圓背景下的線段最值問題

江蘇省張家港市第二中學(xué) 王 偉

學(xué)生們要清楚地知道線段的最值問題是求線段長度的最大值或者最小值、線段和或差的最大值或者最小值。這些問題在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的頻率很高。在學(xué)生學(xué)習(xí)圓這一章節(jié)后，線段最值問題又以不同的面貌出現(xiàn)了。實(shí)際上就是靈活利用圓的定義和性質(zhì)把新面貌下的線段最值問題轉(zhuǎn)化成學(xué)生熟悉的線段最值問題，比如兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短、三角形兩邊之和（ 或差） 大于（ 或小于） 第三邊等。教師在實(shí)際的教學(xué)過程中要不斷地灌輸解題策略，促進(jìn)學(xué)生們的解題能力產(chǎn)生質(zhì)的飛躍。

一、利用切線性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為垂線段最短

點(diǎn)撥：此題主要考查了圓的切線的性質(zhì)、勾股定理以及垂線段最短的模型。遇到圓的切線，常連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形，根據(jù)勾股定理將線段的最值轉(zhuǎn)化成垂線段最短的模型來解決問題。因此要求學(xué)生能根據(jù)題意，結(jié)合圓的切線性質(zhì)去突破。

二、找到隱圓，利用最短距離模型

此前，學(xué)生已經(jīng)掌握了“圓外一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最短距離模型”，其中：最短距離就是“圓外的點(diǎn)和圓心的距離減去圓的半徑”。但是，找到隱藏的圓對(duì)學(xué)生來講很難，這就要利用圓的定義去找到圓。

例 2：如圖3，四邊形ABCD 是邊長為1 的正方形，動(dòng)點(diǎn)E、F分別從點(diǎn)C，D 出發(fā)，以相同速度分別沿CB，DC 運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E 到達(dá)C 時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)）。連接AE，BF 交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P 分別作PM ∥CD，PN ∥BC，則線段MN 的長度的最小值為_______。

點(diǎn)撥：本題利用了“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”、由圓的定義確定了圓、“圓外一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最短距離模型”、勾股定理求解。利用圓的定義找到動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓為解題的關(guān)鍵，將線段的最小值轉(zhuǎn)化為“圓外一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最短距離模型”解決。

三、利用軸對(duì)稱，求線段和的最小值

在初中數(shù)學(xué)中，我們研究的主要圖形是三角形、四邊形、圓?？v觀中考題，有一類題目就是利用軸對(duì)稱性質(zhì)構(gòu)建線段和的最短路徑模型，而圓恰好也具有軸對(duì)稱性，所以也可以利用圓的軸對(duì)稱性進(jìn)行命題。

解析：如圖6，作點(diǎn)A 關(guān)于MN 的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B，交MN 于點(diǎn)P，連接OA'，OA，OB，PA，AA'。因?yàn)辄c(diǎn)A 是半圓上的三等分點(diǎn)，所以∠AON=60°。由圓的軸對(duì)稱性可得：PA=PA'，∠AON=∠A'ON=60°。又因?yàn)辄c(diǎn)B 是劣弧AN 的中點(diǎn)，所以∠BON=30°，則∠A'OB=90°。因?yàn)镺B=OA'= ，所以A'B=2，從而PA+PB=PA'+PB=A'B=2。

點(diǎn)撥：本題是要在MN 上找一點(diǎn)P，使PA+PB 的值最小。這是路徑最短問題，解題的關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱性找到對(duì)稱點(diǎn)。圓具有軸對(duì)稱性，直徑所在的直線是圓的對(duì)稱軸。

通過上述例題的講解，學(xué)生們應(yīng)該知道了圓背景下的線段最值問題需要利用圓的定義及各種性質(zhì)進(jìn)行解題。當(dāng)然，題型不僅僅有這三種，但是我們可以通過這三道例題知道，解題時(shí)要關(guān)注題意，利用圓的定義和性質(zhì)，將新問題轉(zhuǎn)化為見過的線段最值模型，從而順利解決問題。同時(shí)，教師也需要不斷去摸索，總結(jié)出經(jīng)驗(yàn)，及時(shí)穿插到教學(xué)中，把正確的解題思路分享給學(xué)生。而學(xué)生們要想掌握?qǐng)A背景下的線段最值問題的常用方法，就需要不斷地練習(xí)，找尋到問題的關(guān)鍵所在才能解決根本問題，才能突破自己，收到事半功倍的效果。