序貫截尾檢驗(yàn)法在一維修正增程彈密集度評(píng)估中的應(yīng)用

舒延春

(92941部隊(duì)43分隊(duì)，遼寧 葫蘆島125001)

密集度是炮射一維修正增程彈最重要的戰(zhàn)術(shù)技術(shù)指標(biāo)，其相對(duì)于傳統(tǒng)無修正彈藥的最大優(yōu)勢(shì)是成倍提高了縱向密集度[1]。通常衡量地面火炮彈藥密集度大小的指標(biāo)包括兩個(gè)，即縱向密集度和橫向密集度，分別由EX/X和EZ表示，其中EX和EZ分別為縱向和橫向散布中間誤差，X是最大射程。一維修正增程彈是一種新概念的靈巧彈藥，其經(jīng)濟(jì)成本遠(yuǎn)高于普通彈藥，因此，傳統(tǒng)的密集度指標(biāo)評(píng)估方法勢(shì)必造成試驗(yàn)成本的增加；目前針對(duì)這類彈藥常用的檢測(cè)方法為序貫截尾檢驗(yàn)法，該方法能夠在不增加使用風(fēng)險(xiǎn)的前提下，減小試驗(yàn)鑒定樣本量，科學(xué)評(píng)定一維修正增程彈的密集度指標(biāo)。

1 傳統(tǒng)檢驗(yàn)法

傳統(tǒng)檢驗(yàn)彈藥落點(diǎn)密集度指標(biāo)的方法是點(diǎn)估計(jì)法，該方法根據(jù)落點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算其縱向概率偏差和橫向概率偏差，假設(shè)：進(jìn)行N組試驗(yàn)條件一致的修正彈密集度試驗(yàn)，每組發(fā)射n0發(fā)彈丸，并用(ΔXij，ΔZij)表示第i組第j發(fā)彈彈丸的縱向橫向偏差，其中i=1，2，…，N，j=1，2，…，n0。N組數(shù)據(jù)就構(gòu)成了一個(gè)數(shù)據(jù)樣本。

下面以計(jì)算縱向概率偏差為例，給出點(diǎn)估計(jì)法的具體應(yīng)用。

N組射擊后，落點(diǎn)縱向偏差的均值為

(1)

落點(diǎn)縱向偏差的方差最大似然估計(jì)為

(2)

縱向概率偏差為

(3)

用點(diǎn)估計(jì)計(jì)算落點(diǎn)概率偏差，該方法通常在艦炮發(fā)射的彈藥中使用。根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論，假設(shè)樣本是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，且通過抽樣得到一定的樣本，然后進(jìn)行方差的計(jì)算和評(píng)價(jià)。所以，采用此方法評(píng)定密集度，需要有足夠的樣本來保證估值的置信度和精度[2]。表1和表2中的數(shù)據(jù)為試驗(yàn)組數(shù)N、每組試驗(yàn)射擊次數(shù)n0與點(diǎn)估計(jì)系統(tǒng)誤差δm和均方差誤差δp的關(guān)系。

由表1和表2可以看出，樣本數(shù)越多，估值精越高。為保證點(diǎn)估計(jì)的精度，取N=6、n0=6比較合適，此時(shí)，可以保證系統(tǒng)誤差和均方差誤差接近0.1。也就是說，從統(tǒng)計(jì)結(jié)果來說樣本容量為36，并不算多，但對(duì)修正彈來說，如果外場(chǎng)射擊試驗(yàn)一個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行36發(fā)試驗(yàn)存在較大難度；從理論上講，射擊試驗(yàn)次數(shù)越多，試驗(yàn)周期越長，難以保證試驗(yàn)條件的一致，將導(dǎo)致各子樣不是同一母體，估值失真，試驗(yàn)經(jīng)費(fèi)也太高。所以，這種傳統(tǒng)的試驗(yàn)評(píng)定方法不適合對(duì)精度要求較高的修正彈藥落點(diǎn)密集度的評(píng)定。修正彈必須采用新方法進(jìn)行密集度評(píng)定。

表1 點(diǎn)估計(jì)系統(tǒng)誤差δm

表2 均方差誤差δp的關(guān)系

2 序貫截尾檢驗(yàn)理論算法

目前一些行業(yè)比較常用的樣本檢驗(yàn)方法是序貫檢驗(yàn)方法，其優(yōu)點(diǎn)是可以確定平均試驗(yàn)次數(shù)，缺點(diǎn)是所確定值與試驗(yàn)結(jié)果通常不相等。所以在應(yīng)用序貫檢驗(yàn)法時(shí)，首要任務(wù)是試驗(yàn)次數(shù)上限值的確定，若試驗(yàn)次數(shù)小于該值時(shí)做出決策，則試驗(yàn)結(jié)束，節(jié)省試驗(yàn)次數(shù)；若試驗(yàn)次數(shù)達(dá)到上限時(shí)，不可再進(jìn)行試驗(yàn)，此時(shí)必須做出決策，這種方法被稱為序貫截尾檢驗(yàn)方法[3]。

設(shè)隨機(jī)變量X(射程)的概率函數(shù)為f(x，θ)，建立互相競(jìng)擇的檢驗(yàn)假設(shè)。

H0：θ=θ0，H1：θ=θ1=λθ0>θ

式中：θ為分布參數(shù)；λ為鑒別比，且λ>1。

設(shè)α和β分別為棄真錯(cuò)誤和采偽錯(cuò)誤的概率，如果有兩個(gè)與α和β相關(guān)的常數(shù)，假設(shè)為A和B，這兩個(gè)數(shù)的大小關(guān)系為：0

根據(jù)子樣數(shù)據(jù)似然比

(4)

進(jìn)行判別，其原則為：

如果B

如果Om≥A，則拒絕假設(shè)H0，終止試驗(yàn)；

如果Om≤B，則采納假設(shè)H0，試驗(yàn)結(jié)束。

所以，在進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)是序貫的，每次試驗(yàn)都要進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的判斷，并作出是否進(jìn)行下一次試驗(yàn)以及采納或拒絕H0的結(jié)論。

針對(duì)修正增程彈落點(diǎn)密集度試驗(yàn)樣本，落點(diǎn)偏差(x，z)為服從正態(tài)分布的獨(dú)立隨機(jī)變量，即X～N(μx，σx)，Z～N(μz，σz)，其中μx、μz、σx和σz均未知。

以縱向密集度檢驗(yàn)過程說明序貫檢驗(yàn)方法的應(yīng)用。

第一步：對(duì)試驗(yàn)樣本標(biāo)準(zhǔn)方差σ的互相競(jìng)擇檢驗(yàn)假設(shè)進(jìn)行建立。

H0：σ=σ0，H1：σ=σ1=λθ0>σ0

式中：σ0為研制指標(biāo)要求的縱向標(biāo)準(zhǔn)偏差；σ1為使用方能接受的最大縱向標(biāo)準(zhǔn)偏差指標(biāo)。

第二步：以風(fēng)險(xiǎn)相當(dāng)原則為依據(jù)進(jìn)行α和β，的選擇，二者分別為研制方和使用方的風(fēng)險(xiǎn)率，一般由雙方協(xié)定，然后即可由公式(5)、(6)計(jì)算A和B的值。

(5)

(6)

且A和B應(yīng)滿足關(guān)系式0

第三步：判別

經(jīng)過m次密集度試驗(yàn)，得到縱向子樣(x1，x2，…，xm)。

當(dāng)假設(shè)H0：σ=σ0為真時(shí)，出現(xiàn)子樣(x1，x2，…，xm)的概率為

(7)

當(dāng)假設(shè)H1：σ=σ1為真時(shí)，出現(xiàn)子樣(x1，x2，…，xm)的概率為

(8)

因此，當(dāng)

(9)

繼續(xù)進(jìn)行第m+1次試驗(yàn)；當(dāng)

(10)

采納假設(shè)H0，試驗(yàn)結(jié)束；當(dāng)

(11)

拒絕假設(shè)H0，試驗(yàn)結(jié)束。

(12)

(13)

(14)

式(12)～(14)中，μx為未知的總體均值，在樣本量足夠時(shí)，對(duì)于總體均值可用子樣(x1，x2，…，xm)的均值代替，所以子樣均值為

(15)

等式右端的m用(m-1)替代，變形為

(16)

繼續(xù)進(jìn)行第m+1次試驗(yàn)；當(dāng)

(17)

采納假設(shè)H0，試驗(yàn)結(jié)束；當(dāng)

(18)

拒絕統(tǒng)計(jì)假設(shè)H0，試驗(yàn)結(jié)束。

圖1 序貫檢驗(yàn)圖

圖2 序貫截尾檢驗(yàn)圖

圖1中，L0和L1的斜率為

(19)

截距h0和h1絕對(duì)值相等，h0為

(20)

第四步：序貫截尾檢驗(yàn)的判定

由H0：θ=θ0，H1：θ=θ1=λθ0>θ0的假設(shè)檢驗(yàn)，當(dāng)α和β均給定時(shí)，進(jìn)行n0次發(fā)試驗(yàn)后，可應(yīng)用式(18)～(20)進(jìn)行檢驗(yàn)。若檢驗(yàn)結(jié)果還需進(jìn)行試驗(yàn)，但序貫檢驗(yàn)又必須在n0處截尾，則檢驗(yàn)方法如下：

如果式(22)成立，則采納假設(shè)H0。

(22)

當(dāng)滿足下式時(shí)，拒絕假設(shè)H0。

(23)

式中C為拒絕上/下限，

(24)

3 應(yīng)用計(jì)算

以一維修正增程彈最大射程縱向密集度序貫檢驗(yàn)為例[4]。假設(shè)已知參數(shù)：對(duì)于修正彈，其最大射程縱向密集度指標(biāo)為縱向概率偏差Ez=89m；將縱向概率偏差換算成可接收的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ0=Ez/0.6745=132m；

建立互相競(jìng)擇的檢驗(yàn)假設(shè)

H0：σ=σ0=132m，H1：σ=σ1=λσ0，

使用蒙特卡洛法進(jìn)行計(jì)算，對(duì)λ、α和β三個(gè)參數(shù)取不同數(shù)據(jù)，計(jì)算雙方實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)α′、β′和平均試驗(yàn)次數(shù)n0，結(jié)果如表3所示。

確定序貫截尾檢驗(yàn)方案：在表3的15個(gè)方案中，可選取1個(gè)較為合理的進(jìn)行檢驗(yàn)。如：選擇方案7，選定鑒別比λ=1.3，雙方風(fēng)險(xiǎn)α=β=0.2，截尾數(shù)n0=20，但實(shí)際棄真概率和采偽概率分別為α′=0.1312，β′=0.2003。

表3 序貫檢驗(yàn)方案

開始試驗(yàn)，以方案7為例利用檢驗(yàn)表法進(jìn)行序貫檢驗(yàn)。

(25)

(26)

式中：xm為對(duì)應(yīng)于第m發(fā)的落點(diǎn)縱向偏差；Am為對(duì)應(yīng)于第m發(fā)的接收區(qū)域邊界值；Rm為對(duì)應(yīng)于第m發(fā)拒收區(qū)域邊界值。

建立修正彈縱向密集度序貫檢驗(yàn)表[5]，并將試驗(yàn)數(shù)據(jù)和結(jié)論記錄于檢驗(yàn)表內(nèi)。以一次縱向密集度試驗(yàn)為例，表4為該次密集度試驗(yàn)序貫截檢驗(yàn)表。

表4 密集度試驗(yàn)序貫截尾檢驗(yàn)表

由表4可知，

當(dāng)試驗(yàn)進(jìn)行到第13發(fā)時(shí)，按照序貫截尾檢驗(yàn)規(guī)則，試驗(yàn)結(jié)束，認(rèn)為縱向密集度滿足要求。

4 結(jié)束語

按序貫檢驗(yàn)理論，和傳統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)做法比較，在滿足生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)和使用方風(fēng)險(xiǎn)可接受的情況下，可以減少高價(jià)值彈藥試驗(yàn)樣本量，降低試驗(yàn)費(fèi)用，縮短試驗(yàn)周期。尤其是對(duì)于一維增程修正彈這種成本和試驗(yàn)條件一致性較高的新概念彈藥，在研制階段采用本文提出的序貫截尾檢驗(yàn)法對(duì)其密集度進(jìn)行評(píng)估十分有效，同時(shí)該方法的結(jié)論還可以為靶場(chǎng)性能狀態(tài)鑒定階段提供借鑒。