基于直覺模糊化的廣義模糊時間序列預測模型

王 鵬，田宗浩

(陸軍炮兵防空兵學院 基礎部，安徽 合肥 230031)

0 引言

模糊時間序列[1～5](Fuzzy Time Series, FTS)在含糊、不確定信息處理中廣泛應用，并且具有良好的魯棒性和泛化性。近年來，廣義模糊時間序列預測模型被提出[6～9]，其充分考慮樣本數(shù)據(jù)對模糊集的隸屬情況，把要考慮的隸屬度值作為預測模型的權重，建立不同層次的模糊邏輯關系，提高了模型的可解釋性和預測精度。但是，通過對廣義模型的深入研究發(fā)現(xiàn)，只利用隸屬度函數(shù)描述樣本數(shù)據(jù)對模糊集的隸屬情況，在數(shù)據(jù)模糊化過程中不能形象地反應信息的含糊、不確定性。隨著人們對問題認識的不斷深入，樣本數(shù)據(jù)對模糊集的隸屬情況會表現(xiàn)出一定的猶豫程度，如何更好的表達樣本數(shù)據(jù)對模糊集的隸屬狀態(tài)成為一個研究的熱點問題。

Zadeh教授提出的直覺模糊集[10](Intuitionistic Fuzzy Set, IFS)是模糊集理論的擴展和補充，通過增加一個非隸屬度參數(shù)來描述事物“非此非彼”的模糊特性。直覺模糊集的數(shù)學描述更加符合事物的模糊本質，為處理不確定信息提供了新的研究思路。但是，如何確定IFS的隸屬度和非隸屬度函數(shù)呈現(xiàn)很大的復雜性，如何將樣本數(shù)據(jù)直覺模糊化和描述樣本數(shù)據(jù)對模糊集的隸屬情況成為模型改進的一個瓶頸問題。為此，本文結合文獻直覺模糊化的方法以及采用記分函數(shù)來描述樣本數(shù)據(jù)對模糊集的隸屬情況的思想，建立基于直覺模糊化的廣義模糊時間序列模型，并通過仿真實驗對模型的有效性和可行性進行驗證。

1 基礎理論

為建立模型需要，本節(jié)給出了IFS和FTS的相關定義：

定義1[10]Atanassov對直覺模糊集進行如下定義：A={|x∈X},其中，X為給定的論域,μA(x):X→[0,1],γA(x):X→[0,1]分別表示x對模糊集A的隸屬度函數(shù)和非隸屬度函數(shù)，并且對于A上的所有x∈X總有0≤μA(x)+vA(x)≤1成立。對于X上的一個直覺模糊集，πA(x)=1-μA(x)-γA(x)稱為A中x的直覺指數(shù)，表示x對模糊集A隸屬情況的一種不確定程度，當直覺指數(shù)為0時，直覺模糊集就退化為普通模糊集A={|x∈X}。

A為有限論域X上的直覺模糊集，如果A為正規(guī)直覺模糊集， 其滿足下面三條性質:

(1)0≤μA(x)≤1,0≤γA(x)≤1;

(2)0≤μA(x)+γA(x)≤1,0≤πA(x)≤1;

(3)μA(x)+γA(x)+πA(x)=1。

定義2實數(shù)集R的一個子集Y(t),(t=1,2,…)表示論域，在論域Y(t)上定義n個模糊集Ai(i=1,2,…,n)，其隸屬函數(shù)為fAi(t)，F(xiàn)(t)是fAi(t)的集合，則F(t)就定義為論域Y(t)上的一個模糊時間序列。

定義3假設狀態(tài)F(t+1)由F(t)轉移得到，則F(t+1)的一階模型可以表示為F(t+1)=F(t)R(t,t+1)，則稱R(t,t+1)為F(t+1)和F(t)之間的模糊邏輯關系[13,14]。

根據(jù)上述FTS以及模糊邏輯關系的定義，廣義模型中兩個觀測值之間的模糊邏輯關系可以描述為：

設論域U被劃分為k個模糊子區(qū)間U={u1,u2,…,uk}，相應的模糊集可以表示為A1,A2,…,Ak。則時刻觀測樣本數(shù)據(jù)xt對每個模糊集的隸屬度可以表示為：

同理，t+1時刻觀測樣本數(shù)據(jù)xt+1的模糊狀態(tài)表示為：

通過分析建立的k2個模糊邏輯關系，有些對模型的預測結果影響微乎其微，過多的考慮反而會引入一些冗余信息、增加模型的計算復雜度。為此，結合唯物辯證法中“突出主要矛盾”的思想給出定義4的特殊形式。

2 基于直覺模糊化的廣義模糊時間序列預測模型

FTS的關鍵是挖掘歷史數(shù)據(jù)內部的模糊變化和不確定特性，掌握序列數(shù)據(jù)隨時間的變化規(guī)律，提高預測精度．IFS的“非此非彼”性，以及實際狀態(tài)變換的不確定性。因此，本文從數(shù)據(jù)直覺模糊化以及記分函數(shù)的選取入手，以文獻[6～8]建立的廣義模糊時間序列模型為基礎，構建基于直覺模糊化的模糊時間序列預測模型。

2.1 論域劃分及序列數(shù)據(jù)直覺模糊化處理

筆者為簡化建立模型的計算復雜度，采用等分論域劃分方法對數(shù)據(jù)進行處理。假設U為論域,xmax和xmin分別為觀測樣本的最大值和最小值，則

U=[xmax-σ1,xmax+σ2]

(1)

其中，σ1和σ2為合適的正整數(shù)。

結合數(shù)據(jù)的實際含義，用自然語言能夠表述的方法對論域U進行模糊劃分，其相應的模糊概念為Ai。由于人認知的模糊性，對論域的劃分不能夠太細，因此設定劃分的子區(qū)間個數(shù)為k，則子區(qū)間長度l為:

(2)

其中：D為論域范圍。

由此得論域劃分的結果為:

(3)

其中：u1=u2=…=uk=l,d1=xmin-σ1,dk+1=xmax+σ2，mi為第i個模糊子區(qū)間的中間值。

現(xiàn)實中給出的樣本數(shù)據(jù)大多為實數(shù)集，為此需要對樣本數(shù)據(jù)進行直覺模糊化處理以滿足建模的需要，本文通過在隸屬度和非隸屬度函數(shù)中增加猶豫度因子δ來描述樣本數(shù)據(jù)對模糊集的不確定性，如式(4)所示:

(4)

其中，xt為樣本數(shù)據(jù)；l為等分論域區(qū)間間隔；mi為對應子區(qū)間的中間值；δ為猶豫度因子，表示數(shù)據(jù)隸屬集合的不確定程度。結合定義2，可以證明式(4)為正規(guī)直覺模糊集。當δ=0時，πi=0，直覺模糊化就退化為普通模糊化。

在傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)模糊化過程中利用最大隸屬度原則來確定樣本數(shù)據(jù)所對應的模糊集，而在直覺模糊化過程中引入了非隸屬度函數(shù)，并用直覺指數(shù)來描述數(shù)據(jù)的中立狀態(tài)，極大地擴展了模糊集的表達能力，但是也就如何根據(jù)直覺模糊化的結果確定樣本數(shù)據(jù)所對應的模糊集增加了難度。在一般的直覺模糊變換中采用最多的為“ ∨(取大)-∧(取小)”運算，其特點是突出主要因素，忽略一些次要信息，也正是其丟失了一些信息，從而影響了模型的預測精度，使問題偏離實際。為此，本文在如何評判數(shù)據(jù)的隸屬問題時引入記分函數(shù)的概念，綜合考慮直覺模糊集中支持、反對以及中立三者之間的關系，使評判結果更加合理。

文獻[15～17]給出了大量有關記分函數(shù)的研究成果，其中李凡在文獻[17]中給出了記分函數(shù)的一般形式，其它記分函數(shù)均為式(3)的特例。

L(Ai)=θ1μAi+θ2γAi+θ3πAi

(5)

理論上講，式(5)充分考慮了直覺模糊集中支持、反對以及中立三個方面的信息，是很好的結果，但θ1,θ2,θ3三個系數(shù)的確定是一個難點，也制約了記分函數(shù)一般形式的推廣應用。為了解決記分函數(shù)參數(shù)難以確定的問題，文獻[15]給出了記分函數(shù)的特殊形式，并得到大量專家學者的認同。為此本文也擬采用式(6)為記分函數(shù)。

(6)

其中，式(6)的含義為：在直覺指數(shù)描述的中立狀態(tài)中，支持和反對的程度處于均衡狀態(tài)，該方法簡單方便，易于處理，為問題的解決提供了新的思路。當πAi=0時，記分函數(shù)就退化隸屬度函數(shù)。

2.2 確定記分函數(shù)值向量中要考慮的個數(shù)，并做歸一化處理

利用公式4將數(shù)據(jù)直覺模糊化，結合公式6得到觀測樣本數(shù)據(jù)對每個模糊子集的記分函數(shù)值向量(LA1(t),LA2(t),…,LAk(t))，以此描述對各個模糊集的隸屬程度。將觀測樣本對每個模糊集的記分函數(shù)值按照從大到小的順序的排序。設定要考慮的最高記分函數(shù)值個數(shù)為p，Lp(t)為記分函數(shù)值向量中的第p高的記分函數(shù)值，引入式(7)對記分函數(shù)值向量標準化：

(7)

標準化后的記分函數(shù)值向量不僅包括最高記分函數(shù)值所對應的位置信息，還包括其它要考慮記分函數(shù)值的位置信息，這樣對觀測樣本的初始信息的利用率較高。

根據(jù)標準化的記分函數(shù)值向量，利用公式(8)對記分函數(shù)值向量進行歸一化，為預測確定權重。

(8)

其中，k為劃分模糊概念個數(shù)，α為模糊參數(shù)，α∈(0,+∞)。

2.3 依據(jù)訓練數(shù)據(jù)的先后建立模糊邏輯關系及關系矩陣

2.4 預測及去模糊化

根據(jù)要考慮的最高記分函數(shù)值的個數(shù)以及第p個最高記分函數(shù)值對應的模糊概念Ai，利用3.3節(jié)建立的關系矩陣R(p)，分別得到第p個最高記分函數(shù)值對應的預測值Fvalp(t+1)

(9)

其中，R(p)為第p大隸屬度對應的模糊邏輯關系矩陣。

利用得到P個預測值，結合式(8)歸一化后的記分函數(shù)值向量作為第P個最高記分函數(shù)值Fvalp(t+1)對應的預測值的權重值，為此可以得到最終的預測值為:

(10)

為了說明模型的有效性，利用均方誤差RMSE和平均百分比相對誤差MAPE來衡量模型的預測精度：

(11)

(12)

其中，xt為樣本數(shù)據(jù)，F(xiàn)val(t)為其對應的預測值。

3 算例分析

為驗證本文建立模型的有效性和科學性，遵照上文建立模型的過程，利用典型的Alabama大學22年的入學人數(shù)為實驗數(shù)據(jù)，分別以Chen和Lee模型模糊邏輯關系矩陣建立的方法，與普通模糊化的廣義模型進行對比分析。

依據(jù)3.1節(jié)均等論域劃分方法，將樣本數(shù)據(jù)劃分為7個模糊子區(qū)間，以1000為區(qū)間長度，則每個子區(qū)間為：u1=[13000,14000],…,u7=[19000,20000]。

由于Alabama大學22年的入學人數(shù)為實數(shù)集，而模型要求樣本集為直覺模糊集，應用式(4)對樣本數(shù)據(jù)直覺模糊化，當δ=0.2時，直覺模糊化結果如下所示：

通過噴嘴性能曲線（圖2）和實際噴嘴霧化實驗效果（圖3）可以確定新噴嘴在霧化性能方面、噴射扇形角度和噴嘴流量線性比舊噴嘴優(yōu)異。

依據(jù)樣本數(shù)據(jù)的直覺模糊化結果，結合式(6)記分函數(shù)得到樣本數(shù)據(jù)對各個模糊集的記分函數(shù)值，結果詳見表1。

表1 樣本數(shù)據(jù)的記分函數(shù)值

為與普通模糊化廣義模糊時間序列模型對比分析的需要，假設p=2,α=1，依據(jù)表1中樣本數(shù)據(jù)對各個模糊集的記分函數(shù)值，可以得到兩個廣義模糊邏輯關系組FLR(1,1)和FLR(2,1)：

(1)FLR(1,1)

A1→A1,A1→A1,A1→A2,A2→A3,A3→A3,A3→A3,A3→A3,A3→A4,A4→A4,A4→A4,A4→A3

A3→A3,A3→A3,A3→A3,A3→A3,A3→A4,A4→A6,A6→A6,A6→A7,A7→A7,A7→A6

(2)FLR(2,1)

A2→A3,A2→A3,,A2→A3,A2→A3,A4→A4,A5→A6,A5→A6,A7→A7,A6→A7,A6→A6

依據(jù)上述最高記分函數(shù)值以及次高記分函數(shù)值對應的模糊邏輯關系集合FLR(1,1)和FLR(2,1)，分別應用Chen和Lee三種模糊邏輯關系矩陣的確定方法，得到相應的模糊關系矩陣為：

3.1 Chen模糊關系矩陣

3.2 Lee模糊關系矩陣

結合樣本數(shù)據(jù)隸屬于各個模糊子集的記分函數(shù)值(表1)以及設置的需要考慮的記分函數(shù)值個數(shù)p，分別利用式(7)和(8)對記分函數(shù)值進行標準化和歸一化，并將歸一化后樣本數(shù)據(jù)的記分函數(shù)值向量作為預測值的權重。參照Chen和Lee提出的預測規(guī)則，利用式(9)分別求出第p大記分函數(shù)值對應模糊子集對下一時刻的預測值Fvalp(t+1)，然后采用式(10)求解出模型的最終預測結果。下面以Chen模型為例求解預測值，例如：1971年的樣本數(shù)據(jù)對各個模糊集的記分函數(shù)值向量為(0.7220,0.3220,0,0,0,0,0)，觀測值對應的模糊集為A1和A2，歸一化后的記分函數(shù)值向量為(0.6916,0.3084,0,0,0,0,0)，最高記分函數(shù)值對應的模糊子集為A1，其預測主要用到的模糊關系對應于RC(1)的第一行，此時的預測值Fval1(1972)為14000；次高記分函數(shù)值對應的模糊子集為A2，用到的主要模糊關系為RC(2)的第二行，此時的預測值Fval2(1972)為14500，則1972年的最終預測值為0.6916×14000+0.3084×14500=14500=14154。類似的可以得到其它各年以及Lee模型的預測結果，表2為普通模糊化廣義模型在p=2,α=1時預測結果和本文直覺模糊化廣義模型分別在Chen和Lee模型上應用的預測結果，最后兩行分別為對應模型的均方誤差和平均百分比誤差。

表2 p=2,α=1廣義模型預測結果對比

其中，Model1為p=2,α=1時普通模糊化的廣義Chen模型；Model2為p=2,α=1時普通模糊化的廣義Lee模型；Model3為p=2,α=1時直覺模糊化的廣義Chen模型；Model4為p=2,α=1時直覺模糊化的廣義Lee模型。

糊集的隸屬情況，其對應預測結果的精度得到提升。另外，圖1中模型3和4的預測結果曲線更貼近真實值，尤其是1987年到1989年的預測精度更有了顯著提升，進一步驗證了本文建立的直覺模糊化的廣義模型的有效性和可行性。

為研究猶豫度因子對樣本數(shù)據(jù)直覺模糊化的影響，表3和表4給出了不同猶豫度的情況下Chen和Lee模型的預測精度變化情況。

圖1 p=2,α=1時四種廣義模型預測結果對比

表3 不同猶豫度情況下Chen廣義模型預測精度表

表4 不同猶豫度情況下Lee廣義模型預測精度表

圖2 不同猶豫度情況下模型預測精度變化曲線

對表3和4分析可知，猶豫度因子的選取影響著模型的預測精度，當δ=0.2時，本文模型取得最好的預測結果， 直覺模糊化的廣義模型的可行性和有效性得到驗證。

但是通過圖1分析發(fā)現(xiàn)，每年的預測結果精度提高并不是很明顯，這是由于式(6)記分函數(shù)在猶豫度所表達的中立狀態(tài)中，支持和反對的程度均衡引起的。顯然，當樣本數(shù)據(jù)越接近中間值時，樣本數(shù)據(jù)對相應模糊集的隸屬情況越明確，支持程度越高；相反，反對的程度越高。為此，合理的確定樣本數(shù)據(jù)對各個狀態(tài)的記分函數(shù)影響著模型的預測精度，能夠更加客觀地描述樣本數(shù)據(jù)“非此非彼”的模糊狀態(tài)。

4 結論

文章分析了傳統(tǒng)FTS的局限性，引入直覺模糊集對FTS進行擴展。通過樣本數(shù)據(jù)直覺模糊化，加深了對數(shù)據(jù)模糊性的認識，較好的反映了數(shù)據(jù)“非此非彼”的不確定性本質；更加細膩的描述了模糊現(xiàn)象的本質。最后通過實例驗證和對比分析，驗證了本文所建立的模型有較好的預測性能。但是，文中也分析了本文建立模型存在的不足，指出猶豫度因子的選取影響著模型的預測精度。另外，本文用記分函數(shù)來描述樣本數(shù)據(jù)對模糊集的隸屬情況，如何合理的確定記分函數(shù)也是影響模型預測結果重要因素，這也將是今后研究的重點。