感受“圓”的魅力

文／許燕

圓是一種“完美”的圖形，其完美性不僅體現(xiàn)在它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，還體現(xiàn)在它的旋轉(zhuǎn)不變性。由圓的對稱性引出了許多重要的定理，為本章的計算與證明提供了依據(jù)。下面，我們將通過一組典型例題，和大家共同探討圓中有關(guān)問題的解題策略。

一、理解記憶，掌握基本結(jié)論

例1如圖1，在Rt△ACB中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=2，將Rt△ABC繞A點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△AED，則BC掃過的面積為_____。

圖1

【解析】∵在Rt△ACB中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=2，∴AB=4，AC=。

∴BC掃過的面積：

【策略方法】我們要理解弧長、扇形面積、圓柱面積、圓錐面積的推導過程，并學會從實際問題中抽象出數(shù)學問題，通過轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜圖形進行分解轉(zhuǎn)化。

二、巧妙“添線”，熟悉基本性質(zhì)

例2把球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖2，已知EF=CD=8cm，則球的半徑長是（ ）。

圖2

A.4cm B.5cm C.6cm D.8cm

【解析】設(shè)圓心為O，過點O作ON⊥AD于點N，延長NO，交CB于點M，連接OF，如圖3。

圖3

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠C=∠D=90°。

∴四邊形CDNM是矩形。

∴MN=CD=8。

設(shè)OF=x，則OM=OF，

∴ON=MN-OM=8-x，NF=EN=4。

在Rt△ONF中，ON2+NF2=OF2，即（8-x）2+42=x2，解得x=5。故選B。

【策略方法】由圓的對稱性能引出許多重要的定理和推論，這些性質(zhì)在計算和證明等方面有廣泛的應(yīng)用。一般來說，我們可以通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解決問題。

三、動中求靜，探尋本質(zhì)規(guī)律

例3如圖4，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，AB=13cm，將△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)后得△DEC，直線AD、EB相交于點F。取BC的中點G，連接GF，則GF的最大值為_____cm。

圖4

【解析】本題中因點D和點E的位置不確定，故直線AD、EB的交點F的位置也不確定。但經(jīng)分析可知，直線AD、EB相交所形成的∠AFB為定值90°（證明略）。如圖5，在Rt△AFB中，取斜邊AB的中點O，則。由圓的概念可知，到定點的距離為定長的點在圓上，從而可得出動點F的軌跡為以AB為直徑的圓。當O、G、F三點共線時，GF可取最值。如圖5，點F′即為GF取最大值時點F的位置，最大值為9。

圖5

【策略方法】本題涉及圖形的運動，我們解決此類問題時要學會從“變化”中尋找“不變”，探尋動點在運動過程中所形成的軌跡是解決問題的關(guān)鍵。