在“充分計(jì)算和有序涂色”中深刻理解概念

周婷婷

【摘要】質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念比較抽象，質(zhì)數(shù)和奇數(shù)，合數(shù)和偶數(shù)的概念容易混淆，因此，教師嘗試在充分計(jì)算和有序涂色中突破教學(xué)難點(diǎn)，并突破認(rèn)知障礙，深刻理解概念.

【關(guān)鍵詞】充分計(jì)算;有序涂色;突破教學(xué)難點(diǎn);突破認(rèn)知障礙;理解概念

【探究初衷】

蘇教版五年級(jí)下冊(cè)“因數(shù)和倍數(shù)”單元中質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）和合數(shù)的概念比較抽象，同時(shí)因數(shù)、倍數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)的概念集體出現(xiàn)，學(xué)生容易混淆質(zhì)數(shù)和奇數(shù)，合數(shù)和偶數(shù)的概念，六年級(jí)復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)質(zhì)數(shù)、合數(shù)的概念模糊，應(yīng)用不靈活.為什么五年級(jí)下學(xué)期教學(xué)設(shè)計(jì)面面俱到，但學(xué)生沒有深刻理解質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念和內(nèi)涵呢？原因是教師的教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)手法沒有突破教學(xué)難點(diǎn)，學(xué)生沒有突破認(rèn)知障礙，理解本質(zhì)停留在淺層理解層面上，解決問題停留在高度模仿階段.如何嘗試突破教學(xué)難點(diǎn)，幫助學(xué)生深刻理解概念和內(nèi)涵，斯托利亞爾《數(shù)學(xué)教育學(xué)》中提出：“鞏固性的原則要求學(xué)生長期地保持系統(tǒng)的知識(shí)、技能和技巧.如果對(duì)所學(xué)習(xí)的教材沒有深刻的理解，僅僅靠死記，是不能實(shí)現(xiàn)這個(gè)原則的.”即使小學(xué)五、六年級(jí)的學(xué)生，直觀仍是抽象知識(shí)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，學(xué)生仍需要在觀察中培養(yǎng)形象思維，在計(jì)算中培養(yǎng)邏輯思維，依靠形狀、顏色、聲音和感覺來進(jìn)行思維.蘇霍姆林斯基說：“孩子的智慧在他的手指上.”基于學(xué)生在第一學(xué)段積累數(shù)形結(jié)合的涂色經(jīng)驗(yàn)，第二學(xué)段教材內(nèi)容安排六年級(jí)上冊(cè)多面體表面涂色問題，以及平面區(qū)域涂色問題，教師嘗試運(yùn)用充分計(jì)算和有序涂色突破教學(xué)難點(diǎn)和認(rèn)知障礙，幫助學(xué)生從計(jì)算中生成歸納推理的方法，從而讓其深刻理解概念[1].

從兒童認(rèn)知水平和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，將“質(zhì)數(shù)和合數(shù)”課堂教學(xué)刪減練習(xí)和猜謎語環(huán)節(jié)，增補(bǔ)涂色研究環(huán)節(jié)，調(diào)整作業(yè)課為研究單交流課.四個(gè)研究單層層深入，根據(jù)計(jì)算結(jié)果采用有序涂色，直觀觀察1、質(zhì)數(shù)、合數(shù)的分類，形成條理清晰的歸納推理方法，深刻理解1、質(zhì)數(shù)、合數(shù)的概念.

【探究過程】

一、情境導(dǎo)入，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，感受質(zhì)數(shù)、合數(shù)的重要生活價(jià)值

數(shù)學(xué)學(xué)家們通過對(duì)質(zhì)數(shù)和合數(shù)的不斷研究，發(fā)現(xiàn)質(zhì)數(shù)和合數(shù)可以給人們提供更加安全、高品質(zhì)的生活：銀行往往使用質(zhì)因數(shù)加密法（研究課總結(jié)時(shí)首尾呼應(yīng)質(zhì)數(shù)的重要價(jià)值），質(zhì)數(shù)除了被應(yīng)用在密碼學(xué)和軍事上，還在我們身邊的汽車變速箱齒輪的設(shè)計(jì)上發(fā)揮著重要的作用，為了最大化減少磨損，相鄰連個(gè)齒輪的齒數(shù)都是質(zhì)數(shù)……我們身邊也有質(zhì)數(shù)和合數(shù)的存在，我們班36人，隔壁班37人，參加運(yùn)動(dòng)會(huì)哪個(gè)班能排成方隊(duì)？學(xué)生直觀感受到，能不能排成方隊(duì)和班級(jí)總?cè)藬?shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)有關(guān)，質(zhì)數(shù)、合數(shù)與因數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān)[2].

二、課中研究，初步形成概念的本質(zhì)，踏實(shí)計(jì)算中生成歸納推理方法

2，3，5，6，8，9中，只有兩個(gè)因數(shù)的有2，3，5（1和本身兩個(gè)因數(shù)），有兩個(gè)以上因數(shù)的有6，8，9（除了1和它本身還有別的因數(shù)）.概念引入：只有1和本身兩個(gè)因數(shù)的數(shù)是質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）.除了1和它本身還有別的因數(shù)的數(shù)叫合數(shù).

1.1—20的質(zhì)數(shù)和合數(shù)

核心問題：哪些數(shù)是質(zhì)數(shù)？哪些數(shù)是合數(shù)？1是質(zhì)數(shù)嗎？1是合數(shù)嗎？

在1—20表格中分類： “1”的因數(shù)只有1個(gè)，它既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù); 2，3，5，7，11，13，17，19的因數(shù)都是1和它本身兩個(gè)因數(shù)，它們是質(zhì)數(shù);4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20都有2個(gè)以上因數(shù)，它們是合數(shù).

驅(qū)動(dòng)問題：你怎么判斷除了1的數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？

學(xué)生：我是一個(gè)數(shù)一個(gè)數(shù)地試著找它們的因數(shù)，發(fā)現(xiàn)只有2個(gè)因數(shù)的是2，3，5，7，11，13，17，19，它們是質(zhì)數(shù).

學(xué)生：我也是這樣一個(gè)一個(gè)地找它們的因數(shù)，但我把奇數(shù)9，15誤當(dāng)成質(zhì)數(shù)了.

放大問題，充分討論：奇數(shù) 9，15為什么不是質(zhì)數(shù)而是合數(shù)？

學(xué)生：9=3×3，9有3個(gè)因數(shù)，9是合數(shù).15=3×5，15有4個(gè)因數(shù)，15是合數(shù).

核心問題：質(zhì)數(shù)、合數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)和奇數(shù)、偶數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)相同嗎？

學(xué)生：不同，奇數(shù)、偶數(shù)是根據(jù)能不能整除以2，或者是不是2的倍數(shù)，看末尾數(shù)字就可以判斷.質(zhì)數(shù)、合數(shù)分類要看所要判斷的數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù).

2.21—50的質(zhì)數(shù)和合數(shù)

在1—50表格中分類，集合的增加使得學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)歸納推理思想方法的需求，大多數(shù)學(xué)生主動(dòng)采用排除2的倍數(shù)，3的倍數(shù)，5的倍數(shù)的思想方法，也有學(xué)生仍然根據(jù)表內(nèi)乘法判斷合數(shù)，教師提出驅(qū)動(dòng)問題：數(shù)量變多了，怎樣才能有序，不遺漏、不重復(fù)地找出質(zhì)數(shù)和合數(shù)呢？

學(xué)生：我是先找除了2以外的2的倍數(shù)：4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，26，28，30，32，34，36，38，40，42，44，46，48，50，因?yàn)樗鼈冇幸驍?shù)2，那么它們就是合數(shù)，我把它們劃去;再找除了3以外的3的倍數(shù)：6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45，48，它們有因數(shù)3，那么它們就是合數(shù)，我把它們劃去;最后找除了5以外的5的倍數(shù)：10，15，20，25，30，35，40，45，50，它們有因數(shù)5，那么它們就是合數(shù)，遇到已經(jīng)劃去的合數(shù)可以不劃.

學(xué)生：偶數(shù)都是合數(shù)（除2以外），奇數(shù)中有一部分?jǐn)?shù)除了1和本身外，還有其他因數(shù)，這些奇數(shù)不是質(zhì)數(shù)，是合數(shù).

在多人、多次表達(dá)中深刻理解2的特殊性.教師詳細(xì)示范：除了2以外的2的倍數(shù)涂綠色，除了3以外的3的倍數(shù)涂紅色，除了5以外的5的倍數(shù)涂黃色，組織學(xué)生在下一張研究單上涂色操作.本次研究錯(cuò)誤資源搜集：39=3×13，奇數(shù)39不是質(zhì)數(shù).課后作業(yè)是關(guān)注39的合數(shù)數(shù)感情況.教師設(shè)計(jì)課后研究單，布置獨(dú)立研究任務(wù)，一一列舉研究收獲，準(zhǔn)備研究交流課發(fā)言[3].

三、課后小研究，走進(jìn)概念的本質(zhì)，熟練歸納推理方法

1.在1—100表格中分類，學(xué)生將除了2以外的2的倍數(shù)涂綠色，除了3以外的3的倍數(shù)涂紅色，除了5以外的5的倍數(shù)涂黃色……

學(xué)生：我不得不用新的顏色，因?yàn)槌霈F(xiàn)了不是2，3，5的倍數(shù)的數(shù)，即49是7的7倍，77是7的11倍，91是7的13倍.100以內(nèi)有25個(gè)質(zhì)數(shù)沒有顏色，它們是2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97.

學(xué)生：我把小研究做好以后，將25個(gè)質(zhì)數(shù)都涂成粉色，簡潔明了.我把它們記在心里，解決問題時(shí)能幫助我加快速度和檢驗(yàn).

教師：你把整個(gè)研究的過程進(jìn)行了進(jìn)一步的歸納整理，并且在理解的基礎(chǔ)上記憶，這是一個(gè)非常好的方法.

驅(qū)動(dòng)問題：研究數(shù)字更多的情況下，會(huì)不會(huì)出現(xiàn)其他的倍數(shù)呢，是否需要涂新的顏色？課后研究驅(qū)動(dòng)學(xué)生通過快速涂色，將推理方法熟練化、深刻化，在更大集合中感受質(zhì)數(shù)、合數(shù)的本質(zhì).

2.在1—200表格中分類，學(xué)生采取涂色法排除2的倍數(shù)，3的倍數(shù)，5的倍數(shù)……的有序思考的方法，錯(cuò)誤資源搜集：133是質(zhì)數(shù)嗎？

核心問題：怎么推理出它是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？

學(xué)生：133不能整除2，3，5，能整除7，它是7的19倍，可以用7的倍數(shù)所用顏色涂好.

學(xué)生將排除合數(shù)和1后呈現(xiàn)同一種顏色的數(shù)字進(jìn)行整理.在直觀結(jié)果中感受歸納推理確定因數(shù)個(gè)數(shù)的普適性、通用價(jià)值.猜想沒有進(jìn)展，教師繼續(xù)追問驅(qū)動(dòng)問題：數(shù)字更多的情況下，會(huì)不會(huì)出現(xiàn)其他的倍數(shù)，需要涂新的顏色呢？根據(jù)我們收獲的歸納推理方法可以幫助我們持之以恒地研究下去！

四、研究課交流，熟練歸納推理，深刻理解概念，產(chǎn)生新的猜想

研究共性收獲交流：每50個(gè)數(shù)為一橫行，100個(gè)數(shù)為一個(gè)數(shù)段，借助電子表格電子涂色或打印紙質(zhì)表格手動(dòng)涂色，除2外，2的倍數(shù)是合數(shù);除3外，3的倍數(shù)是合數(shù);除5外，5的倍數(shù)是合數(shù);除7外，7的倍數(shù)是合數(shù);除11外，11的倍數(shù)是合數(shù)……觀察同種顏色的數(shù)字，發(fā)現(xiàn)除2以外的偶數(shù)都是合數(shù)，奇數(shù)中大多數(shù)是合數(shù).

研究個(gè)性收獲交流：

學(xué)生：給出一個(gè)大的奇數(shù)，很難判斷它是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，我們可以按照歸納推理，一步一步計(jì)算.比如，奇數(shù)中的187是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？209是指數(shù)還是合數(shù)？323是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？437是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？

學(xué)生：187除以11等于17，209除以11等于19，323除以17等于19，437除以19等于23，這些數(shù)通過依次除以2，3，5，7，11……總能找到除1和本身以外的因數(shù)，從而是合數(shù).

教師：根據(jù)2個(gè)質(zhì)數(shù)的積，一步步找到原來的2個(gè)質(zhì)數(shù)因數(shù)的步驟多，正因?yàn)槿绱?，如果我們將很多互質(zhì)數(shù)的積設(shè)定為密碼，他人很難很快找出原來的那些數(shù)，電子技術(shù)同樣難以破譯，因此，質(zhì)數(shù)在密碼界赫赫有名.

學(xué)生：偶數(shù)除了2都是合數(shù)，因?yàn)樗鼈兌际?的倍數(shù).奇數(shù)中的質(zhì)數(shù)個(gè)位是1，3，7，9，但個(gè)位是1，3，7，9的奇數(shù)不一定是質(zhì)數(shù).

學(xué)生：每個(gè)數(shù)段奇偶數(shù)各一半，但質(zhì)數(shù)比合數(shù)少很多，1—10000中有1229個(gè)質(zhì)數(shù)，很多奇數(shù)也是合數(shù).

學(xué)生：我猜想（除了3和2）大的質(zhì)數(shù)與小的質(zhì)數(shù)差都是偶數(shù)，不知道對(duì)不對(duì)？

學(xué)生：我找出最大的質(zhì)數(shù)是691，我整理出 1—100共有25個(gè)質(zhì)數(shù)，101—200共有21個(gè)質(zhì)數(shù)，201—300共有16個(gè)質(zhì)數(shù)，301—400共有16個(gè)質(zhì)數(shù)，401—500共有17個(gè)質(zhì)數(shù)，501—600共有14個(gè)質(zhì)數(shù)……每一個(gè)數(shù)段的質(zhì)數(shù)可能呈越來越少的趨勢，不知道對(duì)不對(duì)？

學(xué)生：我來補(bǔ)充，雖然我只計(jì)算到200，但通過搜集材料發(fā)現(xiàn)：以1000個(gè)數(shù)為一個(gè)數(shù)段，質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)也呈下降趨勢，對(duì)前面同學(xué)新猜想有一些幫助.1—1000有168個(gè)質(zhì)數(shù)，1000—2000有135個(gè)質(zhì)數(shù)，2000—3000有127個(gè)質(zhì)數(shù)……每一個(gè)數(shù)段的質(zhì)數(shù)也是呈越來越少的趨勢，對(duì)上一位同學(xué)的問題有幫助.

學(xué)生：我覺得偶數(shù)除了2都是合數(shù)，因?yàn)樗鼈兌际?的倍數(shù).奇數(shù)中的質(zhì)數(shù)個(gè)位是1，3，7，9，但個(gè)位是1，3，7，9的奇數(shù)不一定是質(zhì)數(shù).可以提醒我們有些奇數(shù)實(shí)際是合數(shù)，要踏實(shí)的邏輯計(jì)算，不能簡單地當(dāng)成質(zhì)數(shù).

教師：同學(xué)們，你們通過大量的計(jì)算，有序的涂色，認(rèn)真的思考，對(duì)1、質(zhì)數(shù)、合數(shù)的本質(zhì)有了深刻的認(rèn)識(shí)，并且熟練掌握了判斷質(zhì)數(shù)、合數(shù)的歸納推理方法，同時(shí)收獲了一些有助于自己精準(zhǔn)解決問題的小訣竅，并產(chǎn)生了新的猜想，歸納推理的方法可以幫助你繼續(xù)研究下去，收獲更多的驚喜.

【探究反思】

學(xué)生在層層推進(jìn)的研究過程中，結(jié)合倍數(shù)的特征，采用自主探索、踏實(shí)計(jì)算、有序涂色，形成1、質(zhì)數(shù)、合數(shù)表.從課堂到課后，持續(xù)培養(yǎng)歸納推理的思維，放大課堂研究過程中生成的錯(cuò)誤資源，引領(lǐng)學(xué)生通過歸納推理走進(jìn)核心概念，在交流課的平臺(tái)，學(xué)生會(huì)呈現(xiàn)豐富的學(xué)習(xí)品質(zhì)：善于觀察、靈活創(chuàng)新、持之以恒.研究單設(shè)計(jì)注意點(diǎn)：圍繞需要突破教學(xué)難點(diǎn)，基于培養(yǎng)歸納推理能力的目的，研究范圍適當(dāng)擴(kuò)大但減少重復(fù)，適當(dāng)加深但控制好難度，體現(xiàn)從有限至無限的思想方法.涂色注意點(diǎn)：學(xué)生在邏輯清晰的計(jì)算過程中，結(jié)合倍數(shù)關(guān)系的有序涂色，生成一張有顏色的質(zhì)數(shù)表，在直觀體驗(yàn)中得到歸納推理經(jīng)驗(yàn).涂色有利于兒童直觀思維優(yōu)勢的發(fā)揮，但不能完全突破特殊數(shù)字的數(shù)感形成，再給學(xué)生一些課堂留白去感受一部分質(zhì)數(shù)是合數(shù)的現(xiàn)象，理解找因數(shù)的歸納推理的過程.配套練習(xí)注意點(diǎn)：練習(xí)數(shù)量的減少使練習(xí)的診斷價(jià)值弱化，教師提前剔除價(jià)值薄弱的練習(xí).鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立、持續(xù)探究200以后的質(zhì)數(shù)和合數(shù)，不能借助太多資料，數(shù)學(xué)結(jié)論不是數(shù)學(xué)本質(zhì)本身.

經(jīng)過情境引入后，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念進(jìn)行層層推進(jìn)的探究，使學(xué)生對(duì)質(zhì)數(shù)、合數(shù)的概念的理解得到提升，并有利于學(xué)生對(duì)質(zhì)數(shù)、合數(shù)的概念問題的推理和思考.數(shù)學(xué)無處不在，看似抽象的質(zhì)數(shù)、合數(shù)在生活中也無處不在，這一階段的學(xué)生，在具體可見的熟悉的問題中，能更好地理解質(zhì)數(shù)、合數(shù)的概念和含義.因此，在后續(xù)學(xué)習(xí)過程中，教師可以選擇豐富的生活情境、具體的生活案例來進(jìn)行教學(xué)，比如，班級(jí)人數(shù)是否可以排成表演方陣，花店如何搭配花束，教師分發(fā)的獎(jiǎng)品總數(shù)究竟是多少.從而幫助學(xué)生將質(zhì)數(shù)、合數(shù)的抽象概念和實(shí)際意義互相依存、協(xié)同發(fā)展.

【參考文獻(xiàn)】

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[2]吳正憲，周衛(wèi)紅，陳鳳偉.吳正憲課堂教學(xué)策略[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2013.

[3]王永春.小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法[M]. 上海：華東師范大學(xué)出版社，2014.