基于卡爾曼濾波的GM(1,1)在變形監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用研究

王 強(qiáng) ，吳 盛 ，楊 靜 ，任 軍

(1.湖州吳興東成測(cè)繪有限公司，浙江 湖州 313000 ； 2.中國(guó)水利水電第八工程局有限公司科研設(shè)計(jì)院，湖南 長(zhǎng)沙 410000)

隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，建設(shè)水平的提高，隨之各種高層建筑、大型工業(yè)建筑、大壩等也不斷涌現(xiàn)，對(duì)這些建筑物進(jìn)行施工或者是建筑物在運(yùn)營(yíng)期間，一些外在影響因素會(huì)導(dǎo)致建筑物產(chǎn)生變形，當(dāng)變形量超過(guò)相關(guān)規(guī)范規(guī)定的范圍，就會(huì)對(duì)工程進(jìn)度產(chǎn)生一定的影響，如果沒(méi)能及時(shí)采取相關(guān)措施，甚至?xí)a(chǎn)生安全事故[1]。顯然，對(duì)這些建(構(gòu))筑監(jiān)測(cè)就顯得更加有必要。為了掌握建筑物變形的規(guī)律和趨勢(shì)，可以通過(guò)對(duì)變形物體進(jìn)行合理的監(jiān)測(cè)，數(shù)據(jù)分析的結(jié)果也會(huì)給施工決策者提供指導(dǎo)意義[2]。在對(duì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理和分析建模中，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已提出多種變形預(yù)測(cè)模型。主要有：灰色系統(tǒng)分析、回歸分析、時(shí)間序列分析、卡爾曼濾波模型和工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型等[3]。劉江等[4]將小波和時(shí)間序列模型結(jié)合在一起，應(yīng)用于鄭州地鐵2號(hào)線變形監(jiān)測(cè)。朱軍桃等[5]將馬爾科夫與灰色模型組合對(duì)基坑進(jìn)行變形監(jiān)測(cè)，精度相對(duì)單一模型有所提高。

在實(shí)際監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)采集過(guò)程中，外界環(huán)境復(fù)雜多變，在采集數(shù)據(jù)過(guò)程中也會(huì)帶來(lái)其他擾動(dòng)誤差，這使得監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)跳動(dòng)很大，且數(shù)據(jù)信息量也很少。對(duì)此，在實(shí)際工程應(yīng)用中，很難對(duì)變形物體有一個(gè)準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)。在數(shù)據(jù)建模過(guò)程中，隨機(jī)擾動(dòng)誤差較大的數(shù)據(jù)用卡爾曼濾波剔除，可以使原始監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)曲線變得平滑，擬合效果增強(qiáng)；在針對(duì)信息量少、樣本小等問(wèn)題，灰色模型可以很好解決此弊端。本文提出將卡爾曼濾波與灰色模型結(jié)合起來(lái)，建立組合模型，對(duì)大壩沉降進(jìn)行變形預(yù)測(cè)，分析并檢驗(yàn)預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性和精度。

1 卡爾曼濾波的GM(1,1)模型

1.1 卡爾曼濾波

現(xiàn)代控制理論中用來(lái)剔除隨機(jī)干擾誤差的重要方法之一是卡爾曼濾波法，其原理是通過(guò)輸入觀測(cè)數(shù)據(jù)，建立線性系統(tǒng)狀態(tài)方程，輸出結(jié)果數(shù)據(jù)[6]。狀態(tài)系統(tǒng)可以表示為連續(xù)性和離散型，變形監(jiān)測(cè)采集的數(shù)據(jù)都是程離散狀態(tài)，因此，本文在對(duì)卡爾曼濾波線性系統(tǒng)研究中，僅對(duì)離散系統(tǒng)進(jìn)行介紹。

通過(guò)相關(guān)研究結(jié)論中得出，在離散系統(tǒng)的卡爾曼濾波建模中，主要通過(guò)觀測(cè)方程數(shù)學(xué)模型和狀態(tài)方程數(shù)學(xué)模型來(lái)實(shí)現(xiàn)，其離散化形式表示為：

Xk=Fk/k-1Xk-1+Gk-1Wk-1

(1)

Lk=HkXk+Vk

(2)

式中，Xk、Lk、Vk分別為系統(tǒng)k時(shí)刻n×1階狀態(tài)向量、觀測(cè)向量和噪聲矩陣；Fk/k-1、Gk-1、Wk-1分別為k-1時(shí)刻狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣向量、動(dòng)態(tài)噪聲矩陣向量(n×r階)和動(dòng)態(tài)噪聲矩陣向量(r×1階)；Qk(非負(fù)定方差矩陣)為Wk-1的協(xié)方差矩陣；Rk(正定方差矩陣)為Vk的方差矩陣。

隨機(jī)離散線性系統(tǒng)的Kalman濾波遞推公式可以根據(jù)最小二乘原理推理得到。具體步驟如下：

狀態(tài)向量一步預(yù)測(cè)值為：

(3)

一步預(yù)測(cè)方差矩陣為：

(4)

狀態(tài)向量估計(jì)值為：

(5)

狀態(tài)向量估值的方差陣為：

Pk(I-JkKk)Pk/k-1

(6)

式中，J為濾波增益矩陣，其具體形式為

(7)

通過(guò)以上步驟實(shí)現(xiàn)卡爾曼濾波遞推算法，設(shè)定算法中初始值，根據(jù)某時(shí)刻的觀測(cè)值可以計(jì)算出該時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)值，從而隨機(jī)擾動(dòng)誤差干擾數(shù)據(jù)被剔除，消除噪聲的影響，實(shí)現(xiàn)很好的預(yù)測(cè)。

1.2 灰色系統(tǒng)理論

1982年我國(guó)著名學(xué)者鄧聚龍教授首次提出了灰色理論(Grey Theory)[7]。該理論是把一個(gè)不確定的系統(tǒng)作為研究對(duì)象，其中該不確定系統(tǒng)部分信息已知，部分信息未知，主要特點(diǎn)就是“貧樣本、貧信息”。通過(guò)該系統(tǒng)對(duì)“部分”已知信息生成、開(kāi)發(fā)，提取有價(jià)值的信息，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行規(guī)律的正確描述和有效控制[8]?；疑碚撃Ｐ涂梢詫?duì)一個(gè)系統(tǒng)對(duì)象進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)，其中預(yù)測(cè)因子數(shù)量決定模型元數(shù)，有一階一元模型GM(1,1)和一階多元模型GM(1,N)[9]。但是在工程應(yīng)用領(lǐng)域中，往往采用一階一元模型，該模型只需要一個(gè)單變量。其模型的建立步驟具體如下：

(1)設(shè)有n個(gè)非負(fù)原始觀測(cè)數(shù)據(jù)序列X(0)=[x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)]，則由X(0)序列累加(1-AGO)得到序列X(1)為:

X(1)=[x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)]

(2)由序列X(1)構(gòu)造背景值序列Z(1)為:

Z(1)=[z(1)(1),z(1)(2),…，z(1)(n)]

式中,Z(1)取X(1)緊鄰均值生成序列，即Z(1)(k)=0.5[x(1)(k)+x(1)(k-1)]，k=2,3,…,n。

(3)建立灰色GM(1,1)模型的一級(jí)白化微分方程為:

(8)

式中，a為發(fā)展系數(shù)，用來(lái)控制系統(tǒng)發(fā)展事態(tài)的大??；b為灰色作用量，用來(lái)反映資料變化的關(guān)系。

(4)根據(jù)最小二乘原理，灰色GM(1,1)模型的參數(shù)列為：

A=[a,b]T=(BTB)-1BTY

(9)

將計(jì)算求得的參數(shù)a，b帶入式(8)，并求解微分方程，取初始條件x(0)(1)，得x(1)的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為：

(10)

(5)對(duì)式(10)再作一階累減函數(shù)還原計(jì)算(1-IAGO)，得到原始序列X(0)的還原值為：

(11)

2 模型的精度檢驗(yàn)

2.1 殘差檢驗(yàn)合格模型

e=[e(1),e(2),…,e(n)]

(12)

相對(duì)誤差序列為：

(13)

相對(duì)誤差Δ表示預(yù)測(cè)殘差占原始數(shù)據(jù)的比例，呈負(fù)相關(guān)。

2.2 均方差比與小誤差概率合格模型

原始序列X(0)及殘差序列e的方差為：

(14)

(15)

計(jì)算后驗(yàn)方差比值C和小誤差概率P，模型精度由兩個(gè)值共同決定，值的大小都是與模型精度呈負(fù)相關(guān)。

表1 后驗(yàn)差檢驗(yàn)法精度等級(jí)參照表

3 實(shí)例分析

本文以南方某大壩邊坡監(jiān)測(cè)點(diǎn)的沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)為例[10]，來(lái)驗(yàn)證基于卡爾曼濾波的GM(1,1)模型對(duì)大壩邊坡沉降預(yù)測(cè)的可行性。具體監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)如表2所示，監(jiān)測(cè)時(shí)間是從2013年5月1日開(kāi)始，觀測(cè)周期為15 d。

表2 監(jiān)測(cè)點(diǎn)沉降監(jiān)測(cè)

前面分別敘述卡爾曼濾波和GM(1,1)模型的基本原理。把GM(1,1)模型與卡爾曼濾波算法結(jié)合，可以有效減弱隨機(jī)誤差干擾。本次實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，選取了前11期監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，首先，利用卡爾曼濾波算法對(duì)選取的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波降噪處理，使得原始數(shù)據(jù)更加平滑；然后，利用濾波處理后的數(shù)據(jù)建立基于卡爾曼濾波的GM(1,1)模型；最后，把前8期的處理數(shù)據(jù)作為建模數(shù)據(jù)，后3期的數(shù)據(jù)用來(lái)驗(yàn)證，并與傳統(tǒng)GM(1,1)模型對(duì)比分析。

在給大壩進(jìn)行沉降建模過(guò)程中，卡爾曼濾波算法假定監(jiān)測(cè)點(diǎn)的位移速度是一個(gè)恒定的值，并且在濾波過(guò)程中，把這個(gè)恒定的速度和位置作為狀態(tài)參數(shù)，將過(guò)程中的加速度認(rèn)為是唯一的動(dòng)態(tài)噪聲[11]。在以往經(jīng)驗(yàn)情況下，把經(jīng)驗(yàn)值作為初始參數(shù)值Qk、Rk，大小均為1，把監(jiān)測(cè)點(diǎn)的初始位置和變化速率當(dāng)作狀態(tài)參數(shù)，根據(jù)前兩期監(jiān)測(cè)值的平差值可求得初始狀態(tài)向量X0及其相應(yīng)的方差陣P0，其結(jié)果為：

X0=[15.12,0]T

運(yùn)用MATLAB程序[12]編程執(zhí)行卡爾曼濾波，對(duì)前8期數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波處理，得到結(jié)果如表3所示。

表3 原始數(shù)據(jù)濾波值/mm

由表3可以看出，殘差絕對(duì)值從第2期開(kāi)始收斂于0，由此可以得出原始數(shù)據(jù)變化范圍變小。隨機(jī)誤差得到有效的減弱，在濾波的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，把濾波數(shù)據(jù)帶入GM(1,1)模型。兩種模型對(duì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)擬合與預(yù)測(cè)結(jié)果如表4所示。

表4 監(jiān)測(cè)點(diǎn)擬合預(yù)測(cè)結(jié)果檢驗(yàn)表

圖1 實(shí)測(cè)值與擬合預(yù)測(cè)值對(duì)比圖

由圖1分析兩種模型可以得出以下結(jié)論：(1)通過(guò)卡爾曼濾波過(guò)后建立的GM(1,1)模型相對(duì)于傳統(tǒng)的GM(1,1)模型預(yù)測(cè)曲線較光滑，波動(dòng)很小。(2)通過(guò)卡爾曼濾波過(guò)后建立的GM(1,1)模型相對(duì)于傳統(tǒng)的GM(1,1)模型隨著時(shí)間的推移，預(yù)測(cè)值越來(lái)越接近實(shí)際監(jiān)測(cè)值。

由圖2和表4分析兩種模型可以得出以下結(jié)論：(1)通過(guò)卡爾曼濾波過(guò)后建立的GM(1,1)模型相對(duì)于傳統(tǒng)的GM(1,1)模型殘差明顯減小，在第3

圖2 兩種模型殘差曲線圖

～6監(jiān)測(cè)周期中，兩模型殘差之間的差值越來(lái)越大，第8期以后是兩模型的臨界點(diǎn)，基于卡爾曼濾波的GM(1,1)模型在0值以上，且趨于穩(wěn)定，而傳統(tǒng)GM(1,1)模型殘差在0值以下，且有遠(yuǎn)離0值的趨勢(shì)。(2)通過(guò)卡爾曼濾波過(guò)后建立的GM(1,1)模型相對(duì)于傳統(tǒng)的GM(1,1)模型雖然相對(duì)殘差基本接近，只有若干點(diǎn)有所減小，但是預(yù)測(cè)值相對(duì)殘差大幅度減小。

利用殘差合格模型對(duì)預(yù)測(cè)效果進(jìn)行精度評(píng)定，從表4中分析可得監(jiān)測(cè)點(diǎn)傳統(tǒng)GM(1,1)模型和基于卡爾曼濾波的GM(1,1)模型平均殘差值分別為-0.257 27、-0.041 82，預(yù)測(cè)精度均為一級(jí)。但是，傳統(tǒng)GM(1,1)模型的后驗(yàn)方差比值C為0.463 1，而基于卡爾曼濾波的GM(1,1)模型的后驗(yàn)方差為0.219 3，總體精度有大幅度的提高。

4 結(jié) 論

本文介紹了卡爾曼濾波算法和灰色GM(1,1)模型，在兩種模型基本原理的基礎(chǔ)之上，提出建立一種基于卡爾曼濾波的GM(1,1)模型。為了驗(yàn)證該模型的可靠性，采用實(shí)際大壩監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)作為實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證數(shù)據(jù)，分別建立兩種模型，分析預(yù)測(cè)結(jié)果。最后實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：(1)基于卡爾曼濾波的GM(1,1)模型相比于傳統(tǒng)的GM(1,1)模型預(yù)測(cè)效果更好。(2)基于卡爾曼濾波的GM(1,1)模型在一定程度上消除了隨機(jī)誤差噪聲的干擾，補(bǔ)充了灰色GM(1,1)模型對(duì)于趨勢(shì)項(xiàng)提取的規(guī)律性，保留了原始數(shù)據(jù)的特征，在一定程度上彌補(bǔ)了單一模型的缺陷。由此可見(jiàn)，這種組合模型在大壩變形監(jiān)測(cè)分析中具有較強(qiáng)的適應(yīng)性。