把握模型本質(zhì)與聯(lián)系的數(shù)學(xué)建模教學(xué)
——以“實驗6：滾動的圓”教學(xué)為例

潘建明

數(shù)學(xué)模型（Mathematical Model）是用數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)式子、程序、圖形等對實際問題本質(zhì)屬性的抽象而又簡潔的刻畫，它或能解釋某些客觀現(xiàn)象，或能預(yù)測未來的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略。數(shù)學(xué)模型一般并非現(xiàn)實問題的直接翻版，它的建立常常既需要人們對現(xiàn)實問題進(jìn)行深入細(xì)致的觀察和分析，又需要人們靈活巧妙地利用各種數(shù)學(xué)知識。這種應(yīng)用知識從實際問題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過程就稱為“數(shù)學(xué)建?！保∕athematical Modeling）。數(shù)學(xué)建模為學(xué)生提供了學(xué)習(xí)和探究的新載體，有助于學(xué)生體驗數(shù)學(xué)在解決問題中的價值和作用，體驗綜合運(yùn)用知識和方法解決實際問題的過程，增強(qiáng)數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用意識；同時也有助于激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和探究的興趣，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要真正讓學(xué)生對數(shù)學(xué)建模思想有所感悟，需要經(jīng)歷一個長期的過程，我們應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的年齡特征和不同年級的要求，循序漸進(jìn)，逐步滲透，有效培養(yǎng)學(xué)生的建模意識和建模能力。在這一過程中，讓學(xué)生從相對簡單到相對復(fù)雜、相對具體到相對抽象，逐步積累經(jīng)驗，逐步形成運(yùn)用模型思想去進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的習(xí)慣。本教學(xué)內(nèi)容是學(xué)完蘇科版九年級上冊第二章“對稱圖形——圓”后，結(jié)合蘇科版九年級《數(shù)學(xué)實驗手冊》（實驗6：滾動的圓）對多邊形周長和圓的弧長等相關(guān)知識的綜合應(yīng)用。這是筆者面向常州大市范圍內(nèi)開的一節(jié)公開課，請各位同行批評指正。

一、把握模型本質(zhì)

1.情境導(dǎo)入。

問題：如圖1，已知一個半徑為2cm 的圓⊙O，在△ABC 的外部沿三角形的邊滾動（無滑動）一周，其中AB=5cm，BC=6cm，AC=7cm，求：當(dāng)⊙O 滾動結(jié)束時，⊙O 的圓心O 所運(yùn)動的路徑的長度。

師：我們已經(jīng)學(xué)完了第二章“對稱圖形——圓”，今天我們來研究數(shù)學(xué)實驗手冊的“實驗6：滾動的圓”，同學(xué)們先看老師給出的問題。

師：有答案的同學(xué)請舉手。（沒有學(xué)生舉手）你們?yōu)槭裁床慌e手？

生1：這個問題很有趣，但圓在三角形邊上滾動，它的規(guī)律我還未發(fā)現(xiàn)，所以沒舉手。

生2：我做出了一個答案，但不敢確定，所以沒有舉手。

生3：我看到它是中考模擬題，心理壓力很大，思維有點“短路”。

師：看來這個問題對同學(xué)們的挑戰(zhàn)還是比較大的，下面我們先來從簡單的問題探究開始。

【教學(xué)意圖】關(guān)注對“未舉手”的提問，因為借班上課是為了進(jìn)一步了解學(xué)情，了解學(xué)生的思維“斷點”和學(xué)習(xí)心理；開門見山地將這個問題讓學(xué)生先思考一下，讓學(xué)生明白對此類問題探究的重要性和必要性；也為本節(jié)課的前后呼應(yīng)設(shè)置一個懸念。

2.自覺體悟。

問題探究1：如圖2，半徑為r的圓沿著直線無滑動地滾動一圈，圓心所移動的路徑是怎樣的圖形？圓心所經(jīng)過的路徑的長度是多少？

師：對問題探究1有結(jié)果的請舉手。

生4：這個問題在小學(xué)時就已經(jīng)探究過了。如圖3，在探究中我發(fā)現(xiàn)，在運(yùn)動過程中圓上的每個點都緊緊貼在直線上所走過的線段長，與滾動前后的圓心距剛好是矩形的一組對邊，因此可以判斷，圓心所運(yùn)動的路徑是一條線段，圓心所經(jīng)過的路徑的長度是這個圓的周長為2πr。

問題探究2：如圖4，半徑為r的圓的滾動路徑為：兩條總長度為m的直線段組成，其夾角為α，請試著畫出圓心運(yùn)動的路徑圖形，求其圓心運(yùn)動的路徑長度。

師：你們在這個問題的探究中，其認(rèn)知難點在哪里？

生5：圓滾到點C后會怎么滾的問題。

師：好的，針對這個認(rèn)知難點，請同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的硬幣先進(jìn)行自主實驗和思考，再在小組內(nèi)相互交流。（學(xué)生操作、交流，教師巡學(xué)指導(dǎo)）

師：哪一個小組來展示你們的學(xué)習(xí)成果？

生6：我們研究發(fā)現(xiàn)圓滾到點C后圓心會繞點C旋轉(zhuǎn)后再滾動，所以……

師（示意暫停，教師動畫演示，如下頁圖5）：對這個問題的理解，大家有沒有問題？

生：沒問題！

生6：所以圓心運(yùn)動的路徑是兩條線段長加上一段圓弧長，兩條線段長度之和為m。

師：那這段圓弧長是哪條弧的長度？

【教學(xué)意圖】教學(xué)要讓學(xué)生明白認(rèn)知難點在哪里，這樣的探究才會有的放矢；通過獨立探究和小組交流，幫助中低學(xué)力的學(xué)生理解和掌握；這個環(huán)節(jié)揭示了算法模型的實質(zhì)，一定要讓全體學(xué)生徹底理解和掌握。

問題探究3：如圖6，將一個半徑為r的圓在一個周長為m 的n 邊形上滾動（外部），請試著畫出圓心運(yùn)動的路徑圖形，求其圓心運(yùn)動的路徑長度。

師：現(xiàn)在我們來看問題探究3，這個問題與探究2有什么聯(lián)系？

生7：問題探究2 只是問題探究3 的每個內(nèi)角處發(fā)生的情境。

師：很好！下面給5 分鐘時間，請每個同學(xué)先獨立探究，再小組交流。

師：現(xiàn)在哪個小組來展示你們的合作成果？

則當(dāng)半徑為r的圓在一個周長為m的n邊形上滾動（外部）時，其圓心移動的路徑長度m+2πr。

師：大家聽明白了嗎？還有哪個小組有不同的想法嗎？

生9：我們小組和他們小組在解題思路上大體相同，但我們沒有假設(shè)每一個外角的度數(shù)，我們是這樣做的，由問題探究2 可知，∠ABC+∠DBE=180°，可得：∠DBE=180°-∠ABC，所有的內(nèi)角處都存在這樣的情況，所以所有弧的圓心角之和為n·180°-（∠ABC+∠BCD+…+∠HAB）=n·180°-（n-2）·180°=360°。

【教學(xué)意圖】為了突破學(xué)生的認(rèn)知難點，教師指出了問題探究2和問題探究3的聯(lián)系，便于學(xué)生進(jìn)行認(rèn)知遷移；學(xué)生中有不同的思路，應(yīng)讓他們進(jìn)行展示，促進(jìn)學(xué)生建立關(guān)系性理解。

3.模型提煉。

（1）算法模型：如圖6，將一個半徑為r 的圓在一個周長為m 的n 邊形上（外側(cè)）滾動，則其圓心運(yùn)動的路徑長度m+2πr。

（2）模型驗證：當(dāng)半徑為r 的動圓沿著四邊形的外圍無滑動地滾動時，請驗證動圓的圓心沿四邊形運(yùn)動的路徑之和為：L=C四邊形+C圓周。

語言表述：一個圓在一個多邊形上（外側(cè)）滾動（無滑動），則其圓心移動的路徑長度是多邊形與這個圓的周長之和。

二、建立模型聯(lián)系

1.驗?zāi)８哪！?/p>

（1）完成導(dǎo)入情境中所提出的問題。

（2）如圖7，在矩形ABCD 中，AB=6cm，BC=4cm，有一個半徑為1cm 的圓在矩形內(nèi)沿著邊AB、BC、CD、DA滾動到開始的位置為止，則圓心所運(yùn)動的路徑長度是（ ）。

A.20cm B.（20+2π）cm

C.（20-2π）cm D.以上都不對

學(xué)生的完成情況都很好，過程略。

【教學(xué)意圖】圓在矩形內(nèi)滾動就不能用所提煉的算法模型，但能促進(jìn)學(xué)生對所提煉的算法模型適用前提的理解，讓學(xué)生學(xué)會辨模、改模和重新建模。

2.變式應(yīng)用。

（1）取兩枚同樣大小的硬幣，設(shè)半徑均為r，固定其中一枚，將另一枚硬幣繞其邊緣滾動一周，那么它所滾動的路徑是什么圖形？其圓心運(yùn)動的路徑長度是多少呢？

（2）如圖8，有兩個大小不同的⊙A 和⊙O，⊙A 的半徑為R，圓⊙O 半徑均為r，固定⊙A，將小圓繞其邊緣（外側(cè)）滾動一周（無滑動），那么小圓的圓心所運(yùn)動的路徑是什么樣的圖形？其圓心運(yùn)動的路徑長度是多少呢？

（3）圓在多邊形的邊上（外側(cè)）滾動與小圓在大圓的圓周（外側(cè)）滾動有什么聯(lián)系？試說出你的猜想。

師：剛才我們討論了圓在多邊形的邊上（外側(cè)）滾動，現(xiàn)在我們討論圓在圓周上（外側(cè)）滾動，大家先看問題（1），拿出硬幣先操作再交流。

生10：這個問題不復(fù)雜，如圖9，因為兩個硬幣是等圓，所以動圓的圓心所運(yùn)動的路徑是一個半徑為2 r 的大圓，故圓心運(yùn)動的路徑長度是4πr。

師：問題（2）的解決思路，誰來說一下？

生11：從如圖8中可以看出，動圓的圓心所運(yùn)動的路徑是一個定圓的圓心為圓心，半徑為（R+r）的圓，故圓心運(yùn)動的路徑長度是2π（R+r）。

師：我們將2π（R+r）展開以后是什么結(jié)果？

生11：是2πR+2πr，是這兩個圓的周長之和。

師：我們回頭來看一下，我們所提煉的算法模型中的結(jié)論是什么？

生11：一個圓在一個多邊形上（外側(cè)）滾動（無滑動），則其圓心移動的路徑長度是多邊形與這個圓的周長之和。

師：有什么想法？

生11（豁然開朗）：可以將這兩個算法模型統(tǒng)一起來：一個圓在一個多邊形上（或圓）的（外側(cè)）滾動（無滑動），則其圓心運(yùn)動的路徑長度是多邊形與這個圓（或兩圓）的周長之和。

師：事實上，如圖10，當(dāng)動圓沿四邊形四邊外側(cè)滾動時，其圓心運(yùn)動的路徑之和為：L=C四邊形+C圓周，而有了這個發(fā)現(xiàn)之后，我們按同樣的推理方式不難得出在五邊形、六邊形以至n邊形中都有著驚人的相似，所以有當(dāng)動圓沿n邊形外圍滾動一周時，其圓心運(yùn)動的路徑長為L=Cn邊形+C圓周。

當(dāng)多邊形的邊數(shù)逐漸增多時，多邊形漸漸失去了棱角，當(dāng)邊數(shù)趨近于無窮大時，多邊形就會變成一個圓，那么動圓的圓心運(yùn)動的路徑長度應(yīng)該為：L=C定圓+C動圓。

生11：真奇妙，原來“直”和“曲”是可以統(tǒng)一的！

【教學(xué)意圖】這里的學(xué)習(xí)活動基于對模型基礎(chǔ)背景的變式，能夠拓寬學(xué)生的視野。圓在另一個圓周上滾動是中考經(jīng)常考的，也是需要研究的問題。通過建立起從“直”到“曲”的聯(lián)系，不僅完善了學(xué)生的結(jié)構(gòu)化認(rèn)知，還促進(jìn)了學(xué)生對模型之間的關(guān)系性理解。

數(shù)學(xué)建模思想的形成是一個復(fù)雜的系統(tǒng)工程，它是對數(shù)學(xué)知識、能力、策略等不斷進(jìn)行組織和再組織的過程。數(shù)學(xué)教學(xué)的目的是為了發(fā)展學(xué)生的思維能力，而思維能力的提升是不可以直接傳授的，需要學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中不斷地體驗、領(lǐng)悟、感悟和頓悟。在本節(jié)課中筆者讓學(xué)生經(jīng)歷模型分析、模型提煉、驗?zāi)１婺?、變式?lián)系等核心過程，而不是一般的把學(xué)習(xí)時間還給學(xué)生，僅僅讓學(xué)生形式上得到自主、表面化合作和進(jìn)行沒有價值的“偽探究”，以此引領(lǐng)他們走向數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，使他們真正成為學(xué)習(xí)的主人，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育價值的追求：帶著知識走向?qū)W生不過是授人以魚，帶著學(xué)生走向知識才是授人以漁，這樣的教學(xué)才會有生命力。