考慮附加質(zhì)量與彈簧的彈性支承桿損傷識別研究

王 宸，徐飛鴻

（長沙理工大學(xué) 長沙410114）

0 引言

損傷識別的應(yīng)用研究領(lǐng)域非常廣泛，如航空航天、機械、土木建筑等各行各業(yè)都存在著損傷識別問題。結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷，通常是結(jié)構(gòu)內(nèi)部或者表面開始出現(xiàn)裂紋，裂紋進一步拓展，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)出現(xiàn)破壞，反映了結(jié)構(gòu)的安全性［1］。如果不對結(jié)構(gòu)損傷可能帶來的嚴重后果加以重視，可能會導(dǎo)致重大工程事故的發(fā)生，造成驚人的經(jīng)濟損失以及人員傷亡。

結(jié)構(gòu)損傷診斷的方法有很多，大致可分為傳統(tǒng)檢測方法、靜力試驗方法和動力損傷診斷方法。傳統(tǒng)檢測方法通過外觀識別，需要大致知道發(fā)生損傷的位置；大型土木結(jié)構(gòu)構(gòu)件多，并且伴有隱蔽位置，如果使用靜力試驗方法，會導(dǎo)致工作量巨大；振動診斷法與之相比，利用結(jié)構(gòu)的動力特性，具有容易提取信號、方便、快速、便宜、不受隱蔽位置的限制等優(yōu)點。幾十年來，結(jié)構(gòu)損傷研究一直是熱點問題，國內(nèi)外學(xué)者進行了大量的研究，并取得了豐碩的成果。Admas 等人［2］在1979年的研究表明，兩階頻率的變化比與損傷程度無關(guān)，僅與損傷位置有關(guān)，通過對比理論比值與試驗比值，可以得到損傷情況。Kaminski［3］在1995 年的研究表明，頻率的變化率與損傷位置以及損傷剛度有關(guān)。2003 年徐飛鴻等人［4］提出將自由-彈性桿件簡化為基樁的一種理想模型，模態(tài)參數(shù)的變化量可以確定損傷位置與損傷程度。2004 年劉文峰等人［5］提出通過頻率識別結(jié)構(gòu)損傷的新方法，在測點受限制的情況下也可以發(fā)揮作用。其后，謝峻等人［6］提出了基于頻率測量改進的整體損傷估計法。2008 年王正盛［7］提出利用桿完好狀態(tài)與損傷狀態(tài)的特征進行結(jié)構(gòu)探傷識別的新方法。2015 年趙建華等人［8］提出以歸一化條件下的模態(tài)應(yīng)變能作為損傷識別指標(biāo)，并用最小二乘法求出損傷單元的損傷程度。2019 年申林等人［9］提出了結(jié)構(gòu)模態(tài)柔度對損傷識別更加敏感，以ULS 變化量作為損傷標(biāo)識量的觀點。2020 年何榮等人［10］提出了類柔度差曲率和頻率攝動的損傷識別方法，只需要第一階模態(tài)參數(shù)就可以進行損傷識別。

頻率是最容易獲得并且也是測得最準確的結(jié)構(gòu)動力特征，同時基于固有頻率的結(jié)構(gòu)損傷識別方法精度高、測試方法簡單，可以比較容易獲得高階模態(tài)信息。因此，基于頻率的損傷識別方法可以廣泛地采用。對于某些不適合布置測點的隱蔽部位，或者具有復(fù)雜形狀的結(jié)構(gòu)，頻率法也可以很好地發(fā)揮其優(yōu)勢。

在一定條件下，可以將基樁簡化為理想的彈性支承桿，根據(jù)彈性桿的振動理論，研究考慮桿的一端同時作用有附加質(zhì)量與彈簧，另一端為彈性支承條件下的結(jié)構(gòu)動力特性，通過位移導(dǎo)納的關(guān)系，推得結(jié)構(gòu)存在損傷時，損傷位置、損傷剛度與結(jié)構(gòu)固有頻率之間的關(guān)系，并且通過數(shù)值模擬加以驗證。

1 理論分析

從理論上講，結(jié)構(gòu)出現(xiàn)損傷的位置，會出現(xiàn)結(jié)構(gòu)動態(tài)響應(yīng)的變化，該處結(jié)構(gòu)的剛度與承載能力均會有所下降［9］。本文從結(jié)構(gòu)動力分析入手，對比損傷發(fā)生前后模態(tài)特征參數(shù)的變化，來探討考慮附加質(zhì)量與彈簧的彈性支承桿損傷識別方法。

圖1 為一端自由、另一端作用有附加質(zhì)量與彈簧的桿，附加質(zhì)量以集中質(zhì)量塊M 來代替，并且設(shè)集中質(zhì)量塊M 遠小于桿的總質(zhì)量，桿振動時集中質(zhì)量塊不會脫離桿的表面。彈簧的剛度系數(shù)為ka，桿側(cè)彈簧的剛度系數(shù)為ks1。

圖1 一端自由另一端作用附加質(zhì)量與彈簧的桿Fig.1 A Bar with One End Free and the Other End Acting on Mass and Spring

桿的縱向振動方程為：

邊界條件為：

利用分離變量法，假設(shè)u（x，t）=V（x）sin（ω t），可以求出V（x）的通解為：

圖2 為自由-彈性支承桿，桿側(cè)彈簧的剛度系數(shù)為ks2，一端受到大小為Qsin（ω t）力的作用，另一端受到彈性支承，彈簧的剛度系數(shù)為k0。

圖2 自由-彈性支承桿Fig.2 Free-spring Bar

2 損傷識別

圖3為考慮桿側(cè)受阻力并且考慮一端作用有附加質(zhì)量與彈簧的彈性支承桿，中間存在缺陷，用一無質(zhì)量的彈簧來代替，彈簧將桿分為B、C 兩段。x 表示缺陷的位置，kx表示缺陷位置的彈簧剛度。缺陷越大，損傷越嚴重，結(jié)構(gòu)剛度越??；缺陷越小，損傷越輕，結(jié)構(gòu)剛度越大。從而將彈性支承桿的損傷識別問題轉(zhuǎn)化為確定kx與x。

圖3 帶裂紋且考慮附加質(zhì)量與彈簧的彈性支承桿Fig.3 Spring Bar with Crack and Considering Mass and Spring

根據(jù)文獻［2］，可以推得缺陷處彈簧剛度與位移導(dǎo)納的關(guān)系為：

式中：βxx與γxx表示位移導(dǎo)納。

對B段利用式⑷的結(jié)論，可推得：

對C段利用式⑻的結(jié)論，可推得：

式⑽表明縱向振動的固有頻率、損傷位置、損傷位置的剛度之間的函數(shù)關(guān)系，這一關(guān)系對于各階模態(tài)均是成立的。對于結(jié)構(gòu)中某一種確定的缺陷，我們可以確定唯一的損傷位置與損傷剛度。將式⑽應(yīng)用于各階模態(tài)，先求出各階模態(tài)所對應(yīng)的固有頻率，顯然，各階損傷模態(tài)下求得的（EA/kx-x/l）曲線必匯交于一個交點，而這一交點所對應(yīng)的位置即為結(jié)構(gòu)出現(xiàn)損傷的位置。EA/kx表示損傷程度；x/l 表示損傷位置。從而達到對于考慮附加質(zhì)量與彈簧的彈性支承桿的損傷識別分析。

3 數(shù)值模擬

圖4 為一圓形等截面桿模型，一端帶有附加質(zhì)量與彈簧，另一端為彈性支承。附加質(zhì)量M=0.5 t，彈簧的剛度系數(shù)為ka=2.5×102kN/m，支撐彈簧的剛度系數(shù)為k0=5×107kN/m，桿側(cè)受到側(cè)向彈簧的約束，桿側(cè)彈簧的剛度系數(shù)為ks1=ks2=4.7×104kN/m。給定桿件的彈性模量E=3×107kN/m2，密度ρ=2.5×103kN/m3，桿長l=10 m，桿的直徑l=0.5 m。桿中存在一處裂紋，裂紋通過在桿的內(nèi)部挖出一個長寬高尺寸分別為0.05 m×0.05 m×0.01 m 的缺口來表示。其中x 表示裂紋距坐標(biāo)原點的距離，EA/kx表示損傷程度，x/l 表示損傷位置。利用ANSYS 中的Solid65 實體單元來建立缺陷桿的模型，Combine14 彈簧單元來模擬彈簧，Mass21 質(zhì)量單元來模擬作用于桿一端的附加質(zhì)量。在進行有限元分析時，按四面體網(wǎng)格進行劃分，并且在裂紋位置進行網(wǎng)格加密以及網(wǎng)格細化，得到各階損傷模態(tài)。

圖4 帶損傷的彈性支承桿Fig.4 Spring Bar with Crack

將表1 中損傷桿的頻率代入式⑽，可推得關(guān)于EA/kx與x/l 的表達式，由此可以確定損傷位置。診斷結(jié)果如表1所示，圖5為桿長為10 m 的損傷桿EA/kx與x/l的函數(shù)曲線。

表1 考慮附加質(zhì)量與彈簧的彈性支承桿數(shù)值計算結(jié)果Tab.1 Numerical Results of Spring Bar Considering Mass and Spring

圖5 EA/kx與x/l的關(guān)系曲線Fig.5 The Relation Curve between EA/kx and x/l

4 結(jié)論

通過分析考慮附加質(zhì)量與彈簧的彈性支承桿的縱向振動，得到了損傷位置、損傷剛度與結(jié)構(gòu)固有頻率之間的關(guān)系。只需利用結(jié)構(gòu)的前三階固有頻率，即可實現(xiàn)彈性支承桿的裂紋參數(shù)識別，并且通過數(shù)值模擬完成了彈性支承桿的損傷識別，由此擴大了文獻［2］的成果。

⑴結(jié)構(gòu)損傷會導(dǎo)致模態(tài)參數(shù)的變化，由此變化量通過曲線交點法就可以確定損傷位置與損傷程度。表1中x/l的理論值與x/l的模擬值存在一定誤差，其原因可能是：劃分的網(wǎng)格尺寸對于計算結(jié)果的影響；動力分析中忽略了土的阻尼影響所帶來的誤差；各階模態(tài)頻率對于損傷的敏感程度不完全相同。

⑵當(dāng)結(jié)構(gòu)損傷位置相同時，損傷程度越大，算得的EA/kx值越大，曲線交點法識別精度越高；損傷程度越小，算得的EA/kx值越小，曲線識別法識別精度越低。

⑶考慮附加質(zhì)量與彈簧的彈性支承桿可以視為考慮了上部承臺與承臺梁影響的基樁簡化模型，該種方法有望發(fā)展成為一種基樁損傷判斷新方法的理論基礎(chǔ)。