橢圓余弦波對V 形防波堤繞射波浪力的解析計算

才瀚濤，黃 華，蘇 煒

(中山大學 航空航天學院 應用力學與工程系，廣東 廣州 510275)

防波堤在近岸與離岸工程中用于抵抗波浪作用，從而對海工設施和海上作業(yè)水域?qū)嵤┍Ｗo。防波堤類型廣泛，常見類型包括直立直墻式防波堤、島式防波堤、梳式防波堤、斜坡式防波堤、T 形防波堤、潛堤、圓弧型防波堤以及V 形防波堤等。Stokes[1]推導了半無限長薄壁單突堤的波浪繞射解析解形式。Lick[2]解析探討了楔形堤的微幅波繞射問題。洪廣文[3]對不完全反射邊界楔形堤和隅角堤的波浪繞射問題展開了理論分析。何軍等[4]對T 型防波堤與波浪的相互作用進行了數(shù)值計算。胡寶琳等[5]對半圓型潛堤所受波壓作用展開了數(shù)值模擬研究。朱夢華等[6-7]分別解析計算了橢圓余弦波對無限長直墻防波堤的波浪反射與透射作用以及波浪引起的防波堤底部的滲流作用。楚玉川等[8]對Airy 微幅波作用于單層圓弧型薄壁防波堤的繞射波浪力進行了解析研究。張敖等[9-10]分別應用橢圓余弦波和孤立波一階模型推導并理論計算了淺水波對圓弧型防波堤的繞射力與波面。蔣學煉等[11]基于微幅波對單突堤的繞射解析理論，提出了單突堤總波浪力相位差修正公式，探討了波浪力和波高的沿堤波動。V 形防波堤在美國首次提出并構(gòu)建，其目的主要為建造可臨時快速構(gòu)建和撤收的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。它具有建造方便省料和使用便捷且防浪效果良好等優(yōu)點。Chang 等[12]數(shù)值研究了微幅波作用下的V 形防波堤的防浪效應。

本文基于橢圓余弦波的淺水波模型，推導任意張角下V 形防波堤的波浪繞射解析解，從而將現(xiàn)有的Airy 波模型和相應的各種結(jié)果加以有效拓展。此外，本文方法將對現(xiàn)有的無限長薄壁直墻堤對應的淺水波反射理論進行拓展。

1 橢圓余弦波對V 形防波堤繞射的波浪場解析解與波浪力算式

設在均勻水深為 d 的海域中設置有兩臂長均為 a的 V 形固立防波堤（圖1），取坐標系 oxyz(即坐標系orθz ）， oxy平面位于水底，原點位于堤的兩臂相交點，ox正 軸與下臂重合，兩臂張角（即夾角）為 α，其中0<α ≤π， oz軸垂直向上。入射波為淺水波中的橢圓余弦波一階分量，入射角（與 ox軸 正向夾角）為β。以a為 半徑劃一圓柱面，將流場劃分為圓柱外流區(qū) ?0和圓柱內(nèi)流區(qū) ?1與 ?2（圖1）。

設水波總速度 Φ=Φi+Φs=Re(φ)=Re(φi+φs)，其中Re 是對括號內(nèi)取實部， φi為 入射波勢， φs為散射波勢。則有：

圖1 橢圓余弦波作用下的V 形固立防波堤Fig.1 Cnoidal wave diffracted by V shaped breakwater

另外， φ須滿足V 形防波堤物面條件， φs須滿足徑向無窮遠處的輻射條件。入射角為 β的一階入射橢圓余弦波的波勢[8]，可表達為：

其中，已利用貝塞爾母函數(shù)推廣公式：

式中：kn=nk。由此若取對應流區(qū) ?(j)的橢圓余弦波總波勢為則由特征函數(shù)展開法，可取：

將各區(qū)圓柱交界面徑向質(zhì)點速度和壓強連續(xù)條件統(tǒng)一寫為：

由式(10)和(11)，可設并可得：

將 f(θ)在 0 ～2π上展開為傅氏級數(shù)，即：

由a0=al=bl=0 (l=1,2,3···)，相應有：

代入 f1(θ) 和 f2(θ)，分別可得系數(shù)方程為：

其中,

進一步應用邊界條件式(12)和式(13)分別可得：

方程(20)，(21)，(26)和(27)構(gòu)成了未知系數(shù)的無限維完備代數(shù)聯(lián)立方程組，其中取實算中進行適度有限維運算即可滿足計算精度要求。

對應流域 ?j的繞射波面為而壓力為(j=0,1,2)。

據(jù)此可得作用于防波堤上臂的總波浪力為：

相應分量分別為F1x=F1sinα，F(xiàn)1y=F1cosα，而防波堤下臂的波浪力分量為：

上臂和下臂的總波浪力為：

進一步可給出V 形堤總波浪力矩公式：

其中，下標 x和 y 分別對應繞 oy 軸和 ox軸的水平波浪力矩。

2 算例與分析

在以下計算的各圖中規(guī)定符號 F/[ρg(H/2)ad]和 M/[ρg(H/2)ad2]分別表示V 形防波堤的無量綱總波浪力和力矩幅值。由于無量綱波浪力矩值為無量綱波浪力值的一半（見式(32)），故僅需對無量綱波浪力進行計算即可。在計算中引入橢圓余弦波特征參數(shù)λ =4κ2K(κ)/(3π2)=H/(k2d3)，它能夠反映淺水波波浪參數(shù)與水深相對變化對波浪作用的綜合影響效應。

在本文計算式中取V 形堤張角為π，進一步取有限長直墻薄壁密實防波堤堤長足夠大，從而與文獻[5]中涉及無限長直墻薄壁密實防波堤在水波正入射條件下的最大波面分布的相關(guān)計算進行驗證比較。圖2為與文獻[5]所涉及的在相同參數(shù)條件下最大波面分布中心軸線剖面圖的相關(guān)計算資料的比對結(jié)果，圖中取符號η /H為無量綱化最大波面。圖2 表明計算結(jié)果完全吻合，說明本文方法正確可靠。

圖3 為不同臂長水深比下張角為2 π/3的 V 形堤在來波正入射下（β =π/3） 最大無量綱波浪力隨 kd的變化曲線。由圖3 可見，當 0.53.0或kd<0.5時，最大無量綱波浪力隨臂長水深比變化呈交錯變化。

圖2 與無限長密實直墻堤的中心線剖面的比較Fig.2 Comparation of central profile with infinite long solid wall (λ =1, a=1 000, d=2, α=π, β=π/2)

圖3 不同臂長水深比下最大無量綱波浪力隨k d的變化Fig.3 Maximum dimensionless wave force for different arm length-water depth ratio (β=π/3, λ=3, α=2π/3)

圖4 為不同臂長水深比下張角為 π的V 形堤在來波正入射下（ βπ/2 ）最大無量綱波浪力隨 kd的變化曲線。從圖4 結(jié)果可知，當 kd 較小時（ kd<0.4），最大無量綱波浪力隨著臂長水深比的增加而略有增加，之后小幅交錯變換至 kd>2.0， 對應值隨著臂長水深比的增加而略有減小。與張角為 2π/3的V 形堤相比，張角為π的V 形堤的無量綱波浪力幅值受臂長水深比的影響明顯要小許多。

圖5 為不同來波入射角下張角為 2π/3的V 形堤的無量綱波浪力幅值隨 kd的變化趨勢。如圖5 所示，當 kd<0.7時 ，無量綱波浪力幅值隨入射角 β的增大而減小，當k d>0.7時，對應值呈現(xiàn)交錯變化。

圖6 為不同來波入射角下張角為 π的V 形堤的無量綱波浪力幅值隨 kd的變化趨勢。如圖6 所示，隨著入射角 β的增大最大無量綱波浪力隨之減小。正入射（ β=π/2）對應的無量綱波浪力幅值最大，且kd>1.0時其值遠大于斜入射情形的對應值。

圖4 不同臂長水深比下最大無量綱波浪力隨k d的變化Fig.4 Maximum dimensionless wave force for different arm length-water depth ratios (β=π/2, λ=3, α=π)

圖5 不同來波入射角下最大無量綱波浪力隨k d的變化Fig.5 Maximum dimensionless wave force for different incident angles (λ=3, d/a=1/5, α=2π/3)

圖6 不同入射角下最大無量綱波浪力隨k d的變化Fig.6 Maximum dimensionless wave force for different incident angles (λ=3, d/a=1/5, α=π)

圖7 為不同張角下正入射波對同臂長V 形堤的無量綱波浪力幅值隨 kd的變化趨勢。圖7 表明：不同張角下正入射波對同臂長V 形堤的無量綱波浪力幅值隨張角的增大而明顯增大，張角為 π的V 形堤對應最大無量綱波浪力幅值。

圖8 為不同kd 下張角為 2π/3的 V 形堤最大無量綱波浪力隨淺水波特征參數(shù) λ的變化趨勢。由圖8 可知，當λ <2時 ，相對淺水條件（ kd=0.5） 的無量綱波浪力幅值隨 λ 增加而略增，隨后隨 λ略為單調(diào)減小。而對應 kd 的另外2 個取值，無量綱波浪力幅值均隨 λ 增加而略減至保持不變。按照 λ=(H/d)/(kd)2， 當 kd和V 形堤臂長a 不變條件下（由于 d=a/5， 相應水深不變），則隨λ 增大，波高H 增大。由最大無量綱波浪力表達式 F/[ρg(H/2)ad]， 可見實際最大波浪力將隨λ （即H）增大而明顯增大。此外，圖8 還表明，當 λ一定時，隨kd的減小無量綱波浪力幅值增加。

圖7 不同張角下V 形堤的最大無量綱波浪力隨k d的變化Fig.7 Maximum dimensionless wave force for different opening angles of the breakwater (λ=3, d/a=1/5, β=π/4,π/3, π/2)

圖8 不同 kd下最大無量綱波浪力隨淺水波特征參數(shù)λ的變化Fig.8 Maximum dimensionless wave force for different characteristic parameters of shallow water (β=π/3, α=2π/3,d/a=1/5)

圖9 為相同淺水條件下橢圓余弦波與Airy 微幅波對張角為 2π/3的V 型防波堤的最大無量綱波浪力的比較。由圖9 可見，橢圓余弦波模型和Airy 波模型分別計算的防波堤最大無量綱波浪力隨參數(shù) kd的變化趨勢大致相同。橢圓余弦波理論所算結(jié)果明顯高于Airy 波理論的對應值，說明在一定淺水條件下采用橢圓余弦波模型十分必要。

圖9 橢圓余弦波與Airy 波所對應的最大無量綱波浪力的比較Fig.9 Comparation of maximum dimensionless wave force for cnoidal wave and airy wave (β=π/3, λ=3, d/a=1/5,α=2π/3)

3 結(jié) 語

本文引入橢圓余弦波一階分量模型，針對V 形防波堤的經(jīng)典結(jié)構(gòu)形式，應用特征函數(shù)展開法，對淺水波的繞射問題展開解析研究，從而將Airy 微幅波的對應理論加以有效拓展。主要結(jié)論有：

（1）將無限長直立薄壁堤的淺水波反射理論進行了有效拓展。通過計算來波正入射下足夠長張角 π直墻薄壁密實堤的最大繞射波面，與相同條件下無限長直墻密實堤的正反射最大波面結(jié)果加以比較，兩者結(jié)果吻合良好，說明本文方法合理可靠。

（2）利用橢圓余弦波理論計算所得的V 形防波堤的最大無量綱波浪力（矩）明顯大于相同淺水條件下Airy 微幅波波理論的對應結(jié)果，說明在一定的淺水條件，采用本文的淺水波V 形堤繞射理論更為合理可靠。

（3）淺水波入射角、V 形堤張角以及臂長水深比等因素的相對變化對V 形堤的波浪繞射作用均存在一定影響。V 形堤的橢圓余弦波實際繞射波浪力幅值隨淺水波特征參數(shù)的增加而增加。