基于計(jì)盒維數(shù)的小波分形四叉樹(shù)醫(yī)學(xué)圖像編碼研究

杜洋，范醫(yī)魯，曲新亮

1. 山東職業(yè)學(xué)院 鐵道供電與電氣工程系，山東 濟(jì)南 250104；2. 山東第一醫(yī)科大學(xué)第一附屬醫(yī)院 醫(yī)學(xué)工程部，山東 濟(jì)南250014

引言

現(xiàn)代醫(yī)療設(shè)備及醫(yī)學(xué)成像技術(shù)的發(fā)展產(chǎn)生了海量的醫(yī)學(xué)圖像，這些醫(yī)學(xué)圖像中包含了巨大的與疾病診療相關(guān)的信息量，使其在臨床疾病的診斷中發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用[1]。而醫(yī)院醫(yī)學(xué)圖像存儲(chǔ)與傳輸系統(tǒng)的普及和遠(yuǎn)程醫(yī)療技術(shù)的發(fā)展，對(duì)數(shù)字醫(yī)學(xué)圖像處理技術(shù)提出了更高的要求[2]。與一般的圖像處理相比，醫(yī)學(xué)圖像處理具有其復(fù)雜性和特殊性，其壓縮編碼處理要求更高的可靠性[3]。

針對(duì)醫(yī)學(xué)圖像的壓縮編碼，目前已發(fā)展了種類(lèi)繁多的相關(guān)算法，如Huffman編碼、正交變換編碼（基于離散余弦變換的JPEG）、子帶編碼（基于小波的零樹(shù)編碼）和分形等[4-7]。其中，小波變換與分形方法相結(jié)合的小波分形編碼方法是近幾年來(lái)的研究熱點(diǎn)[8-9]。相比傳統(tǒng)單純的小波變換，小波分形編碼方法具有壓縮比高、恢復(fù)圖像質(zhì)量高等優(yōu)點(diǎn)[10]。但該方法仍然存在匹配時(shí)間較長(zhǎng)、編碼時(shí)間較長(zhǎng)等問(wèn)題。

本研究在課題組已開(kāi)發(fā)的自適應(yīng)小波分形四叉樹(shù)醫(yī)學(xué)圖像編碼方法[11]基礎(chǔ)上，將自適應(yīng)差分計(jì)盒維數(shù)[12]引入到小波分形四叉樹(shù)醫(yī)學(xué)圖像編碼方法中，在進(jìn)行小波分形四叉樹(shù)匹配時(shí)，只對(duì)分形維數(shù)值相近的X樹(shù)和D樹(shù)進(jìn)行匹配，縮小了匹配范圍，縮短了匹配時(shí)間。在恢復(fù)圖像質(zhì)量和壓縮比不變的基礎(chǔ)上，圖像的編碼時(shí)間將大大縮短，本文通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該算法的有效性，現(xiàn)報(bào)告如下。

1 差分計(jì)盒維數(shù)法定義

1.1 計(jì)盒維數(shù)

計(jì)盒維數(shù)法是分形維數(shù)計(jì)算中相對(duì)簡(jiǎn)單的一種方法，應(yīng)用也為最廣泛。在醫(yī)學(xué)圖像中，病灶部位與非病灶部位的分形維數(shù)值存在明顯差異[13]。使用計(jì)盒維數(shù)對(duì)圖像進(jìn)行邊緣提取可解決圖像處理中噪聲濾除與圖像細(xì)節(jié)間的矛盾，為醫(yī)學(xué)圖像處理提供一種有效新方法。

計(jì)盒維數(shù)的定義如下：設(shè)A是空間Rn的任意非空有界子集，對(duì)于任意r＞0，Nr(A)表示用于覆蓋所需邊長(zhǎng)為r的n維盒子的最小數(shù)目。若存在一個(gè)數(shù)d，使得r→0時(shí)滿足公式(1)：

則稱d為A的計(jì)盒維數(shù)。

需要注意的是，計(jì)盒維數(shù)為d，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)正數(shù)k滿足公式(2)：

對(duì)式(2)兩邊取對(duì)數(shù)可得公式(3)：

進(jìn)一步求得公式(4)：

1.2 差分計(jì)盒維數(shù)

差分計(jì)盒維數(shù)是一種比傳統(tǒng)的計(jì)盒維數(shù)方法精確性更好、計(jì)算簡(jiǎn)單的方法[12]。該方法將待處理的醫(yī)學(xué)圖像分割成像素大小一致的小格子，然后依次計(jì)算每個(gè)格子的計(jì)盒維數(shù)。用差分計(jì)盒維數(shù)方法計(jì)算分形維數(shù)的算法分三步。

（1）將一幅像素為M×N的圖像 分割成像素大小為m×n的子塊，其中m=M/r，n=N/r。將每一個(gè)子塊圖像視為三維視圖，則子塊圖像的高度為p=∧/r， 表示子塊圖像總灰階數(shù)。則第(i,j)個(gè)子塊圖像的總盒數(shù)，見(jiàn)公式(5)。

其中，S(i,j)表示第(i,j)個(gè)子塊的面積。nr(i,j)取實(shí)數(shù)值而不是只取整數(shù)值。

（2）整個(gè)圖像的總盒數(shù)，見(jiàn)公式(6)。

（3）由式(4)，r分別取不同的值，可以畫(huà)出(log(1/r)，log(Nr))的曲線圖，曲線圖的斜率就是計(jì)盒維數(shù)d的值。

2 小波分形四叉樹(shù)編碼方法

小波分形四叉樹(shù)編碼方法是針對(duì)圖像小波變換后的系數(shù)進(jìn)行分形四叉樹(shù)編碼，創(chuàng)建小波X樹(shù)和匹配樹(shù)P，在誤差允許的范圍內(nèi)，匹配樹(shù)P進(jìn)行仿射變換與X樹(shù)進(jìn)行匹配，得到匹配系數(shù)[14]。對(duì)不滿足閾值匹配條件的分形編碼方塊，將繼續(xù)細(xì)分為4個(gè)小的子樹(shù)進(jìn)行分形編碼，直到滿足閾值匹配條件或者達(dá)到最小尺寸為止。

假定編碼后圖像總碼率為B。算法的大致步驟為：① 采用對(duì)稱或反對(duì)稱的小波基函數(shù)對(duì)原始圖像進(jìn)行小波變換；② 對(duì)第一步得到的系數(shù)進(jìn)行分形四叉樹(shù)編碼；③ 設(shè)定閾值ε，在滿足閾值要求的條件下，構(gòu)造匹配樹(shù)與小波分形四叉樹(shù)進(jìn)行匹配計(jì)算，設(shè)定保存分形匹配系數(shù)所需的比特?cái)?shù)為Bf；④ 對(duì)剩下的沒(méi)有進(jìn)行分形匹配的小波系數(shù)進(jìn)行量化編碼，剩下的系數(shù)中，除了不滿足尺度條件的小波系數(shù)，還有不滿足四叉樹(shù)分割條件而保留下來(lái)的部分系數(shù)，用剩下的比特?cái)?shù)Bw=B-Bf對(duì)這些系數(shù)進(jìn)行量化編碼。

3 本文具體算法

為解決小波分形編碼方法匹配時(shí)間長(zhǎng)、編碼時(shí)間長(zhǎng)的問(wèn)題，本研究將自適應(yīng)差分計(jì)盒維數(shù)引入到小波分形四叉樹(shù)醫(yī)學(xué)圖像編碼方法中，在進(jìn)行小波分形四叉樹(shù)匹配時(shí)，只對(duì)分形維數(shù)值相近的X樹(shù)和D樹(shù)進(jìn)行匹配，縮小了匹配范圍，縮短了匹配時(shí)間。在恢復(fù)圖像質(zhì)量和壓縮比不變的基礎(chǔ)上，圖像的編碼時(shí)間將大大縮短。本文算法流程示意圖如圖1所示。

圖1 本文算法流程示意圖

為便于敘述本文算法，假設(shè)待壓縮圖像尺寸為256×256，這種假設(shè)對(duì)本文算法的一般性沒(méi)有影響。

（1）按照改進(jìn)的Mallat快速算法[15]對(duì)圖像進(jìn)行6級(jí)小波分解，獲得19個(gè)子帶圖像。

（2）對(duì)小波第6級(jí)分解圖像的4個(gè)分解子帶圖像LL0，LH0，HH0，HL0，進(jìn)行無(wú)失真量化編碼。

（3）首先構(gòu)造大小為341的小波樹(shù)X5和大小為1024的匹配樹(shù)P6，經(jīng)過(guò)計(jì)算可以知道共有192棵X5和64棵P6；其次計(jì)算X5的計(jì)盒維數(shù)和P6的計(jì)盒維數(shù)，分別記為Wx5和WP6。用均方誤差作為小波樹(shù)匹配時(shí)的誤差測(cè)度。

（4）對(duì)每一顆小波樹(shù)X5，按照|WX5-WP6|遍歷計(jì)算所有的匹配樹(shù)，按值由小到大的順序挑選匹配樹(shù)P6進(jìn)行匹配；假設(shè)匹配誤差門(mén)限為T(mén)5，經(jīng)過(guò)匹配后的誤差為E5，將E5＜T5為成功匹配條件。

（5）若是經(jīng)過(guò)計(jì)算，所有的匹配樹(shù)P6都不滿足匹配條件，則匹配失敗，需將X5進(jìn)一步的分割，此后不再計(jì)算小波樹(shù)和匹配樹(shù)的計(jì)盒維數(shù)。

（6）小波樹(shù)X5進(jìn)一步分割：第一部分為1個(gè)根節(jié)點(diǎn)，剩下340個(gè)節(jié)點(diǎn)組成另一部分X4，1個(gè)根節(jié)點(diǎn)在各自所屬的子帶內(nèi)采用標(biāo)量量化編碼，X4被看成一個(gè)新的小波樹(shù)，同樣的構(gòu)建匹配樹(shù)P5：可由P6去掉1個(gè)根節(jié)點(diǎn)得到。這樣就構(gòu)建了64個(gè)每個(gè)大小為1023的匹配樹(shù)P5。設(shè)定匹配誤差門(mén)限為T(mén)4，匹配后的誤差為E4，E4＜T4為成功匹配條件。

（7）若是經(jīng)過(guò)計(jì)算，所有的匹配樹(shù)P5都不滿足匹配條件則匹配失敗，需將X4進(jìn)一步分割：4個(gè)根節(jié)點(diǎn)采用標(biāo)量量化編碼，剩余的336個(gè)節(jié)點(diǎn)組成小波樹(shù)X3。同樣的構(gòu)建匹配樹(shù)P4：P5去掉4個(gè)根節(jié)點(diǎn)剩余1019個(gè)節(jié)點(diǎn)組成匹配樹(shù)P4，設(shè)定匹配誤差門(mén)限為T(mén)3，經(jīng)過(guò)匹配后的誤差為E3。E3＜T3為成功匹配條件。

（8）若是經(jīng)過(guò)計(jì)算，所有的匹配樹(shù)都無(wú)法滿足匹配條件，則按照上述類(lèi)似的方法對(duì)X3進(jìn)行分割并且構(gòu)建匹配樹(shù)、設(shè)定誤差門(mén)限，按照誤差門(mén)限進(jìn)行匹配；若不成功則進(jìn)一步分割，直到匹配成功或者達(dá)到本實(shí)驗(yàn)允許的最小子樹(shù)尺寸63。

（9）重復(fù)步驟（3）～（8），直到所有的X樹(shù)都匹配完畢或者到達(dá)最小分割條件為止。

相應(yīng)的醫(yī)學(xué)圖像的解碼步驟如下：① 恢復(fù)所有標(biāo)量量化編碼的小波系數(shù)；② 通過(guò)分形解碼，利用已知的分形系數(shù)和小波系數(shù)，通過(guò)分形四叉樹(shù)迭代方法恢復(fù)所有的小波系數(shù)；③ 小波反變換。解碼時(shí)，由匹配樹(shù)P經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)姆中巫儞Q恢復(fù)X的過(guò)程是無(wú)條件收斂的，且可經(jīng)有限次迭代完成收斂[14]。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

4.1 實(shí)驗(yàn)材料

本文選用醫(yī)學(xué)X射線圖像進(jìn)行仿真算法驗(yàn)證。將本文算法與傳統(tǒng)的小波分形四叉樹(shù)圖像編碼算法進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)環(huán)境為Pentium i3 CPU，4 G內(nèi)存，matlab版本為7.1。仿真實(shí)驗(yàn)條件如下：① 選取的醫(yī)學(xué)X射線圖像256級(jí)灰度（8 bit），原始圖像大小為2048×2048；② 小波變換所用的是雙正交小波基B97；③ 原始圖像的小波分解級(jí)數(shù)為8級(jí)，即小波樹(shù)的最大尺寸為16383，實(shí)驗(yàn)允許的最小分割尺寸為63；④ 所有標(biāo)量量化編碼的小波系數(shù)被量化為16 bit，計(jì)盒維數(shù)值被量化為32 bit；⑤ 其他由分形變換編碼的小波樹(shù)的記錄格式為：匹配樹(shù)的序號(hào)即P位置坐標(biāo)（Px,Py），組合變換系數(shù)s，系數(shù)變換因子a，其中s為8 bit，a的取值范圍為[-2.0,2.0]并量化為8 bit，（Px,Py）則根據(jù)不同的搜索空間而定；⑥ 分割閾值根據(jù)實(shí)驗(yàn)要求靈活設(shè)置（一般來(lái)說(shuō)：閾值增大，四叉樹(shù)分割次數(shù)減少，圖像的壓縮倍率提高，但恢復(fù)圖像質(zhì)量下降；閾值減小，四叉樹(shù)分割次數(shù)增多，圖像的壓縮倍率降低，但恢復(fù)圖像質(zhì)量提高）。

4.2 圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)

峰值信噪比（Peak Signal-to-Noise Ratio，PSNR）是一個(gè)工程術(shù)語(yǔ)，表示信號(hào)最大可能功率和影響它的破壞性噪聲功率的比值。在圖像壓縮領(lǐng)域中，PSNR是一種常用的測(cè)量信號(hào)重建質(zhì)量的方法。本研究中，我們采用PSRN來(lái)衡量恢復(fù)圖像質(zhì)量。PSNR定義為公式(7)。

其中，M和N是圖像尺寸，I(i,j)和I'(i,j)分別代表原始圖像和壓縮圖像的像素值。PSNR值越高表明重建圖像與原圖像的均方誤差越小，圖像質(zhì)量越好。

4.3 仿真結(jié)果

選用100張醫(yī)學(xué)X射線圖像進(jìn)行仿真算法驗(yàn)證，分別采用本文算法和小波分形四叉樹(shù)算法進(jìn)行圖像編碼。算法對(duì)比壓縮示例圖像如圖2和表1所示。

圖2 本文算法與小波分形四叉樹(shù)算法重建圖像

表1 本文算法與小波分形四叉樹(shù)算法結(jié)果對(duì)比

在本次實(shí)驗(yàn)中，圖2b和圖2c為一組對(duì)照?qǐng)D像，圖2d和圖2e為一組對(duì)照?qǐng)D像。由表1可以看出，在PSNR=28.8，壓縮比64.1時(shí)，本文算法匹配時(shí)間和編碼時(shí)間分別比小波分形四叉樹(shù)算法縮短8 s和9 s；在PSNR=29.7，壓縮比60.5時(shí)，本文算法匹配時(shí)間和編碼時(shí)間比小波分形四叉樹(shù)算法均縮短8 s。由此可見(jiàn)，在兩種算法壓縮比、重建圖像質(zhì)量相同的情況下，本文提出的算法編碼時(shí)間明顯優(yōu)于傳統(tǒng)小波分形四叉樹(shù)算法。

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文算法的有效性和優(yōu)越性，我們采用統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析，采用SPSS 17.0軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，進(jìn)行χ2檢驗(yàn)，以P＜0.05為差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。本文分別采用本文提出的編碼算法和傳統(tǒng)小波分形四叉樹(shù)編碼算法對(duì)100張?jiān)紙D像進(jìn)行壓縮編碼，具體結(jié)果見(jiàn)如表2所示。

表2 兩組編碼時(shí)間比較

由表2可見(jiàn)，在相同壓縮比和重建圖像質(zhì)量的前提下，本文算法的編碼時(shí)間明顯優(yōu)于傳統(tǒng)小波四叉樹(shù)算法。此外，本文算法是一種有損的圖像壓縮方法，重建圖像已經(jīng)丟失某些細(xì)節(jié)，而這些細(xì)節(jié)在醫(yī)學(xué)診斷中往往具有很高的價(jià)值。但在某些特殊的應(yīng)用場(chǎng)景中，如回顧、教學(xué)或有權(quán)限限制的用戶瀏覽時(shí)，經(jīng)本文算法的重建圖像是可以接受的。

5 討論

小波分形四叉樹(shù)編碼方法是一種效果較好的醫(yī)學(xué)圖像壓縮方法，但是存在編碼時(shí)間較長(zhǎng)的問(wèn)題。小波和分形編碼偏向圖像的結(jié)構(gòu)和紋理，支持多分辨率采樣，這與當(dāng)前圖像壓縮向結(jié)構(gòu)編碼轉(zhuǎn)變的趨勢(shì)相符[16]。醫(yī)學(xué)圖像分形壓縮方法是一種利用局部迭代函數(shù)系統(tǒng)進(jìn)行圖像壓縮的算法，能夠取得較高的壓縮比。相比傳統(tǒng)單純的小波變換，小波分形編碼方法具有壓縮比高、恢復(fù)圖像質(zhì)量高等優(yōu)點(diǎn)[10]。但該方法仍然存在匹配時(shí)間較長(zhǎng)、編碼時(shí)間較長(zhǎng)等問(wèn)題。

在圖像分形幾何學(xué)中，具有分形結(jié)構(gòu)的形狀和復(fù)雜程度可通過(guò)分形維數(shù)來(lái)表示。分形維數(shù)是定量描述分形的基本參量，它是標(biāo)度變換下的不變量，是對(duì)物體復(fù)雜程度、粗糙程度、不規(guī)則程度等性質(zhì)的一種測(cè)度[17]。分形維數(shù)值越大表明形狀越復(fù)雜，反之則越規(guī)則[18]。分形維數(shù)有多種計(jì)算方法，其中差分計(jì)盒維數(shù)[19-20]因其計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單、直觀，是分形維數(shù)計(jì)算方法中最常用的一種。

本文將差分計(jì)盒維數(shù)引入到小波分形四叉樹(shù)算法中，對(duì)小波分形四叉樹(shù)算法加以改進(jìn)，按照計(jì)盒維數(shù)值的近似程度選取匹配樹(shù)進(jìn)行匹配，相比傳統(tǒng)小波分形四叉樹(shù)方法在壓縮比和恢復(fù)圖像質(zhì)量相差不大的情況下，明顯減少了匹配時(shí)間，從而縮短了編碼時(shí)間。仿真實(shí)驗(yàn)也證明了本文算法的有效性。

此外，本文提出的算法是一種有損圖像編碼方法，不能用于無(wú)損的圖像編碼場(chǎng)合。在對(duì)圖像質(zhì)量不苛求的情況下，本文算法是一種比較好的方法。