關(guān)于如何運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”思維開(kāi)展一元一次不等式（組）教學(xué)實(shí)踐的思考

楊春梅 李珺

數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休?！睌?shù)形結(jié)合兼有數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)性與形的直觀性?xún)纱髢?yōu)勢(shì)，是優(yōu)化解題過(guò)程的一種重要途徑。在教學(xué)中有意識(shí)的向?qū)W生滲透這種思想，既可以拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，也可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。筆者在對(duì)所教學(xué)生進(jìn)行學(xué)情分析的基礎(chǔ)上，結(jié)合實(shí)際，將數(shù)形結(jié)合思維靈活融入一元一次不等式（組）及相關(guān)知識(shí)的教學(xué)的全過(guò)程，嘗試讓復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象的問(wèn)題具體化，提升課堂教學(xué)質(zhì)量，取得了較好的效果?，F(xiàn)就結(jié)合“含參數(shù)的一元一次不等式組中的參數(shù)的取值范圍”的教學(xué)過(guò)程談?wù)勛约旱膶?shí)踐體會(huì)。

類(lèi)型1：不等式組有解（為未知數(shù)，為參數(shù)）

（1）不等式組 有解，則的取值范圍___________。

（2）不等式組 有解，則的取值范圍___________。

（3）不等式組 有解，則的取值范圍___________。

解析：可用求不等式組的解集的口訣“大小小大中間找”反推;也可用數(shù)軸來(lái)解決。這兩種方法結(jié)合起來(lái)效果更佳。

（1）畫(huà)數(shù)軸

先畫(huà)數(shù)軸，在數(shù)軸上表示出不等式組中兩個(gè)不等式的解集，先畫(huà)已知不等式的解集，再用口訣“大小小大中間找”，畫(huà)出未知不等式的解集，可直觀展現(xiàn)不等式組的解集，同時(shí)得出取值范圍。

由此可得， ?。

（2）畫(huà)數(shù)軸 （畫(huà)的過(guò)程同（1））

由此可得， 。

（3）畫(huà)數(shù)軸 （畫(huà)的過(guò)程同（1））

由此可得 ， 。

觀察3個(gè)不等式組的結(jié)論，只有第（3）個(gè)取了“等號(hào)”。對(duì)于這個(gè)“等號(hào)”取還是不取，很多同學(xué)很迷惑，可歸納為一句話(huà)“單空雙空不取等，你實(shí)我實(shí)才取等”。（所謂“單空雙空不取等，你實(shí)我實(shí)才取等”是指在不等式組中只有一個(gè)不等式不含等號(hào)或兩個(gè)不等式都不含等號(hào)，不等式組中的參數(shù)的取值不取等號(hào)：不等式組中兩個(gè)不等式都含有等號(hào)時(shí)，不等式組中的參數(shù)的取值才取等號(hào)。）

類(lèi)型2：不等式組有幾個(gè)整數(shù)解 （為未知數(shù)，為參數(shù)）

（1）不等式組 ??有3個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍___________。

（2）不等式組 ?有3個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍___________。

（3）不等式組 ??有3個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍___________。

解析：用數(shù)軸法來(lái)解，在數(shù)軸上表示解集時(shí)，先把已知那個(gè)解集表示出來(lái)，再去確定未知解集的大概位置。

（1）畫(huà)數(shù)軸

因?yàn)橛?個(gè)整數(shù)解，已知的第一個(gè)不等式x的解集小于2，就從2的左邊第一個(gè)整數(shù)1開(kāi)始往左邊數(shù)3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)分別為-1、0、1，那么的取值應(yīng)在最左邊的整數(shù)-2與-1之間，因?yàn)榈诙€(gè)不等式x的解集大于m，所以m可以等于-1。

即 ???。

（3）畫(huà)數(shù)軸

因?yàn)橛?個(gè)整數(shù)解，已知的第一個(gè)不等式x的解集大于-1，就從-1的右邊第一個(gè)整數(shù)0開(kāi)始往右邊數(shù)3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)分別為0、1、2，那么的取值應(yīng)在最右端的整數(shù)2與3之間因?yàn)榈诙€(gè)不等式x的解集小于或等于m，所以m可以等于2。

即 ?????。

（3）畫(huà)數(shù)軸

因?yàn)橛?個(gè)整數(shù)解，已知的第一個(gè)不等式x的解集是小于或等于2，就從2開(kāi)始往2的左邊數(shù)3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)分別為0、1、2，那么的取值應(yīng)在最左邊的整數(shù)0與-1之間，因?yàn)榈诙€(gè)不等式x的解集大于或等于m，所以m可以等于0。

即 ???.

觀察 3個(gè)不等式組的結(jié)論，每一個(gè)都有一邊取了等號(hào)，那么哪一邊取等號(hào)呢？如何才能確定？用一句話(huà)來(lái)概括：“單等雙等大數(shù)取等，都無(wú)等號(hào)小數(shù)取等?！保ㄋ^“單等雙等大數(shù)取等，都無(wú)等號(hào)小數(shù)取等”是指在只含一個(gè)等號(hào)或兩個(gè)等號(hào)的不等式組中參數(shù)的取值較大的數(shù)取等號(hào)，不含等號(hào)的不等式組中的參數(shù)的取值較小的數(shù)取等號(hào)。）

類(lèi)型3：不等式組有幾個(gè)非正（負(fù)）整數(shù)解（為參數(shù)）

（1）不等式組 只有2個(gè)非正整數(shù)解，則的取值范圍_____________。

（2）不等式組 ?只有2個(gè)非負(fù)整數(shù)解，則的取值范圍_____________。

解析：注意結(jié)合口訣“同大取大，同小取小”的使用。

（1）畫(huà)數(shù)軸

先畫(huà)數(shù)軸，在數(shù)軸上表示出不等式組中兩個(gè)不等式的解集，先畫(huà)已知不等式的解集，再用口訣“同大取大”，畫(huà)出未知不等式的解集，可直觀展現(xiàn)不等式組的解集，因?yàn)椤爸挥?個(gè)非正整數(shù)解”，就只能是0、-1，原不等式組的解集只能是 ，得出取值范圍。

由此可得， 。

（2）畫(huà)數(shù)軸

先畫(huà)數(shù)軸，在數(shù)軸上表示出不等式組中兩個(gè)不等式的解集，先畫(huà)已知不等式的解集，再用口訣“同小取小”，畫(huà)出未知不等式的解集，可直觀展現(xiàn)不等式組的解集，因?yàn)椤爸挥?個(gè)非負(fù)整數(shù)解，就只能是0、1，原不等式組的解集只能是，得出取值范圍。

由此可得， ?。

像這個(gè)類(lèi)型的題可以用簡(jiǎn)單的一句話(huà)來(lái)確定，“同大小取等，同小大取等”。（所謂“同大小取等，同小大取等”是指在不等式組中兩個(gè)不等式都是大于符號(hào)，不等式組中的參數(shù)的取值中小的那個(gè)數(shù)取等號(hào);不等式組中兩個(gè)不等式都是小于符號(hào)，不等式組中的參數(shù)的取值中大的那個(gè)數(shù)取等號(hào)。）

綜上，關(guān)于解決一元一次不等式組中參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，抓住以下三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，問(wèn)題迎刃而解。

一是不等式組有解的口訣要記牢：“同大取大，同小取小，大小小大中間找”。

二是對(duì)于第二類(lèi)、三類(lèi)的參數(shù)的取值范圍一定是在兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)之間。如果大于符號(hào)對(duì)應(yīng)的數(shù)是已知的，就往數(shù)軸的右邊數(shù)，數(shù)到末端再往右數(shù)一個(gè)單位，參數(shù)取值的界點(diǎn)就是末端數(shù)與右邊的整數(shù);如果小于符號(hào)對(duì)應(yīng)的數(shù)是已知的，就往數(shù)軸的左邊數(shù)，數(shù)到末端再往左邊數(shù)一個(gè)單位，參數(shù)取值的界點(diǎn)就是末端數(shù)與左邊的整數(shù)。

三是類(lèi)型分清，口訣用對(duì)。在解題的過(guò)程中一定要看清屬于哪一種類(lèi)型。