從典型考題中探析圓錐曲線題型破解之策

新疆生產建設兵團第二師華山中學 張慶磊

高中數(shù)學教學中，圓錐曲線是重點知識內容，也是數(shù)學高考的主要考點，通常是以綜合類題型出現(xiàn)在卷面上，并且都是處于壓軸題位置，題型變化多端，非常靈活，主要考查學生的數(shù)學知識運用能力，也是圓錐曲線題型的典范。因為向量、導數(shù)知識相對比較充實，使得圓錐曲線試題朝著豐富形式發(fā)展，都是基于數(shù)學基礎知識層次，考查不同數(shù)學知識點的組合，需要學生真正掌握題目內容，懂得數(shù)學知識點之間的聯(lián)系，從而可以更好地整合數(shù)學基礎知識，提升高考圓錐曲線壓軸題解題效率。

一、圓錐曲線經典題型展示

（1）假設直線l 和經過點P 的切線垂直，求線段PQ 中點M 的軌跡方程；

此道高考圓錐曲線題是一道綜合題，是由直線、拋物線和不等式等基礎數(shù)學知識整合起來的一道軌跡方程題，主要考查學生解析幾何思想以及綜合解題能力。此題解決方式多種，具體解法如下：

（1）假設P 點的坐標是（xa，yb），Q 點坐標為（xc，yd），M點坐標則為（x0，y0），根據(jù)題意可知，xa≠0，yb和yd都大于0。

則可以得到y(tǒng)=x2,那么y'=x0①,

所以過點P 的切線斜率則為k切=xa，

又因為點M（x0，y0）是直線PQ 的中點，

（2）假設直線l：y=kx+b，結合題意可以得到k ≠0，b ≠0，那么T（0，b），過點P 和點Q 分別作PP'垂直于x 軸，QQ'垂直于y 軸，垂足依次是P'，Q'，那么：

消去x 能夠得到y(tǒng)2-2(k2+b)+b2=0 ③，

通過方程③可以得到兩個相異實根，則Δ=4（k2+b）2-4b2=4k2（k2+b)＞0，于是k2+2b ＞0，那么k2>-2b,

二、解題對策分析

圓錐曲線主要是圓、橢圓、雙曲線和拋物線知識的整合，統(tǒng)一定義則是到定點的距離和到定直線之間的距離比是e，點的軌跡則可以稱為圓錐曲線，當e ＞1 時為雙曲線，當e=1 時為拋物線，e ＜1 則為橢圓。解析幾何一般包含兩種問題類型，一種是結合題中假設條件，從而可以求出平面曲線表示的方程；一種是借助方程，對平面曲線性質具體分析，進而可以求出一個動點軌跡的方程。借助題目中假設的幾何關系，再借助解決數(shù)學問題的數(shù)形結合思想，轉變?yōu)閷で笞兞恐g的關系，結合此類數(shù)學問題，充分挖掘出數(shù)學幾何關系，從而可以將復雜問題轉化為簡單問題。圓錐曲線方程這章節(jié)數(shù)學知識包含的內容比較豐富，過程比較煩瑣，對于學生來說，很多結論無法一一記憶，解決問題的關鍵在于掌握圓錐曲線的基礎知識概念和實質等，通過數(shù)學基礎知識的掌握，真正解決實際問題，進而可以得到直線和圓錐曲線之間存在的關系，通過此種形式不斷提升高中學生數(shù)學問題解決能力，從而真正提升高中數(shù)學問題解決效率，在高考中獲得更高成績。

總而言之，高中數(shù)學知識中，圓錐曲線通常是數(shù)學試卷的壓軸題，是各種數(shù)學知識的整合，針對此數(shù)學知識，要具體分析，掌握圓錐曲線的基本概念和性質等，靈活應用，還要通過各種解題形式掌握具體思路，探尋數(shù)學解題規(guī)律，在日常數(shù)學教學中加以訓練。唯有這樣，學生未來在高考中才能夠更好地應對圓錐曲線題目內容，提升問題解決效率，使得學生可以在高考中獲得更好分數(shù)，促進自身發(fā)展。