高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之抽象能力的培養(yǎng)

張昀昀

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，不單指培養(yǎng)學(xué)生對(duì)知識(shí)與技能的掌握能力，還要注重培養(yǎng)學(xué)生以數(shù)學(xué)的思維方式來看待客觀事物、解析各種社會(huì)現(xiàn)象，進(jìn)而解決實(shí)際問題的能力.數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析這六個(gè)方面.本文作者依據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，以高中數(shù)學(xué)《函數(shù)》部分的教學(xué)為例，就高中生數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)闡述自己的分析和推論.

一、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)抽象能力

數(shù)學(xué)抽象的主要內(nèi)容有從數(shù)量之間的關(guān)系或圖形之間的關(guān)系中利用抽象思維推理出來數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系，從客觀事物各自的背景中利用抽象思維推理出普遍的規(guī)律，并利用數(shù)學(xué)語言來闡述出來.數(shù)學(xué)抽象這一核心素養(yǎng)屬于數(shù)學(xué)學(xué)科最基本的思想，是奠定理性思維能力的的基石.它不但反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，而且在數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展甚至應(yīng)用的整個(gè)過程中貫穿始終.正是數(shù)學(xué)抽象這一核心素養(yǎng)使數(shù)學(xué)這個(gè)學(xué)科得以成為高度概括、表達(dá)準(zhǔn)確、結(jié)論一般、有序多級(jí)的一個(gè)系統(tǒng).

二、培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)抽象能力的途徑

1.數(shù)學(xué)抽象的第一個(gè)層次——簡單層次.

簡單層次指的是能夠在熟悉的情境中利用抽象思維提取出數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)規(guī)則，能夠在不熟悉的情境中利用抽象思維總結(jié)歸納并形成一般的數(shù)學(xué)命題，進(jìn)而利用數(shù)學(xué)的法則和方式解決這些一般問題的能力.這就要求學(xué)生知道什么是數(shù)學(xué)概念，什么是數(shù)學(xué)規(guī)則，通曉數(shù)學(xué)命題的條件以及相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)論，有在熟悉的情境中利用抽象思維提取出數(shù)學(xué)問題的能力.學(xué)生還必須理解并熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)自己的推理和論點(diǎn)，能夠在解決相似問題的過程中自行總結(jié)出數(shù)學(xué)的通法，并對(duì)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想融會(huì)貫通.

例如，在講解《函數(shù)》這一章節(jié)的過程中，由于高中數(shù)學(xué)里函數(shù)的內(nèi)涵的體現(xiàn)方式就在于其形象化的具體特征，所以教師要讓學(xué)生理解函數(shù)的定義以及各種變化過程，指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用綜合的方式將問題中的函數(shù)內(nèi)涵用簡單的語言提取出來——這一過程即是數(shù)學(xué)抽象.此過程的核心在于從客觀事實(shí)中提煉出函數(shù)的本質(zhì)以及函數(shù)的內(nèi)涵.

2.數(shù)學(xué)抽象的第二個(gè)層次——符號(hào)層次.

符號(hào)層次指的是擁有在有相互關(guān)聯(lián)的情境中利用抽象思維的能力推理出普遍的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)規(guī)則，能將已知的數(shù)學(xué)命題延伸到普通的情境，進(jìn)而在這個(gè)嶄新的情境中應(yīng)用數(shù)學(xué)的方法來解決問題的能力.這就要求學(xué)生能根據(jù)合適的例子來解釋抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)規(guī)則，明了數(shù)學(xué)命題的條件以及結(jié)論;掌握如何用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)自己的論點(diǎn)、條理、推理和結(jié)論，并能總結(jié)出解決類似問題的數(shù)學(xué)方法.此外，在交流的時(shí)候，學(xué)生還要能夠用總結(jié)出的普遍的概念來解釋那些具體的客觀現(xiàn)象.

例如，在《函數(shù)》的學(xué)習(xí)過程中，教師要以學(xué)生的角度來看待問題，把抽象的函數(shù)概念簡單化，把數(shù)學(xué)符號(hào)和各種圖形當(dāng)作主要的研究對(duì)象，以二者的關(guān)系為主要切入點(diǎn)，用數(shù)學(xué)符號(hào)和各種圖形來表示一切數(shù)學(xué)關(guān)系，從而讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用數(shù)學(xué)語言來解釋抽象的事物.比方，三角形的面積S=12ah，而扇形的面積S=12lr.三角形的底a和高h(yuǎn)是垂直關(guān)系，扇形的弧l和半徑r也是垂直關(guān)系.如此看來，數(shù)學(xué)的關(guān)系是一致的.那么如果把扇形“補(bǔ)完”，就可以推知圓形的面積S=12cr=12（2πr）r=πr2.把這些內(nèi)容聯(lián)系起來，學(xué)生就可做到舉一反三.

3.數(shù)學(xué)抽象的第三個(gè)層次——普遍層次.

普遍層次指的是以下幾方面的能力：能在復(fù)雜的情境中利用抽象思維提煉出數(shù)學(xué)問題，并使用合適的數(shù)學(xué)語言表述出來;能在已知的數(shù)學(xué)結(jié)論的基礎(chǔ)上推論出新的命題;能對(duì)具體問題具體分析，進(jìn)而使用數(shù)學(xué)方法來解決問題.這就要求學(xué)生能夠通過數(shù)學(xué)運(yùn)算或數(shù)學(xué)關(guān)系參透數(shù)學(xué)的抽象結(jié)構(gòu)，明白數(shù)學(xué)結(jié)論的普遍性，高度概括總結(jié)出多級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)體系.在具體實(shí)踐中，學(xué)生要把握自己所研究對(duì)象的數(shù)學(xué)特征，并運(yùn)用準(zhǔn)確而簡潔的數(shù)學(xué)語言表述出來，從而領(lǐng)悟普遍的數(shù)學(xué)原理以及其中包含的數(shù)學(xué)思想.

例如，在教授“函數(shù)”的過程中，教師要把教學(xué)的重點(diǎn)放在判斷某一關(guān)系是否符合函數(shù)的定義.這一過程非常重要，而且還能在這一過程中幫助學(xué)生掌握函數(shù)的三要素.除此之外，這種方法還可以幫助學(xué)生對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行分類，以便他們根據(jù)根、冪等諸多形式確定函數(shù)的定義域.

總而言之，在核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力大都離不開總結(jié)、推論、聯(lián)系、矛盾、共性、概念、關(guān)系、定義等步驟.說到底，還是要求教師在教學(xué)過程中多提煉、多總結(jié)、多啟發(fā)、多鼓勵(lì)，幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)抽象能力，提升自身的數(shù)學(xué)水平.