習的積極性.學生在經(jīng)歷數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展、形成的“再創(chuàng)造”活動的過程中，獲得了更多的數(shù)學活動經(jīng)驗，有利于自身學習素養(yǎng)的形成.

2.探究化：本節(jié)課改變了傳統(tǒng)課堂教學中教師講、學生被動聽，師生之間一問一答的教學模式，采用了學生自學或小組合作學習的方式讓學生經(jīng)歷新知識的形成過程，并參與到弧長及扇形面積公式的推導過程中，使學生對知識有更深入的理解.學生在完成學案的問題后，自己的思維也會有所改變，這正符合新課改所提倡的“充分發(fā)揮學生主體作用”的教育理念.

3.應用化：在自主探究獲得結論后，學生通過練習題使新知識得到鞏固，并訓練了解決問題的能力.比如，練習題是對公式的直接運用，可由學生獨立解決，再由同桌相互訂正，最后選取一名學生到講臺前講解解題思路，教師加以點評即可.這樣做是為了讓學生在利用公式解題的過程中了解“知二求一”的數(shù)學思想，并學會思考問題的方法，包括識別問題類型與問題的聯(lián)想及轉化.同時，教師應設計一些與實際相關的問題，并引導學生解決，讓學生明白數(shù)學與我們日常生活密切相關，公式的應用并非只是單純的計算數(shù)據(jù)，而要真正學以致用.

4.整合化：教師要讓學生反思知識的思維與方法，從而實現(xiàn)三維目標.教師可以要求學生從思想方法、學習方法、知識層面等三個維度去對本節(jié)課的內容做一個自我小結，教師給予適當?shù)难a充和完善即可.

5.有效化：本節(jié)圍繞新課標的要求，筆者還設計了關于“弧長及扇形面積公式”的相關應用習題，包括填空題、判斷題、應用題等，均為比較簡單的題目，可在課堂上運用幾分鐘時間完成，不會耽誤過多的教學時間，而且能直接檢測學生的學習情況.結果顯示，效果很好，基本達到了課堂高效化教學.

6.動態(tài)化：這一部分內容主要是針對教學內容的拓展，選取了部分中考試題作為習題，方便學有余力的學生對知識的鞏固和提升.

綜上所述，“弧長及扇形面積”作為初三幾何課的重要內容之一，也是學生今后繼續(xù)學習幾何的基礎.針對這一教學重難點，我們數(shù)學教師應圍繞教學目標以及班上學生的學情精心優(yōu)化教學方案，采用多元化的教學手段為學生創(chuàng)設更生動、有趣的學習情境，使其在自主探究、親自參與的過程中去感悟相關公式的推導、形成過程，從而加深對這部分內容的理解.

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