融合LSC和REHSM的地殼形變分析模型*

鐘光偉，符平貴，楊 鋼,張 俊

(貴州大學(xué) 礦業(yè)學(xué)院, 貴州 貴陽(yáng) 550000)

傳統(tǒng)地殼運(yùn)動(dòng)模型大都是基于歐拉定理建立的剛體運(yùn)動(dòng)模型。這些模型大多都是將地殼運(yùn)動(dòng)看作是一種地殼表面的剛性運(yùn)動(dòng)，認(rèn)為板塊內(nèi)部沒(méi)有或不考慮板塊內(nèi)部形變[1-2]。自20世紀(jì)90年代以來(lái)，許多研究成果表明板塊運(yùn)動(dòng)不完全是剛性運(yùn)動(dòng)，板塊邊界并非狹窄的而是可以發(fā)散的，即板塊運(yùn)動(dòng)不全部發(fā)生在相鄰板塊一定范圍的邊界帶上，且板塊內(nèi)部也存在不同程度的不規(guī)則形變[3]。我國(guó)學(xué)者李延興等研究了板塊內(nèi)部形變性質(zhì)，于20世紀(jì)初提出了塊體運(yùn)動(dòng)的整體旋轉(zhuǎn)與均勻應(yīng)變模型，這種模型假定塊體內(nèi)部形變?cè)诳臻g分布呈均勻變化，只要在傳統(tǒng)剛體運(yùn)動(dòng)模型基礎(chǔ)上拓展描述板內(nèi)均勻形變的參數(shù)，即可解算出塊體內(nèi)部形變量及應(yīng)變參數(shù)。這使得板塊旋轉(zhuǎn)參數(shù)與均勻應(yīng)變參數(shù)得以進(jìn)行整體解算，實(shí)現(xiàn)了真正意義上的地殼運(yùn)動(dòng)-形變的綜合模型[4]。但是，鑒于不同的地質(zhì)環(huán)境和構(gòu)造運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜性，整體旋轉(zhuǎn)與均勻應(yīng)變模型對(duì)塊體內(nèi)部形變的均勻假設(shè)仍然具有相當(dāng)局限性。事實(shí)證明，塊體內(nèi)部形變性質(zhì)及規(guī)律相當(dāng)復(fù)雜，任何簡(jiǎn)單假設(shè)都難以精確描述。鑒于此，本文提出利用最小二乘配置模型與地殼運(yùn)動(dòng)的整體旋轉(zhuǎn)與均勻應(yīng)變模型相融合，即利用整體旋轉(zhuǎn)與均勻應(yīng)變模型作為地殼運(yùn)動(dòng)的主模型，但同時(shí)認(rèn)為這種模型還難以精確描述全部地殼運(yùn)動(dòng)，因此嘗試用“信號(hào)”補(bǔ)償偏離整體旋轉(zhuǎn)與均勻應(yīng)變模型的地殼運(yùn)動(dòng)部分，從而建立一種優(yōu)化的整體旋轉(zhuǎn)與均勻應(yīng)變最小二乘配置地殼形變分析模型。

1 整體旋轉(zhuǎn)與均勻應(yīng)變模型及最小二乘配置模型

1.1 剛體運(yùn)動(dòng)模型(RRM)

早期的地殼運(yùn)動(dòng)定量化模型是基于板塊構(gòu)造運(yùn)動(dòng)理論根據(jù)球面剛體運(yùn)動(dòng)的歐拉定理提出的，其運(yùn)動(dòng)模型為[4]:

(1)

式中，Ve與Vn分別為站心參考坐標(biāo)系中的緯向(東向)速度和經(jīng)向(北向)速度；λ、φ為經(jīng)緯度；ωx、ωy、ωz為歐拉旋轉(zhuǎn)參數(shù)；r為地球的平均半徑。

1.2 板塊的整體旋轉(zhuǎn)與均勻應(yīng)變模型(REHSM)

在研究板塊運(yùn)動(dòng)的整體旋轉(zhuǎn)和均勻應(yīng)變模型時(shí)，通常采用球面正交坐標(biāo)系。由于球面上經(jīng)緯線是處處正交的，所以可以以塊體所包含區(qū)域的幾何中心(λ0,φ0)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過(guò)原點(diǎn)的緯線為x軸、經(jīng)線為y軸，建立坐標(biāo)系。即可得到坐標(biāo)與經(jīng)緯度之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系如下

(2)

若在研究地殼運(yùn)動(dòng)模型時(shí)，考慮的不僅僅是塊體的剛性整體旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則這種模型稱(chēng)為非剛體板塊運(yùn)動(dòng)模型。地殼在繞某一固定軸旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，板塊內(nèi)部也會(huì)伴隨著不同程度的彈塑性運(yùn)動(dòng)。顧及到板塊內(nèi)部運(yùn)動(dòng)形變，李延興等學(xué)者提出由板塊剛性整體運(yùn)動(dòng)和彈塑性運(yùn)動(dòng)復(fù)合而成的地殼運(yùn)動(dòng)模型[4-7,9-11]:

(3)

式中，εe、εn、εen、εne為應(yīng)變參數(shù)；其他參數(shù)含義與式(1)和式(2)相同。

1.3 最小二乘配置模型(LSC)

最小二乘配置模型的一般形式為[4-5,11]：

L=AX+BY+Δ

(4)

式中，A為傾向參數(shù)的系數(shù)矩陣；X為傾向參數(shù)；Y=[SS′]T為信號(hào)；Δ為噪音。

(5)

已知點(diǎn)和未知點(diǎn)的信號(hào)估值為

(6)

式中，DS為已測(cè)點(diǎn)協(xié)方差；DS′S為已測(cè)點(diǎn)和未測(cè)點(diǎn)之間的協(xié)方差。

在應(yīng)用最小二乘配置法時(shí)，最關(guān)鍵的問(wèn)題是要事先確定信號(hào)間(包括已測(cè)點(diǎn)和未測(cè)點(diǎn))的方差-協(xié)方差矩陣。在地殼運(yùn)動(dòng)中，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)凡是具有隨距離衰減性質(zhì)的函數(shù)，理論上都可以用來(lái)構(gòu)造地殼運(yùn)動(dòng)分析的協(xié)方差函數(shù)，高斯指數(shù)函數(shù)是地殼運(yùn)動(dòng)中最為常用的一種。高斯函數(shù)法表示法為[4,8]：

C(S)=C(0)exp(-k2s2)

(7)

式中，C(0)和k為待估參數(shù)。

2 融合最小二乘配置與整體旋轉(zhuǎn)與均勻應(yīng)變的分析模型(LSC-REHSM)

地殼形變分析的整體旋轉(zhuǎn)與均勻應(yīng)變模型較好地發(fā)展了基于歐拉定理的剛性旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)模型，但鑒于不同地質(zhì)構(gòu)造區(qū)域的塊體，其整體運(yùn)動(dòng)模式及局部構(gòu)造形變都極不規(guī)則，故對(duì)地殼內(nèi)部一點(diǎn)的應(yīng)變做“均勻”處理仍是一個(gè)很強(qiáng)的假設(shè)，難以適用于具有復(fù)雜地質(zhì)構(gòu)造的區(qū)域[4]。如果仍然采用REHSM描述地殼運(yùn)動(dòng)，則既不能精確地描述板塊的整體運(yùn)動(dòng)，也不能正確地反應(yīng)出板塊內(nèi)部的運(yùn)動(dòng)形變。本文采用最小二乘配置模型中的信號(hào)來(lái)補(bǔ)償偏離板塊均勻應(yīng)變的地殼形變部分，從而優(yōu)化整體旋轉(zhuǎn)與均勻應(yīng)變模型。具體模型為：

(8)

式中的符號(hào)含義與式(1)、式(3)和式(4)的意義相同。

3 算例及分析

本文數(shù)據(jù)來(lái)源于文獻(xiàn)[13]給出的喜馬拉雅-西藏板塊在ITRF97參考框架下GPS觀測(cè)的速度場(chǎng)數(shù)據(jù)，共有測(cè)站54個(gè)，速度場(chǎng)均經(jīng)過(guò)GIPSY軟件解算獲得，速率平均中誤差小于2.4 mm/a?，F(xiàn)分別采用如下三種方案對(duì)該區(qū)域GPS速度場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合分析，結(jié)果列于表1，為直觀，同時(shí)繪制了三種方案的擬合殘差，如圖1所示。

方案1：地殼剛體運(yùn)動(dòng)模型(式1)

方案2：整體旋轉(zhuǎn)與均勻應(yīng)變模型(式3)

方案3：整體旋轉(zhuǎn)與均勻應(yīng)變模型的最小二乘配置模型(式8)

表中速率殘差標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式如下：

(9)

式中，Δvei,Δvni分別為第i個(gè)測(cè)站在東方向和北方向運(yùn)動(dòng)速率的殘差；R為未知數(shù)參數(shù)個(gè)數(shù)；n為測(cè)站個(gè)數(shù)。

圖1 3種模型殘差比較成果圖

表1 3種模型的歐拉運(yùn)動(dòng)參數(shù)及速率殘差標(biāo)準(zhǔn)差

對(duì)計(jì)算結(jié)果分析如下：

(1)從表1給出的速度場(chǎng)擬合殘差標(biāo)準(zhǔn)差可以看出，方案1采用的RRM模型由于未顧及塊體運(yùn)動(dòng)的內(nèi)部形變，其殘差擬合標(biāo)準(zhǔn)差最大；方案2采用的REHSM模型，由于考慮了塊體運(yùn)動(dòng)的板內(nèi)形變，其標(biāo)準(zhǔn)差明顯小于剛體運(yùn)動(dòng)模型。但是鑒于喜馬拉雅-西藏板塊體復(fù)雜的地質(zhì)環(huán)境，這種簡(jiǎn)單假設(shè)塊體內(nèi)部形變是均勻的將很難與本區(qū)域地殼運(yùn)動(dòng)有最佳的符合，而方案3采用LSCREHSM模型，利用信號(hào)對(duì)方案2未能描述的地殼形變部分進(jìn)行了補(bǔ)償，從而取得了更小的擬合殘差標(biāo)準(zhǔn)差，獲得了最佳的擬合結(jié)果；

(2)從圖1對(duì)喜馬拉雅-西藏板塊GPS速度場(chǎng)的擬合殘差分布圖可以看出，RRM、REHSM和LSCREHSM三種模型在東西和南北方向的擬合殘差整體上都是依次減小的，其分析結(jié)果與表1結(jié)果完全一致。再一次表明，本文采用信號(hào)補(bǔ)償偏離整體旋轉(zhuǎn)與均勻應(yīng)變的地殼形變部分是有效的，同時(shí)也說(shuō)明喜馬拉雅-西藏板塊地殼運(yùn)動(dòng)及形變規(guī)律非常復(fù)雜，采用剛體運(yùn)動(dòng)模型不能正確描述其運(yùn)動(dòng)規(guī)律，而簡(jiǎn)單采用整體旋轉(zhuǎn)與均勻應(yīng)變模型來(lái)改善剛體運(yùn)動(dòng)模型在喜馬拉雅地區(qū)其改善效果也十分有限。本文嘗試采用信號(hào)描述和補(bǔ)償整體旋轉(zhuǎn)與均勻應(yīng)變模型所不能表達(dá)的地殼形變部分，進(jìn)一步改善了剛體地殼運(yùn)動(dòng)模型，最終取得了非常好的改善效果。

4 結(jié) 語(yǔ)

傳統(tǒng)基于歐拉定理的地殼剛體運(yùn)動(dòng)模型不顧及板內(nèi)形變，無(wú)法精確描述地殼實(shí)際運(yùn)動(dòng)。而地殼運(yùn)動(dòng)的整體旋轉(zhuǎn)與均勻應(yīng)變模型假定塊體內(nèi)部形變是均勻的，這對(duì)于具有復(fù)雜地質(zhì)構(gòu)造運(yùn)動(dòng)的區(qū)域仍然具有相當(dāng)局限性。本文將塊體內(nèi)部不規(guī)則形變看作信號(hào)，對(duì)整體旋轉(zhuǎn)與均勻應(yīng)變模型進(jìn)行了改善，其實(shí)質(zhì)是對(duì)形變的“均勻”假設(shè)進(jìn)行了修正，修正量為偏離塊體運(yùn)動(dòng)的整體旋轉(zhuǎn)與均勻應(yīng)變模型所描述的運(yùn)動(dòng)之外的那部分形變。

本文采用LSC-REHSM應(yīng)用時(shí)，需要確定信號(hào)的協(xié)方差函數(shù)，采用不同的協(xié)方差函數(shù)會(huì)得到不同的擬合結(jié)果。本文采用高斯指數(shù)函數(shù)計(jì)算信號(hào)的協(xié)方差矩陣，得到較好的擬合分析結(jié)果，但在應(yīng)用中，如何選擇協(xié)方差函數(shù)仍然是值得進(jìn)一步探索和研究的問(wèn)題。