淺談常見計數問題的解析策略

鄭有禮

【摘要】計數問題是每年高考命題的熱點，列式的思路是分類加法、分步乘法、有序排列、無序組合.解決此類問題，首先，要認真審題，抓住問題的本質特征，準確合理地利用兩個計數原理（分類加法計數原理與分步乘法計數原理）進行分類與分步，分類與分步是解析計數問題的最基本的步驟;其次，分類與分步之后，要考慮每一類、每一步的列式方案，分析是否存在類中有類、類中有步、步中有類、步中有步的情況;再次，求種數時，如果與順序有關，那么用排列數列式;如果與順序無關，那么用組合數列式.

【關鍵詞】計數問題;解析策略

計數問題是每年高考命題的熱點，列式的思路是分類加法、分步乘法、有序排列、無序組合.分類加法計數原理的特征是分類解決問題，分類必須滿足類與類互斥，總類必須完備;分步乘法計數原理的特征是分步解決問題，分步必須做到步與步互相獨立，互不干擾并確保連續(xù)性.求種數時，與順序有關，用排列數列式;與順序無關，用組合數列式.相鄰、相離、定序、選排、特殊位置、特殊元素、平均分組、相同元素分欄、至多至少等問題是一些常見的計數問題，現將它們的解析策略列舉如下.

一、相鄰問題捆綁處理

求解某幾個元素必須相鄰的排列問題時可按下面兩個步驟進行：第一步，把相鄰元素進行排列后捆綁成一個捆綁團;第二步，將捆綁團視為一個元素與其他元素進行全排列.

例1?某校校慶期間，學校將8面不同顏色的彩旗并排插在教學樓的樓頂上，紅色旗與黃色旗必須插在一起，一共有多少種不同的插法？

解析?該問題中，紅色旗與黃色旗必須插在一起是相鄰問題，應分兩步解決：第一步，將相鄰的2個元素進行排列，有A22種排法，并將2個相鄰元素捆綁成一個捆綁團;第二步，將捆綁團視為1個元素，連同其他6個元素一共7個元素進行全排列，有A77種排法.根據分步乘法計數原理，一共有A22·A77=10080種不同的插法.

二、相離問題插空處理

相離問題是指排列時某些元素不能相鄰，由其他元素將它們分開.解析此類問題可以先將其他元素排好，再將所指定的不相鄰元素插入已排好元素的空隙及兩端位置.

例2?已知天?？h第二中學高三年級組的9名班主任站成一排照相，其中要求永強與志杰兩個人必須站在一起，而海軍和福學兩個人不能站在一起，則有多少種站隊方法？

解析?該問題中永強與志杰相鄰，海軍和福學相離，是相鄰與相離的綜合問題，總體分三步解決：第一步，將相鄰的永強與志杰兩個人進行排列，有A22種排法，并將這兩個人捆綁成一個捆綁團;第二步，將捆綁團視為1個元素，連同海軍和福學除外的其他5個元素一共6個元素進行全排列，有A66種站法;第三步，將海軍和福學插入已排好的班主任的空隙及兩端位置，有A27種站法.根據分步乘法計數原理，一共有A22·A66·A27=60480種不同的站隊方法.

三、定序問題分次插空處理

限定部分元素保持一定的順序與其他元素進行排列的問題就是定序問題.解析定序問題可以先將定序的元素按要求排好，再將其他元素一次插入一個，分次插入已排好元素的空隙及兩端位置，每插入一個元素就會增加一個插入位置.

例3?“六一”兒童節(jié)期間，武威市天祝師范附屬小學的6名小朋友站隊，其中有3名男性小朋友，他們分別是強強、軍軍與杰杰，站隊時強強必須要站在軍軍與杰杰的后面，則有多少種不同的站法？

解析?該問題中男性小朋友強強必須要站在軍軍與杰杰的后面屬于定序問題，總體分兩步解決：第一步，將3名男性小朋友按規(guī)定順序排好隊，有A22種排法;第二步，分次插空，先將第一名女性小朋友插入已排好的男性小朋友的空隙及兩端位置，有4種插法，再將第二名女性小朋友插入已排好的4名小朋友的空隙及兩端位置，有5種插法，最后將第三名女性小朋友插入已排好的5名小朋友的空隙及兩端位置，有6種插法，完成第二步根據分步乘法計數原理有4×5×6=120種插法.總體上依據分步乘法計數原理一共有A22·120=240種不同的站隊方法.

四、選排問題先選排后分步處理

先選出元素，再把選出的元素排列到位置上的排列組合的綜合性問題就是選排問題.解析此類問題可以分步進行，先用組合選出元素，再用排列將選出的元素排到位置上.

例4?在天?？h第二中學第十一屆冬季球類運動會期間，學校團委組織了一個有7名志愿者參加的服務小組，其中2名老師擔任正副組長，組員由5名學生組成.現有四項不同的任務需4名志愿者完成，有且只有1名組長參加，每名志愿者只完成一項任務，有多少種不同的安排方法？

解析?該問題中需先選志愿者，再安排選出的志愿者完成四項不同的任務，屬于選排問題，總體分兩步解決：第一步，選出4名志愿者，先在2名組長中選出1人，有C12種選法，再在5名學生志愿者中選出3人，有C35種選法，完成第一步根據分步乘法計數原理有C12·C35=20種不同的選法;第二步，安排4名選出的志愿者完成四項不同的任務，有A44=24種排法.總體上依據分步乘法計數原理，一共有20×24=480種不同的安排方法.

五、特殊元素（位置）優(yōu)先處理

在排列中，有時限定某元素必須排在某位置或某元素不能排在某位置，有時限定某位置只能排某元素或者某位置不能排某元素，這種問題就是特殊元素（位置）問題，解析此類問題可以先將特殊元素（位置）優(yōu)先處理，再將其他元素進行排列.

例5?安排甘肅省武威市天祝縣某醫(yī)院的6名護士上臺表演節(jié)目，每人一個節(jié)目，其中要求麗麗的節(jié)目不能安排在最后位置，嵐嵐的節(jié)目不能安排在最前位置，則有多少種不同的節(jié)目安排方法？

解析?該問題中要求麗麗的節(jié)目不能安排在最后位置，嵐嵐的節(jié)目不能安排在最前位置.最前與最后是兩個特殊位置，麗麗和嵐嵐是兩個特殊的“元素”，可以先將她們優(yōu)先安排.總體上可以分為兩類：第一類是將嵐嵐的節(jié)目安排在最后，有A55=120種安排方法;第二類是將嵐嵐的節(jié)目不安排在最后，分三步完成，第一步把嵐嵐的節(jié)目安排好有4種方法，第二步把麗麗的節(jié)目安排好有4種方法，第三步將其他的節(jié)目安排好有A44=24種方法，根據分步乘法計數原理完成第二類有4×4×24=384種不同的安排方法.總體上依據分類加法計數原理一共有120+384=504種不同的安排方法.

六、平均分組問題做除法處理

各組的元素個數相等的分組就是平均分組，解析平均分組問題時，先分組（用組合），再做除法.平均分組的種數與組序無關，組序不同但組中元素相同的分組仍是同一分組.做除法是為了避免重復計數.若把n個不同元素平均分成m組，則有Cmn·Cmn-m·Cmn-2m·…·CmmAmm種分法.在有些分組中，有一部分組的元素個數相等，這種分組就是部分平均分組，解析部分平均分組問題可以分兩個步驟進行，第一步依次用組合把元素個數不相等的組中的元素分別取出來，第二步把剩下的元素進行平均分組（此時也要做除法）.

例6?2020年年初，新冠肺炎疫情暴發(fā)，人民生命安全受到嚴重威脅.疫情既是命令又是試金石，為了更好地防控新冠肺炎疫情，打好疫情防控阻擊戰(zhàn)，充分發(fā)揮共產黨員的先鋒模范帶頭作用，甘肅省武威市天祝縣某單位的共產黨員們爭先恐后地提交到社區(qū)支援疫情防控工作的申請.若該單位決定將6名優(yōu)秀共產黨員平均分成三組安排到三個不同社區(qū)支援疫情防控，有多少種不同的安排方法？若該單位決定將7名優(yōu)秀共產黨員按3∶2∶2的比分成三組分別安排到三個不同社區(qū)支援疫情防控，又有多少種不同的安排方法？

解析?第一問中，完成該工作分兩步進行，第一步將6名優(yōu)秀共產黨員平均分成三組，有C26·C24·C22A33=15種分法;第二步將分成的三組優(yōu)秀共產黨員安排到三個不同社區(qū)有A33=6種安排方法.總體上按照分步乘法計數原理一共有15×6=90種不同的安排方法.第二問中，完成該工作也分兩步進行，第一步將7名優(yōu)秀共產黨員按3∶2∶2的比分成三組，是部分平均分組，有C37·C24·C22A22=105種分法;第二步將分成的三組優(yōu)秀共產黨員安排到三個不同社區(qū)有A33=6種安排方法.總體上按照分步乘法計數原理一共有105×6=630種不同的安排方法.

七、相同元素分欄問題插板處理

把相同的n個元素分入m （m≤n）個欄中就是相同元素的分欄問題，若滿足所要分欄的元素必須完全相同且必須分完，不允許有剩余，參與分元素的每個欄至少分到 1個元素且不能有分不到元素的欄，則可用插入擋板的方法處理.先將n個分欄元素排成一行，再在元素間的（n-1）個空隙中插入（m-1）個擋板，一個空隙只能插入一個擋板，插入的擋板數等于欄數減一，有Cm-1n-1種分法.

例7?2020年春季，新冠肺炎疫情暴發(fā)，嚴重影響著人們的生命、生產、生活.在黨中央的領導下，一場轟轟烈烈的抗擊疫情的偉大的人民戰(zhàn)爭在中華大地全面展開，疫情防控取得階段性勝利，經過科學研判論證，各地中小學先后有序開學.甘肅省武威市某中學自開學以來，認真貫徹執(zhí)行疫情防控命令，為確保全校師生的生命安全和身體健康，學校的每個年級部都安排專人按時進行嚴格的消毒殺菌工作.現有愛心人士華某某給學校捐贈了11瓶相同的84消毒液和9條相同的毛巾，要求全部分發(fā)給6個年級部，每個年級部至少要分得1瓶84消毒液，也至少要分得1條毛巾，則有多少種不同的分法？

解析?給年級部分發(fā)84消毒液和毛巾，分兩步進行，第一步按要求將11瓶84消毒液分發(fā)給6個年級部，這是相同元素分欄問題，把11瓶84消毒液排成一行，在84消毒液間的10個空隙中插入5個擋板，有C510=252種分法;第二步按要求將9條毛巾分發(fā)給6個年級部，這也是相同元素分欄問題，把9條毛巾排成一行，在毛巾間的8個空隙中插入5個擋板，有C58=56種分法.總體上按照分步乘法計數原理一共有252×56=14112種不同的分法.

八、 至多至少問題正難則反間接處理

從正面解析含“至多”“至少”的排列組合問題是需要分類的，正面分類處理較煩瑣時可間接處理.解析此類問題可以先求出它的反面，再從整體中排除反面的種數.

例8?優(yōu)先發(fā)展教育事業(yè)是實現中華民族偉大復興的必由之路，教育興則國興，教師強則教育強.教師是立教之本，建設一支業(yè)務素質精良的教師隊伍是時代發(fā)展的需要.到教育發(fā)達省份去交流學習是提高教師隊伍綜合素質的有效途徑.2019年，甘肅省武威市天?？h第二中學的高三年級部有30名教師，其中女教師有16名，高考結束后，學校決定從中選派6名教師到天津市薊州區(qū)某學校交流學習，則至少有2名女教師的選派方法有多少種？

解析?從30名教師中選派6名教師有C630=593775種方法，至少有2名女教師的選派方法包含恰好選派2名女教師、恰好選派3名女教師、恰好選派4名女教師、恰好選派5名女教師、恰好選派6名女教師等5類情況，正面求解運算量較大.而其反面至多有1名女教師包含的情況只有2類，第一類是恰好選派1名女教師，有C116·C514=32032種選派方法;第二類是全部選派男教師，有C614=3003種選派方法.依據分類加法計數原理至多有1名女教師的選派方法有32032+3003=35035種，故至少有2名女教師的選派方法有593775-35035=558740種.

總之，計數問題的種類比較多，分類與分步是解決計數問題的最基本的策略.除了相鄰、相離、定序、選排、特殊元素、特殊位置、平均分組、相同元素分欄及至多至少等問題，還有其他計數問題，是每年高考命題的熱點.解決計數綜合問題，首先，要加強閱讀理解，認真審題，抓住問題的本質特征，總體上確定要分類解決還是分步解決.其次，如果總體上要分類解決，那么求出各類的種數之后用分類加法計數原理列式;如果總體上要分步解決，那么求出各步的種數之后用分步乘法計數原理列式.分類與分步之后，要考慮每一類、每一步的列式方案，分析是否存在類中有類、類中有步、步中有類、步中有步的情況，如果存在，那么用相應的計數原理給這一類或這一步求種數.求種數時，如果與順序有關，那么用排列數列式;如果與順序無關，那么用組合數列式.