二進小波濾波器的構(gòu)造及其應用

賀 歡，吐爾洪江·阿布都克力木，何 笑

(新疆師范大學 數(shù)學科學學院，新疆 烏魯木齊 830017)

0 引 言

霧天空氣中含有的顆粒物影響著拍攝時獲取的圖像的質(zhì)量,導致圖像中含有的重要信息無法準確獲取,尤其是在交通方面,異物無法精確檢測,存在許多的安全隱患,同時也對人們?nèi)粘５某鲂性斐闪撕芏嗟牟槐?因此用什么方法能夠準確地獲取圖像的重要信息是當前不必可少的。當前主要的方法是直接提高圖像對比度的圖像增強方法和考慮圖像降質(zhì)原因的圖像復原方法。小波分析[1]因為具有良好的優(yōu)勢,即局部化能力和多分辨率分析能力,使得它的應用范圍非常廣泛。例如對受其他影響的信號進行去噪[2-4]，圖像也是一種信號,在獲取圖像的過程中,受到器材等設備的影響,這些影響也可以看作是噪聲;在故障診斷中[5-7],當波形出現(xiàn)間斷時,就是奇異部分;還有在圖像的壓縮[8-9],在圖像增強和圖像分割中的應用[10-13],以及在醫(yī)學等方面的應用[14-18]。將其應用在圖像去霧中，在對霧圖的處理中,利用濾波可以從含有復雜內(nèi)容的霧圖中提取所感興趣的內(nèi)容,并抑制無用的內(nèi)容。對于濾波器而言,具備正交性、緊支撐、對稱性、高階消失矩等[1]性質(zhì)是很必要的。理論上已經(jīng)證明同時具有正交性、對稱性和緊支撐性的只有Haar小波,而Haar小波的光滑性非常差。于是為了滿足小波函數(shù)具有緊支撐,同時具有線性相位的要求,必須研究另一類小波即雙正交小波,若不具有緊支撐,濾波器在實際應用中會出現(xiàn)截斷效應。從理論上來說,二進提升方案在很大程度上擴展了小波分析的研究范圍;在應用上來說,二進小波分析構(gòu)造也可以根據(jù)研究者自身的實際情況來構(gòu)造不同的二進小波或雙正交小波。該文根據(jù)二進提升方案,構(gòu)造出二進小波濾波器,將其作為初始濾波器,再對其進行提升,并將這些新構(gòu)造的二進小波濾波器應用到圖像去霧中,從主觀分析和客觀評價兩方面來對比二者的去霧效果。

1 二進小波濾波器

本節(jié)所使用的定理和命題選自文獻[1]。

1.1 二進提升方案

(1)

(2)

1.2 B-樣條二進小波的構(gòu)造

該方法構(gòu)造的B-樣條二進小波是將Mallat方法進行了推廣。

M次B-樣條函數(shù)φ(t)是特征函數(shù)χ[0,1](t)與其自身的m+1卷積的平移：φ(t)=χ*χ*χ…*χ[0,1](t)，χ[0,1]的m+1次。其傅里葉變換為：

(3)

由式(1),有：

(4)

由二進完全重構(gòu)條件(式(2)),有：

(5)

因此，由二尺度關系(式(1)),有：

(6)

當r=2,m=4時的尺度函數(shù)φ(t)與小波ψr(t)的B-樣條二進小波濾波器系數(shù)如表1所示，圖像如圖1所示。

表1 B-樣條二進小波濾波器系數(shù)

(a)尺度函數(shù)φt

1.3 提升二進小波的構(gòu)造

根據(jù)T．Abdukirim提出的二進提升方案,并調(diào)整方案中的自由參數(shù),便可以構(gòu)造出B-樣條二進小波濾波器。

(7)

(8)

該方案是一個利用已知的二進小波濾波器作為模板來構(gòu)造一個新的二進小波濾波器的系統(tǒng)的方法。

(9)

(10)

(11)

(12)

以1.1節(jié)構(gòu)造的r=2,m=4的濾波器為新的B-樣條二進小波濾波器作為初始二進小波濾波器(見表1)。利用本節(jié)的定理,將得到比初始小波具有更高階消失矩的提升二進小波。以下是對偶提升后的濾波器系數(shù)。

根據(jù)表2中的濾波器系數(shù)和圖2中的圖像,可以得出提升后的濾波器也具有對稱性、緊支性,消失矩的階數(shù)也有明顯的提高,繼續(xù)應用本節(jié)的定理,可以構(gòu)造出更高階的二進小波濾波器。

表2 對偶提升后的濾波器系數(shù)

續(xù)表2

(a)尺度函數(shù)

其中,圖中的函數(shù)表示如下：

2 算法實現(xiàn)

2.1 二進小波域的高頻子帶的非線性增強

霧圖經(jīng)二進小波變換分解得到的高頻子帶在小波域中,包含著霧圖大量的細節(jié)信息和噪聲,噪聲的含量嚴重影響著霧圖的質(zhì)量。為了更好地去除霧圖中的噪聲,并具有較好的去噪效果,選取具有噪聲抑制功能的小波閾值增強函數(shù)進行高頻子帶的去噪處理。在分解過程中,分解層數(shù)的多少也影響著處理效果,若分解層數(shù)較多,圖像便會出現(xiàn)模糊,分解層數(shù)不足,又達不到預期的去霧效果。經(jīng)過大量的實驗和分析,該文對霧圖分解一層,且霧圖的噪聲主要集中在分解的第一層,因此,將小波閾值增強函數(shù)應用到分解一層的高頻子帶系數(shù)。

選取的閾值為：

其中，M×N為圖像的大小,σ為圖像的均方差。

采用的閾值函數(shù)為：

(13)

其中m,n是可以調(diào)節(jié)的參數(shù),經(jīng)過大量的實驗分析證明,當k∈[0,1],m∈[0,+∞]時,該閾值函數(shù)具有明顯的連續(xù)性,而且也保留了傳統(tǒng)閾值函數(shù)的優(yōu)勢,即軟閾值函數(shù)和硬閾值函數(shù)的優(yōu)勢。

2.2 二進小波域的低頻子帶的線性增強

霧圖經(jīng)二進小波變換分解產(chǎn)生的低頻分量中包含了原始圖中大量的內(nèi)容信息,霧也主要集中在低頻子帶,低頻子帶類似于原始霧圖的縮略圖。霧圖像最主要的特點就是對比度很低,并且低頻部分基本去除了噪音,因此通過對低頻子帶系數(shù)進行對比度的拉伸來提高霧圖像的整體對比度。該文使用的映射函數(shù)為：Q(x)=255*(x-u)/(v-u),其中u、v分別表示為霧圖像灰度值的最小值和最大值。

3 實驗過程及分析

該文以Matlab 2016a為實驗平臺,選取六幅大小均為336*552的霧天圖像進行相同方法的處理。首先提取出霧圖像的三個顏色通道,并對其分別使用兩種二進小波濾波器進行二進小波變換分解和二進小波逆變換重構(gòu)處理，并從主觀評價和客觀分析兩方面進行分析比較。記初始濾波器為濾波器1,提升濾波器為濾波器2。

3.1 主觀分析

主觀評價是一種簡單、直接、又快速的方法,可以瞬間感知圖像的質(zhì)量好壞。對處理效果先進行主觀評價。

如圖3所示,選取六組圖像,原始圖像的亮度都很低,視覺模糊,圖像里的事物邊緣輪廓不清晰,受霧的影響,圖像整體給人以灰蒙蒙的感覺,無法準確獲取圖像的信息。利用該文得到的兩種二進小波濾波器進行去霧處理,圖像的清晰度和對比度等方面與原始圖像相比均得到了提高,圖像的視覺效果較好。例如在天安門圖中,原圖中的建筑物與天空的顏色較接近,建筑物的頂部邊緣不夠突出,經(jīng)過兩種濾波器的處理,建筑物的邊緣輪廓突出很多,人眼幾乎可以一眼看清建筑物的結(jié)構(gòu);在堵車圖中,原始圖像中的車輛個數(shù)不夠清楚,比較模糊,路上的白線也比較模糊,而經(jīng)過兩種濾波器的處理,車輛的邊緣突出了,路上的白線明顯很多;在老人鍛煉圖中,原始圖像中的老人和周邊的樹木幾乎融為一體,較遠處的老人和樹木基本沒有什么明顯區(qū)分的特征,肉眼無法看清具體的老人和樹木,圖像整體偏灰暗,利用該文構(gòu)造的濾波器處理過的圖像,圖像的層次感增強了,明亮的地方凸顯了,老人的身形也清晰了,樹木的形狀也明顯了,圖像的亮度也提高了很多;在傍晚堵車圖中,由于是在傍晚,圖像的亮度很低,車輛也很模糊,肉眼很難區(qū)分車輛,經(jīng)過處理后,圖像的亮度得到提高,車輛也能分清,并且車輛的顏色也可以看出來;在一個人圖中,原始圖像整體亮度偏暗,遠處的天安門城樓若隱若現(xiàn),圖像里所有的事物分界線不夠明顯,基本屬于連成一片的感覺,而處理后的圖像,首先在亮度上就已經(jīng)遠遠超過了原始圖像,遠處的天安門城樓的輪廓也已現(xiàn)顯,圖像里的事物信息基本可以獲得;在其他的效果圖中,也可以明顯看出提出的兩種濾波器在圖像去霧方面均有一定的效果。

圖3 兩種濾波器處理圖像的效果圖

但是,分別比較兩種濾波器的去霧效果可得,由初始濾波器處理的圖像效果雖然對比度有了一些提高,去霧也有較好的效果,但是圖像中物體的邊緣光滑性不夠好。例如堵車圖中的圖像,車輛的輪廓邊緣不夠連續(xù),視覺上有雜亂的感覺,不夠光滑,而由對偶提升的二進小波濾波器處理的圖像,圖像整體的對比度得到一定的提高,霧除的效果也有,圖像里的物體的邊緣較光滑,整體感覺較整齊,輪廓較連續(xù),給人視覺上較舒適;在高速堵車圖中初始濾波器處理的圖像也是光滑性不足,邊緣的連續(xù)性也不足,而提升后的濾波器處理的圖像邊緣較為光滑,視覺感較整齊;除了這兩組圖外,其他組效果圖也出現(xiàn)了同樣的效果。在當前所有的效果圖中,人眼也可以直接看出提升后的二進小波濾波器處理的圖像邊緣較光滑,雜亂性較弱,處理效果較好,適合于人眼觀察。

3.2 客觀分析

主觀分析雖然可以較快地感知圖像的質(zhì)量,但是較容易受到個人情緒的影響,較為片面和武斷,無法獲取較準確的評價結(jié)論。為了得到較準確的評價,也為更好地說明文中構(gòu)造的初始二進小波濾波器(濾波器1)和對偶提升的二進小波濾波器(濾波器2)在圖像去霧方面的應用效果,較好地獲取圖像的質(zhì)量,選取均值、標準差和平均梯度三種圖像的客觀評價標準進行評價，其中平均梯度和標準差越高,說明圖像的質(zhì)量越好。得到的數(shù)據(jù)如表3～表5所示。

表3 幾組圖像的均值

表4 幾組圖像的標準差

表5 幾組圖像的平均梯度

根據(jù)上表數(shù)據(jù)所示,分別計算六組霧圖像的均值的平均值、標準差的平均值以及平均梯度的平均值進行比較得出,初始濾波器和提升濾波器處理的圖像效果均比原圖像好,其客觀數(shù)據(jù)均高于原始圖像的數(shù)據(jù),尤其是標準差和平均梯度方面,幾乎為原始圖像的兩倍多,都有了很大的提高,較滿足人眼的需求;若比較兩種濾波器處理圖像的客觀數(shù)據(jù)可知,經(jīng)過對偶提升的二進小波濾波器處理圖像的效果在均值、標準差及平均梯度方面的平均值均好于初始的二進小波濾波器,但是二者在數(shù)據(jù)方面的差別不是很大。

4 結(jié)束語

霧天獲取的圖像質(zhì)量較低,影響交通或異物檢測。為了有效獲取更多霧圖的信息量,提出了二進小波濾波器的構(gòu)造,并將其應用在圖像去霧中。先引入兩個參數(shù),得到一種新的構(gòu)造B-樣條二進小波濾波器的新方法,以新構(gòu)造的B-樣條二進小波濾波器作為初始二進小波濾波器,經(jīng)過一次對偶提升得到具有高階消失矩的提升二進小波濾波器，將初始二進小波濾波器應用到圖像去霧中。同時,再將得到的提升二進小波濾波器也應用到圖像去霧中,分別對兩者的高頻部分和低頻部分進行相同的處理,即高頻部分進行非線性增強,低頻部分進行灰度對比度拉伸。經(jīng)過對效果圖的主觀評價分析和客觀評價分析,得出兩種二進小波濾波器均在圖像去霧方面有一定的效果,但是經(jīng)過對偶提升的二進小波濾波器處理圖像的去霧效果較好于初始濾波器。由此得出,高階消失矩的濾波器光滑性較好,該方法是一種較為有效的去霧方法。