沈 丹, 彭 博, 李舟陽, 宮宇昆, 李平岐
(北京宇航系統(tǒng)工程研究所,北京 100076)
隨著運(yùn)載火箭研發(fā)模式的轉(zhuǎn)變,快速迭代和協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)成為主要發(fā)展方向。特別是在總體小回路論證時(shí),涉及彈道、氣動(dòng)和姿控等專業(yè),需要從大量構(gòu)型中篩選可行方案,氣動(dòng)計(jì)算對(duì)整個(gè)方案的設(shè)計(jì)有較大影響,為實(shí)現(xiàn)快速論證,需要?dú)鈩?dòng)特性計(jì)算實(shí)現(xiàn)在線輸出數(shù)據(jù)。而當(dāng)前運(yùn)載火箭的氣動(dòng)特性主要依靠風(fēng)洞試驗(yàn)和CFD仿真計(jì)算得到,需要耗費(fèi)較多的資源和時(shí)間周期,無法滿足快速論證和優(yōu)化的需求,亟需研究一種快速計(jì)算運(yùn)載火箭氣動(dòng)特性的方法,這一過程對(duì)精度要求相對(duì)較低,但對(duì)速度要求相對(duì)較高。
在CFD方法出現(xiàn)之前,運(yùn)載火箭的氣動(dòng)設(shè)計(jì)主要依靠工程算法。然而,工程算法基于無黏、有勢(shì)、小擾動(dòng)等假設(shè),因此對(duì)使用范圍有嚴(yán)格的限制。一般不單獨(dú)使用某種公式來給出氣動(dòng)特性數(shù)據(jù),需要多種公式和修正手段復(fù)合求解,這些復(fù)合的方法打包形成軟件,例如著名的美國空軍DATCOM軟件包,在有翼導(dǎo)彈快速設(shè)計(jì)中發(fā)揮著重要作用。然而,DATCOM軟件中沒有適用于捆綁助推器的復(fù)雜外形經(jīng)驗(yàn)算法[1-2],因此無法引入到大型運(yùn)載火箭的協(xié)同優(yōu)化當(dāng)中。
求解線化位流PG方程的面元法,只需要對(duì)飛行器表面進(jìn)行網(wǎng)格劃分,建模復(fù)雜度較小,由于面元法求解的是線性方程組,因此其計(jì)算速度很快。當(dāng)前較成熟和通用的面元法代碼是NASA為波音公司開發(fā)的PANAIR[3]。但由于線化位勢(shì)方程框架本身的假設(shè),它不可處理跨聲速情況,也不適合用于處理黏性效應(yīng)和氣流分離顯著的情況,因此不適宜引入到大型運(yùn)載火箭的協(xié)同優(yōu)化當(dāng)中。
近年來,隨著多學(xué)科優(yōu)化( Multidisciplinary Design Optimization,MDO)和氣動(dòng)外形優(yōu)化(Aerodynamic Shape Optimization,ASO)的發(fā)展,選擇近似的數(shù)學(xué)模型,將氣動(dòng)特性對(duì)外形參數(shù)的響應(yīng)看成黑箱問題,采用樣本結(jié)果對(duì)黑箱問題進(jìn)行訓(xùn)練和辨識(shí),進(jìn)行氣動(dòng)特性分析的方法被廣泛采用,形成了多種類型的代理模型[4]。本文針對(duì)運(yùn)載火箭外形變化的特點(diǎn),對(duì)氣動(dòng)參數(shù)擬合的代理模型進(jìn)行研究。
代理模型通過對(duì)若干采樣樣本(不同的火箭外形)氣動(dòng)計(jì)算數(shù)據(jù)進(jìn)行多次分析,得到對(duì)部分或全部設(shè)計(jì)空間的模擬,從而得到氣動(dòng)隱式函數(shù)模型的顯式函數(shù)近似表達(dá)式,其流程如圖1所示,主要步驟為:
1) 確定設(shè)計(jì)變量x1,x2,…,xm,確定設(shè)計(jì)空間(設(shè)計(jì)變量的上下限)。對(duì)于運(yùn)載火箭氣動(dòng)計(jì)算,設(shè)計(jì)變量是標(biāo)準(zhǔn)火箭外形的一系列拓?fù)漕愋秃统叽鐓?shù),設(shè)計(jì)空間為總體設(shè)計(jì)對(duì)火箭外形的約束范圍;
3) 本文針對(duì)氣動(dòng)計(jì)算外形需要進(jìn)行前處理操作,即生成幾何模型并劃分空間網(wǎng)格;
4) 利用數(shù)值試驗(yàn)的方法確定在樣本點(diǎn)xi處的系統(tǒng)響應(yīng)值yi,并利用它們構(gòu)成一系列樣本對(duì){(xi,yi),i=1,2,…,m},其中yi=(y1,y2,…,yq),是一個(gè)q維響應(yīng)值,針對(duì)火箭氣動(dòng)特性,yi指升力系數(shù)、阻力系數(shù)、壓心系數(shù)等期望得到的計(jì)算結(jié)果;
5) 選取一部分樣本對(duì)做為訓(xùn)練樣本,采用適當(dāng)?shù)慕品椒?gòu)建代理模型,確定代理模型f(xi)的參數(shù),使f(xi)與yi近似程度最好,剩余樣本用做檢驗(yàn)?zāi)P途?。如模型預(yù)測(cè)精度滿足設(shè)計(jì)要求則結(jié)束,否則修改模型參數(shù)或者增加樣本,直到其預(yù)測(cè)精度滿足要求為止。
圖1 代理模型的構(gòu)建途徑Fig.1 Construction approach of surrogate model
大型運(yùn)載火箭一般采取捆綁助推器的構(gòu)型,我國現(xiàn)役和在研的運(yùn)載火箭往往采用2個(gè)或4個(gè)助推器,本文示例的是四助推器的構(gòu)型,如圖2所示。圖中的參數(shù)和尺寸充分且唯一地定義了火箭的氣動(dòng)外形。按照經(jīng)驗(yàn)將頭部錐角和捆綁縫隙寬度固定為常值,其余16個(gè)設(shè)計(jì)變量變化取值,構(gòu)成不同的火箭外形。因此本文中的設(shè)計(jì)空間是16維的高維空間。
RF-整流罩球頭半徑;L1-頭部第一錐長度(到實(shí)際尖點(diǎn));A1-頭部第一錐錐角;L2-頭部第二錐長度;A2-頭部第二錐錐角; LF-頭部直筒段長度;DF-直徑;L3-頭部倒錐長度;LC1-芯級(jí)直筒一長度;DC1-直徑;L4-芯級(jí)過渡段長度; LC2-芯級(jí)直筒二長度;DC2-直徑;RZ-助推球頭半徑;LZ-助推頂點(diǎn)/全箭頂點(diǎn)距離;LZ1-助推第一錐長度(到助推頂點(diǎn)); AZ1-助推第一錐錐角;LZ2-助推柱段長度;DD-助推直徑;H-芯助縫隙;BB-尾翼弦長圖2 設(shè)計(jì)變量釋義Fig.2 Definition of design variables
根據(jù)總體設(shè)計(jì)各專業(yè)經(jīng)驗(yàn),形成如下約束條件,最終形成設(shè)計(jì)空間:
1)芯級(jí)直徑大于助推直徑;
2)整流罩直徑與相鄰芯級(jí)直徑比范圍:1~1.6 ;
3)相鄰芯級(jí)直徑比例(芯級(jí)下段直徑除以上段直徑):1~1.5 ;
4)助推器長度與全箭總長的比例:25%~65%。
試驗(yàn)設(shè)計(jì)(Design of Experiments,DOE)為代理模型構(gòu)建提供訓(xùn)練和測(cè)試樣本,其合理與否關(guān)系到代理模型的預(yù)測(cè)精度,采樣樣本點(diǎn)要盡量充滿整個(gè)空間,應(yīng)該是整個(gè)設(shè)計(jì)空間的具有代表意義的典型子集,具有良好的均勻性和正交性。由于本文中的設(shè)計(jì)空間是16維的高維空間,采用拉丁超立方試驗(yàn)更為適宜。拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)是專門為仿真試驗(yàn)提出的一種試驗(yàn)設(shè)計(jì)類型。它是一種充滿空間的設(shè)計(jì),使輸入組合相對(duì)均勻地填滿整個(gè)試驗(yàn)區(qū)間,并且每個(gè)變量只水平使用一次。拉丁超立法試驗(yàn)設(shè)計(jì)具有非常好的空間填充能力,可以擬合非線性相應(yīng),即較正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)而言,可以用同樣的點(diǎn)數(shù)研究更多的數(shù)據(jù)組合[5]。
假設(shè)設(shè)計(jì)問題共有r個(gè)因子,每個(gè)因子分為n個(gè)間距,每個(gè)間距里面取一個(gè)值,則每個(gè)因子有n個(gè)水平值,拉丁方設(shè)計(jì)表是有r個(gè)因子的n個(gè)水平值組成的一個(gè)n×r矩陣,算法可用下式描述
(1)
其中,1≤j≤n,1≤j≤k,k是水平數(shù),n是因子個(gè)數(shù),U是區(qū)間 [0,1]上的隨機(jī)數(shù),π是序列0,1,…,k-1的一個(gè)排列。下標(biāo)j是因子索引,上標(biāo) (i)是水平索引。抽樣時(shí)首先將[0,1]區(qū)間劃分成N個(gè)互不重疊的子區(qū)間,然后在每個(gè)子區(qū)間中進(jìn)行獨(dú)立的隨機(jī)抽樣。
為避免樣本生成耗費(fèi)過長的周期,同時(shí)保持一定的工程應(yīng)用精度,本文使用高精度無黏分析軟件Cart3D對(duì)飛行器進(jìn)行氣動(dòng)特性分析。該軟件首先在全流場域生成各向尺寸一致的粗糙網(wǎng)格,再根據(jù)模型結(jié)構(gòu)在物面附近自動(dòng)逐步加密得到尺寸合適的流場網(wǎng)格,程序能通過定義網(wǎng)格區(qū)域及網(wǎng)格密度,自動(dòng)捕捉模型的幾何特征,快速生成笛卡爾網(wǎng)格(圖3),極大地壓縮網(wǎng)格生成時(shí)間,最后求解Euler方程得到流場結(jié)果。該方法網(wǎng)格生成效率高,流場求解速度快,能大大縮短計(jì)算時(shí)間。為高效批量生成幾何模型并劃分網(wǎng)格,采用程序控制的腳本模式運(yùn)行上述過程。
圖3 樣本生成中Cart3D計(jì)算網(wǎng)格Fig.3 Cart3D mesh
為驗(yàn)證Cart3D軟件的計(jì)算精度,應(yīng)用國內(nèi)某型經(jīng)典捆綁運(yùn)載火箭標(biāo)準(zhǔn)外形使用Cart3D和Fluent軟件分別開展計(jì)算并比較,結(jié)果如表1所示。針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)外形,在各馬赫數(shù)下Cart3D與Fluent的計(jì)算誤差最大約13.4%(升力系數(shù),Ma=3.0,攻角a=0°),平均誤差在10%以內(nèi),可以用于樣本庫的建立。
表1 Cart3D與Fluent結(jié)果相對(duì)誤差
常用的代理模型有:多項(xiàng)式響應(yīng)面模型、徑向基 RBF 插值模型、Kriging 模型、SVM支持向量機(jī)、BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等,表2給出了上述幾種近似模型及其優(yōu)缺點(diǎn)[6]。由于本文研究的對(duì)象維度高、非線性較強(qiáng),要求擬合方法的魯棒性較強(qiáng),因此選用了標(biāo)準(zhǔn)Kriging模型并使用GA遺傳算法進(jìn)行內(nèi)參優(yōu)化。同時(shí)選用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(30×2)作為對(duì)比學(xué)習(xí)組,對(duì)Kriging結(jié)果進(jìn)行對(duì)比評(píng)價(jià)。
表2 基本代理模型適用性比較
給定n個(gè)樣本點(diǎn)S=[s(1),s(2),…,s(n)]T,其中s(i)16維向量(火箭外形參數(shù)個(gè)數(shù)),對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值為Y=[y(1),y(2),…,y(n)]T,其中y(i)是3維向量(升力系數(shù)、阻力系數(shù)、壓心系數(shù)3個(gè)變量)。設(shè)計(jì)變量為x,對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)為y。
Kriging模型由全局模型和局部偏差模型構(gòu)成[7-8]
y=F(β,x)+z(x)
(2)
z(x)的協(xié)方差矩陣表明其局部偏離的程度,形式如下
cov(z(ω),z(x))=E[z(ω)z(x)]=σ2R(θ,ω,x)
(3)
式中,R(θ,ω,x)是表示任意兩個(gè)樣本點(diǎn)xi,xj之間的相關(guān)函數(shù),這里采用高斯相關(guān)函數(shù)
(4)
(5)
(6)
求解上式的非線性無約束優(yōu)化問題,使用MATLAB工具中的遺傳算法GA(Genetic Algorithm)對(duì)16維內(nèi)參θk(k=1,2,…,k)進(jìn)行全局尋優(yōu),從而得到最優(yōu)插值的Kriging模型。Kriging模型可以在全局范圍內(nèi)提供對(duì)預(yù)估計(jì)值的誤差評(píng)估,如式(7)所示。由此可以獲得模型預(yù)測(cè)不確定性最大的位置[9],并在該位置上添加新的樣本點(diǎn)。
(7)
在設(shè)計(jì)空間中隨機(jī)取2 000個(gè)外形參數(shù),按上式計(jì)算全局偏差,如圖4所示。將均方誤差0.02作為紅線,將紅線之上的測(cè)試點(diǎn)進(jìn)行標(biāo)記,使用Cart3D計(jì)算并加入到樣本庫中。
圖4 隨機(jī)測(cè)試點(diǎn)的均方誤差Fig.4 RSME of random test points
BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Back Propagation neural network,BPNN)是眾多神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法中應(yīng)用最為廣泛的一種,在人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用中,80%~90%的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型都是采用 BP 網(wǎng)絡(luò)或者它的變化形式[10]。對(duì)于火箭氣動(dòng)特性而言,諸參數(shù)具有高度非線性,因而擬合工具的非線性十分重要。本文采用兩個(gè)隱含層的結(jié)構(gòu),每層含30個(gè)節(jié)點(diǎn),如圖5所示。
圖5 BP網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖Fig.5 BP network topology
使用交叉驗(yàn)證方法[11]對(duì)樣本點(diǎn)進(jìn)行檢驗(yàn),例如針對(duì)四助推器在Ma=1.5,a=4°這一個(gè)工況的380個(gè)樣本,每次取1個(gè)作為測(cè)試點(diǎn),取剩余379個(gè)點(diǎn)作為訓(xùn)練點(diǎn),可以得到圖6中的誤差分布規(guī)律,誤差符合正態(tài)分布。但誤差的分布范圍很大,個(gè)別點(diǎn)的誤差高達(dá)100%~400%以上(紅色圈出),使用其余樣本點(diǎn)訓(xùn)練得到的網(wǎng)絡(luò)在這些點(diǎn)上是無效的,由此可以推斷這些樣本點(diǎn)與其余樣本點(diǎn)具有較大差異,如果數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果可信,則需要在這些點(diǎn)周圍增加樣本。
圖6 交叉驗(yàn)證誤差分布Fig.6 Cross-validation error distribution
在加點(diǎn)位置圍繞其中心,以原值50%為半徑的超球面作為加點(diǎn)空間,使用均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)進(jìn)行加點(diǎn),對(duì)每個(gè)目標(biāo)點(diǎn)周圍以同種方式加12個(gè)“衛(wèi)星點(diǎn)”,將樣本點(diǎn)規(guī)模擴(kuò)充為500個(gè)。對(duì)加點(diǎn)后的樣本庫再次進(jìn)行交叉驗(yàn)證,誤差分布如圖7所示。由此可見,加點(diǎn)之后的誤差分布更為集中,標(biāo)準(zhǔn)差減少34%,加點(diǎn)效果明顯。
圖7 加點(diǎn)后的交叉驗(yàn)證誤差分布Fig.7 Cross-validation error distribution after adding points
選取490個(gè)樣本點(diǎn)作為訓(xùn)練組,按上述方法得到對(duì)于氣動(dòng)特性的估計(jì)即升力系數(shù)、阻力系數(shù)、壓心系數(shù)(參考長度為樣本的箭體長度,參考面積為1 m2),選取另外10個(gè)作為評(píng)估組,則兩種方法的擬合值與期望值相比較如圖8所示,可以看出預(yù)測(cè)值較好地落在期望值上下兩側(cè)。
(a)升力系數(shù)
(b)阻力系數(shù)
(c)壓心系數(shù)圖8 評(píng)估點(diǎn)處的預(yù)測(cè)值Fig.8 Predicted value at evaluation points
根據(jù)式(8)對(duì)平均相對(duì)誤差(MRE)的定義,Kriging-GA方法和BPNN方法得到的代理模型在評(píng)估點(diǎn)集得到的誤差如表3所示,可以看出Kriging模型略優(yōu)于BPNN模型。
(8)
代理模型作為保證一定精度條件下對(duì)復(fù)雜數(shù)值模型的替代,在運(yùn)載火箭總體協(xié)同優(yōu)化中可發(fā)揮重要的作用。本文探索了火箭氣動(dòng)計(jì)算代理模型的完整過程,采用平均相對(duì)誤差指標(biāo)評(píng)估代理模型的預(yù)測(cè)精度,評(píng)估結(jié)果表明:
1)對(duì)于運(yùn)載火箭外形變化引起氣動(dòng)特性變化這類問題,在16維變量、500個(gè)樣本點(diǎn)規(guī)模的特定情況下,應(yīng)用Kriging的誤差小于BPNN;
2)利用Kriging模型作為代理模型的方法可滿足工程需求,平均相對(duì)誤差小于10%。