全軸轉(zhuǎn)向雙鉸接車輛的軌跡跟隨優(yōu)化分析

周 勝，張陳林，周承明，鐘漢文

（中車株洲電力機(jī)車研究所有限公司，湖南 株洲 412001）

0 引言

隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，交通擁堵問(wèn)題已成為困擾城市居民出行的主要問(wèn)題之一，嚴(yán)重制約了居民的出行和商業(yè)運(yùn)輸效率。鉸接式車輛由于運(yùn)載量大，成為解決城市道路擁堵問(wèn)題以及長(zhǎng)途貨物運(yùn)輸?shù)闹饕桨福p鉸接式汽車由于編組過(guò)長(zhǎng)，車輛在彎道行進(jìn)時(shí)會(huì)出現(xiàn)車道占用寬度大、轉(zhuǎn)向靈活性較差等問(wèn)題，限制了雙鉸接車輛的發(fā)展，也對(duì)車輛結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提出了更高的要求。車輛鉸接連接方式由于連接簡(jiǎn)單、操作靈活，是一種較為普遍的車輛連接方式，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了大量的研究[1-3]。以往的研究主要集中在鉸接運(yùn)載貨車上，由于其運(yùn)行工況均為高速公路和空曠區(qū)域，所以這些研究?jī)H關(guān)注車輛的操作性能，而不考慮車輛本身的轉(zhuǎn)向靈活性與道路占用情況；另一方面，全軸轉(zhuǎn)向技術(shù)的發(fā)展給長(zhǎng)編組列車提供了全新的解決方案，可以利用車輛部分或者全部車輪的轉(zhuǎn)向提高整車運(yùn)行時(shí)的可靠性，減小車輛的跟隨誤差[4-6]?？梢?jiàn)，目前對(duì)于雙鉸接車輛研究較少，且已有的研究主要集中于鉸接車輛的動(dòng)力學(xué)性能與自動(dòng)駕駛軌跡優(yōu)化，較少考慮長(zhǎng)編組車輛轉(zhuǎn)向時(shí)道路占用問(wèn)題，無(wú)法很好地滿足雙鉸接長(zhǎng)編組車輛的設(shè)計(jì)需求[7-10]。為了解決雙鉸接車輛的前后軸軌跡偏移問(wèn)題，本文以中車株洲電力機(jī)車研究所有限公司（簡(jiǎn)稱“中車株洲所”）研制的智軌電車為基礎(chǔ)，利用雙鉸接全軸轉(zhuǎn)向車輛的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和彎道運(yùn)行時(shí)的轉(zhuǎn)向跟隨模型開(kāi)展研究，完成了一階延時(shí)轉(zhuǎn)向條件下車輛的軌跡跟隨分析，建立了一階延時(shí)參數(shù)計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)公式，并通過(guò)仿真分析驗(yàn)證了本文所提優(yōu)化方法的有效性。

1 雙鉸接車輛的運(yùn)動(dòng)方程

通常情況下，車輛運(yùn)行道路情況非常復(fù)雜，整車自由度較多。為了簡(jiǎn)化車輛的運(yùn)行模型，本文在計(jì)算過(guò)程中忽略了道路豎向坡度，且不考慮橫坡對(duì)跟隨性能的影響。車輛正常行駛時(shí)，車身的平面運(yùn)動(dòng)是影響車輛通行所占用道路寬度的主要因素，所以在研究車輛運(yùn)行過(guò)程中占用道路寬度時(shí)，可以忽略車輛的垂向運(yùn)動(dòng)，僅考慮水平面內(nèi)車輛的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。根據(jù)Ackermann 轉(zhuǎn)向模型，帶兩輪的車橋結(jié)構(gòu)可以被簡(jiǎn)化為中心輪模型進(jìn)行分析。忽略車橋梯形轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)對(duì)車身運(yùn)動(dòng)的影響，鉸接車輛可以采用簡(jiǎn)化的中心輪模型進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。本文采用智軌電車作為分析對(duì)象，車輛的結(jié)構(gòu)形式如圖1 所示。其中，li0為第i 節(jié)車廂前軸距車頭（中間車為車廂前部鉸接盤中心點(diǎn)）的距離，li1為第i 節(jié)車廂前軸距當(dāng)前車廂質(zhì)心的距離，li2為第i 節(jié)車廂后軸距當(dāng)前車廂質(zhì)心的距離，li3為第i 節(jié)車廂后軸距車尾（中間車為車廂后部鉸接盤中心點(diǎn)）的距離。

圖1 全軸轉(zhuǎn)向雙鉸接車輛的結(jié)構(gòu)Fig. 1 Structure of a double-articulated vehicle with full-axles steering

智軌電車為三編組雙鉸接車輛，車廂之間采用鉸接盤連接方式，可繞中心軸承平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)。為了增加車輛的承載能力與運(yùn)行時(shí)的穩(wěn)定性，車輛采用6 個(gè)車軸的架構(gòu)形式，即每節(jié)車廂均有兩根車軸。根據(jù)圖2 所示的雙鉸接車輛的運(yùn)動(dòng)模型，建立智軌電車的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。圖中δi為第i 個(gè)車輪的轉(zhuǎn)角，v1為第1 個(gè)車輪速度。

圖2 雙鉸接車輛的運(yùn)動(dòng)模型Fig. 2 Kinematic model for a double-articulated vehicle

建立如圖2 所示的固定坐標(biāo)系XOY，相比車廂之間繞鉸接盤的轉(zhuǎn)動(dòng)，由于車體的變形量較小，對(duì)道路通過(guò)性的影響可忽略不計(jì)，所以車輛底盤與車身結(jié)構(gòu)可簡(jiǎn)化為剛體，僅需要考慮車身的平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)，即單節(jié)車廂的平面上的姿態(tài)可由3 個(gè)坐標(biāo)定義，記為坐標(biāo)Qi=[Ri, θi]T。其中，Ri為第i 節(jié)車廂的質(zhì)心坐標(biāo)向量，在固定坐標(biāo)系中可表示為Ri=[xi, yi]T；θi為第i 節(jié)車廂的航向角，即車身與x 軸的夾角；φi為第i 節(jié)車廂和(i+1)節(jié)車廂之間的夾角，夾角方向以順時(shí)針?lè)较驗(yàn)樨?fù)、逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?。由? 節(jié)車廂之間采用鉸接方式連接，可以推導(dǎo)出鉸接點(diǎn)處坐標(biāo)的約束方程如下：

其中，Λi=[cosθi, sinθi]T。

由于Rn可以根據(jù)R1以及θi計(jì)算得到，所以表示三編組鉸接車輛的姿態(tài)廣義坐標(biāo)可以縮減至4 個(gè)，用符號(hào)q=[R1, θ1, θ2, θ3]T表示。

根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，利用車輪角度以及各車輪速度可以計(jì)算任意時(shí)刻整車的廣義速度。

式中：vi——第i 個(gè)車輪的速度；ω1——第一節(jié)車的橫擺角速度。

同理，可以根據(jù)車身姿態(tài)計(jì)算兩個(gè)車廂之間的鉸接角：

2 雙鉸接車輛的軌跡跟隨算法

非全軸轉(zhuǎn)向車輛轉(zhuǎn)彎時(shí)，由于后輪與車身角度始終不變，車廂的旋轉(zhuǎn)中心為后軸，即后軸的運(yùn)動(dòng)方向與車身保持一致，導(dǎo)致前后輪軌跡差的出現(xiàn)，增加了整車運(yùn)動(dòng)時(shí)占用路面的寬度。雙鉸接車輛由于整車車身較長(zhǎng)，如果各軸跟隨性能較差，后面車輛會(huì)放大占用道路寬度，對(duì)車輛運(yùn)營(yíng)造成極大的影響甚至威脅旁邊車輛與行人的安全。

通常，車輛從直線進(jìn)入彎道運(yùn)行時(shí)分為兩個(gè)階段，即彎道進(jìn)入階段以及穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向階段。彎道進(jìn)入階段為車輛從直線進(jìn)入彎道且整車未完全進(jìn)入彎道之前的時(shí)段；彎道穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向階段為車輛完全進(jìn)入彎道中、前后輪進(jìn)入固定半徑彎道的轉(zhuǎn)向階段。

在彎道進(jìn)入階段，為了縮小車輛運(yùn)行過(guò)程中占用路面寬度，需要確保兩節(jié)車廂車輪運(yùn)行的軌跡與道路方向一致。本節(jié)以單節(jié)車廂為研究對(duì)象，分析車輛轉(zhuǎn)彎過(guò)程中的跟隨性能，然后推廣至3 節(jié)車輛的結(jié)構(gòu)。圖3 示出不同轉(zhuǎn)向策略下車輛的運(yùn)行姿態(tài)，可以看出，車輛后輪不轉(zhuǎn)向時(shí)會(huì)出現(xiàn)向彎道內(nèi)側(cè)運(yùn)行的現(xiàn)象，車身姿態(tài)可以利用運(yùn)動(dòng)學(xué)方程計(jì)算，用Qi=[Ri, θi]T表示；通過(guò)調(diào)整車輛的轉(zhuǎn)向（一般情況下與前軸方向相反）能夠改變車輛的運(yùn)行軌跡，車身姿態(tài)則變?yōu)镼′1=[R′1, θ′1]T。為使轉(zhuǎn)向階段軌跡偏差最小，車輪軌跡需要在兩個(gè)階段分段滿足軌跡要求，在彎道進(jìn)入階段時(shí)，后輪的軌跡與直線重合，則

yw2(t)=0 （8）式中：yw2(t)——車輛第二個(gè)車輪的運(yùn)動(dòng)軌跡。

根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程計(jì)算可得

式中：v2——第二個(gè)車輪的速度；v2y——v2在y 方向的分量。

根據(jù)式（9）可以推導(dǎo)出

圖3 不同轉(zhuǎn)向情況下彎道運(yùn)行的車輛姿態(tài)Fig. 3 Attitudes of the vehicle operating in curves in different steering conditions

當(dāng)車輛處于穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向階段時(shí)，根據(jù)Ackermann 轉(zhuǎn)向定理，車輛繞一固定圓心做圓周運(yùn)動(dòng)；理想轉(zhuǎn)向時(shí)，前輪與后輪在同一圓周上，此時(shí)前輪與后輪轉(zhuǎn)向角度大小相等，方向相反，即：

根據(jù)車輛的運(yùn)動(dòng)過(guò)程以及智軌電車的設(shè)計(jì)要求，轉(zhuǎn)向過(guò)程中，各軸的轉(zhuǎn)角為小量，即?？梢院?jiǎn)化方程，令 tanδi≈δi，cosδi≈1，改寫式（11）為差分方程，構(gòu)建軸2 轉(zhuǎn)角求解的迭代格式：

式中：δ2(t)——t 時(shí)刻δ2的值；δ1(t)——t 時(shí)刻δ1的值； δ2(tk)——t=kΔt 時(shí)δ2的值；Δt——車輛轉(zhuǎn)向的最小控制時(shí)間間隔。

根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可以離散化車輛的運(yùn)行軌跡，編程計(jì)算得到前輪與后輪的軌跡（圖4）。利用已知路徑和車輛的實(shí)時(shí)姿態(tài)，計(jì)算車輛從開(kāi)始入彎到完全進(jìn)入彎道的分界時(shí)間T：當(dāng)t ≤T 時(shí)，軸2 的轉(zhuǎn)角滿足式(10)； t＞T 時(shí)，軸2 的轉(zhuǎn)角滿足式(11)。從圖4 中可以看出，當(dāng)后輪與前輪之間的關(guān)系滿足上述的轉(zhuǎn)向狀態(tài)時(shí)，后輪運(yùn)行軌跡與前輪重合。

圖4 全軸轉(zhuǎn)向時(shí)的理想軌跡Fig. 4 Ideal path of the front and rear wheels in all-wheel steering condition

雖然利用式(10)和式(11)可以得到車輛理想的跟隨曲線，但是由于轉(zhuǎn)向是一個(gè)按路徑的分段過(guò)程，需要準(zhǔn)確地識(shí)別圖3 中彎道進(jìn)入階段與穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向階段的分界線，即分界時(shí)間T。實(shí)際車輛運(yùn)行時(shí)，由于不知道車道狀態(tài)，對(duì)T 進(jìn)行計(jì)算非常困難，需要采用相似函數(shù)對(duì)車輛后輪轉(zhuǎn)角進(jìn)行擬合，以避免車輛運(yùn)行時(shí)轉(zhuǎn)向角度與路面位置相關(guān)。對(duì)式(13)進(jìn)行Z 變換，可得

對(duì)式（14）取Z逆變換，可以求出時(shí)域內(nèi)的δ2表達(dá)式：

從式 （15）可知，由于m1＞1，mk1 在無(wú)窮遠(yuǎn)處不收斂；隨著時(shí)間增加，δ2會(huì)一直增加，不符合真實(shí)車輛轉(zhuǎn)彎時(shí)的運(yùn)行規(guī)律。綜合式（10）與式（11）的條件，利用一階延時(shí)函數(shù)擬合后輪的變化規(guī)律，逼近δ2理想轉(zhuǎn)角。修改 m1的值，令m1=1-m2，則可以得到修正后的一階延時(shí)轉(zhuǎn)角方程，計(jì)算得到時(shí)域中δ2(t)的表達(dá)式：

隨 著 時(shí) 間 變 長(zhǎng)， 由 式（16） 可 以 計(jì) 算 得 到δ2(+∞)=-δ1，滿足彎道內(nèi)穩(wěn)態(tài)運(yùn)行的前后軸的轉(zhuǎn)向條件。圖5 示出采用修正后的一階延時(shí)函數(shù)時(shí)，實(shí)際轉(zhuǎn)角與理想轉(zhuǎn)角的變化趨勢(shì)。可以看出，利用修正參數(shù)后的一階延時(shí)函數(shù)，實(shí)際轉(zhuǎn)角與理想轉(zhuǎn)角變化趨勢(shì)較為接近。

圖5 實(shí)際轉(zhuǎn)角與理想轉(zhuǎn)角的變化趨勢(shì)Fig. 5 Variation trend of actual and ideal steering angles

雖然一階延時(shí)函數(shù)與理想轉(zhuǎn)向函數(shù)有一定的差距，無(wú)法滿足入彎過(guò)程中的精確跟隨，但通過(guò)調(diào)整一階延時(shí)函數(shù)的參數(shù)可以改變前后輪軌跡偏差，通過(guò)調(diào)整車輛限界大小可以提高跟隨精度。圖6示出m1取不同值時(shí)前輪與后輪的軌跡圖?？梢钥闯?，利用一階延時(shí)函數(shù)轉(zhuǎn)向近似代替車輛理想轉(zhuǎn)向過(guò)程，會(huì)產(chǎn)生跟隨誤差。優(yōu)化m1的大小，可以減小后軸與前軸軌跡的跟隨誤差，提高車輛的跟隨精度。

圖6 m1 變化時(shí)前后輪軌跡變化Fig. 6 Trajectories of front and rear wheels with m1 changing

3 主動(dòng)轉(zhuǎn)向的優(yōu)化方法

根據(jù)第一列車主動(dòng)轉(zhuǎn)向的研究方法，可以擴(kuò)展到3 列車的前后車輪的跟隨方式。利用前后兩個(gè)鉸接點(diǎn)的延時(shí)跟隨方式，根據(jù)式（2）～式（5）所示的車輛姿態(tài)計(jì)算過(guò)程，可以得到車輛任意時(shí)刻的姿態(tài)信息q(x1, y1, θ1, θ2,θ3)，進(jìn)而求出不同時(shí)刻智軌電車的姿態(tài)以及各車軸與固定路線的橫向偏差，如圖7所示。

圖7 雙鉸接車輛轉(zhuǎn)彎軌跡偏差圖Fig. 7 Schematic diagram of steering trajectory deviation of double-articulated vehicle

由圖7 可知，雙鉸接車輛進(jìn)入彎道過(guò)程中，車輛運(yùn)行姿態(tài)對(duì)限界會(huì)產(chǎn)生影響，最大影響處為車輛的3 個(gè)鉸接點(diǎn)（第3 個(gè)鉸接點(diǎn)為車尾虛擬鉸接點(diǎn)）。車輛運(yùn)行過(guò)程中，直線區(qū)域的軌跡偏差為e1+與e1-（其中下標(biāo)“＋”和“-”分別代表“正向偏差”和“負(fù)向偏差”），曲線區(qū)域的軌跡偏差為e2+與e2-。根據(jù)式（2）～式（5），可以求出3 個(gè)鉸接點(diǎn)隨時(shí)間的位置變化，分別記為(S1x, S1y)、(S2x, S2y)和(S3x, S3y)，各偏移量可以表示為

當(dāng)車輛運(yùn)行時(shí)的軌跡偏差最小時(shí)，路面占用寬度最小。根據(jù)式（17）的軌跡偏移量的計(jì)算方法，可以得到軌跡偏差優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)和條件：

編程實(shí)現(xiàn)雙鉸接車輛3 節(jié)車廂運(yùn)行軌跡偏差函數(shù)優(yōu)化，最終可以求出不同速度條件下車輛的軌跡偏差最小時(shí)m1的值。利用車輛計(jì)算結(jié)果，可以求出車輛不同速度條件下的最優(yōu)參數(shù)與車速之間的關(guān)系。利用函數(shù)擬合，可以得到延時(shí)函數(shù)參數(shù)與速度為線性關(guān)系：

式中：ai——線性函數(shù)系數(shù)，可以通過(guò)優(yōu)化計(jì)算得到a1=0.275，a2=0.217，a3=0.260。

圖8 示出采用一階延時(shí)轉(zhuǎn)向與非全軸轉(zhuǎn)向的智軌電車在進(jìn)入半徑為20 m 彎道時(shí)，兩個(gè)鉸接點(diǎn)以及車輛尾部的軌跡跟隨圖?？梢钥闯?，利用最優(yōu)化一階延時(shí)函數(shù)轉(zhuǎn)角方程計(jì)算得到的全軸轉(zhuǎn)向方法運(yùn)行的多編組雙鉸接車輛車身鉸接點(diǎn)的跟隨效果優(yōu)于非全軸轉(zhuǎn)向雙鉸接車輛。后軸不轉(zhuǎn)向時(shí)，由于單節(jié)車廂較長(zhǎng)，雙鉸接車輛最大軌跡偏差為3.5 m；采用軌跡跟隨一階延時(shí)算法后，最大軌跡偏差僅為0.8 m，后者跟隨誤差僅為前者的23%。可見(jiàn)，利用優(yōu)化后的一階延時(shí)轉(zhuǎn)向能夠極大減小各車廂之間的跟隨誤差，提高跟隨精度，減小雙鉸接車輛在正常運(yùn)營(yíng)時(shí)的道路占用寬度。

圖8 一階延時(shí)轉(zhuǎn)向與非全軸轉(zhuǎn)向條件下的跟隨效果對(duì)比Fig. 8 Following performance comparison between first-order delay steering and non-full-axle steering

4 結(jié)語(yǔ)

本文以智軌電車為原型，建立了全軸轉(zhuǎn)向雙鉸接車輛的運(yùn)動(dòng)方程，利用軌跡跟隨的優(yōu)化方法與一階延時(shí)轉(zhuǎn)向方程，進(jìn)行了延時(shí)轉(zhuǎn)向參數(shù)的求解。結(jié)果表明，利用最優(yōu)化理論求解的一階延時(shí)轉(zhuǎn)向方法能夠有效地提高雙鉸接車輛的跟隨精度，跟隨誤差僅為不轉(zhuǎn)向鉸接車輛的23%，能夠大幅度減小正常運(yùn)營(yíng)時(shí)的道路占用寬度，節(jié)約道路建設(shè)成本，增加了雙鉸接車輛運(yùn)營(yíng)的可行性并提高了配套基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)的經(jīng)濟(jì)性。

本研究中對(duì)雙鉸接車輛的運(yùn)動(dòng)模式以及線路情況進(jìn)行了一定的簡(jiǎn)化，后續(xù)將進(jìn)一步研究帶緩和曲線路線的影響以及不同延時(shí)方法的可靠性。