基于Pythagorean模糊熵的風(fēng)險型決策方法
——考慮后悔與失望規(guī)避

李 娜，高雷阜，王 磊

(1.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 運籌與優(yōu)化研究院,遼寧 阜新 123000; 2.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 基礎(chǔ)教學(xué)部,遼寧 葫蘆島 125105)

0 引言

多屬性決策是指具有多個屬性的有限方案排序和選擇問題，其理論與方法在經(jīng)濟、管理、工程和軍事等諸多領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用[1]。自Yager[2,3]提出了Pythagorean模糊決策以來，眾多學(xué)者對Pythagorean模糊多屬性決策進行了研究。Peng[4]定義了Pythagorean模糊集一些新的相似測度和距離測度，并將他們應(yīng)用到Pythagorean模糊決策環(huán)境。Chen[5]構(gòu)建了Pythagorean模糊VIKOR決策模型。劉衛(wèi)鋒等[6]提出了Pythagorean模糊Hamacher加權(quán)平均算子，Pythagorean模糊Hamacher有序加權(quán)平均算子，Pythagorean模糊Hamacher加權(quán)幾何算子以及Pythagorean模糊Hamacher有序加權(quán)幾何算子，并應(yīng)用到多屬性決策問題。Wei等[7]提出了一些Pythagorean模糊冪集結(jié)算子，李娜等[8]提出誘導(dǎo)型廣義Pythagorean模糊Choquet積分算子，并將其應(yīng)用到多屬性群決策問題?？紤]到隸屬度和非隸屬度的相互作用，Wei[9]提出了交互式Pythagorean模糊集結(jié)算子。Biswas 和 Sarkar[10]將傳統(tǒng)的TOPSIS方法拓展到Pythagorean模糊決策環(huán)境。李娜等[11]提出了區(qū)間Pythagorean模糊AQM決策方法。Garg[12]提出對數(shù)形式的Pythagorean模糊集結(jié)算子并應(yīng)用到多屬性決策問題，Liu等[13]提出了帶有可能度的區(qū)間Pythagorean模糊決策方法。李鵬等[14]在Pythagorean模糊群決策環(huán)境下，提出了一種灰色關(guān)聯(lián)決策方法。Ilbahar等[15]提出了Pythagorean 模糊AHP決策方法，并用于健康安全評價。

作為決策理論與方法中的重要內(nèi)容，風(fēng)險型多屬性決策問題考慮了不同狀態(tài)的概率可預(yù)估，備選方案的選擇具有一定的風(fēng)險的排序問題。考慮到?jīng)Q策者的心理行為，譚春橋和張曉丹[16]提出了基于后悔理論[17,18]的風(fēng)險型決策方法。張浩[19]在應(yīng)急方案選擇與調(diào)整過程中既考慮了決策者后悔行為也考慮到了失望行為[20,21]。目前，在Pythagorean模糊環(huán)境下的風(fēng)險型決策方法較少，Liang等[22]基于前景理論提出了Pythagorean模糊TODIM多屬性決策方法，Peng等[23]分別利用前景理論和后悔理論研究了Pythagorean模糊風(fēng)險型多屬性決策問題，并利用算例對兩種方法進行比較分析。

模糊熵刻畫了模糊集的不確定程度，Joshi和Kumar[24]提出了直覺模糊熵，刻畫了直覺模糊集的不確定程度，Li等[25]研究了直覺模糊集的相似測度和熵的關(guān)系，Hussain和Yang[26]提出了猶豫模糊熵，刻畫了猶豫模糊集的不確定程度，王堅強等[27]提出了語言D數(shù)模糊熵，刻畫了語言D數(shù)的不確定程度。目前，模糊熵并未完全擴展到Pythagorean模糊集中[10,28]。

風(fēng)險決策過程中決策者常常表現(xiàn)出風(fēng)險規(guī)避、后悔規(guī)避和失望規(guī)避等行為，其中，后悔行為是由于備選方案比決策者主觀選擇的方案要好時產(chǎn)生的；失望行為是同一選擇有多個可能結(jié)果時，外在環(huán)境導(dǎo)致決策者選擇的實際結(jié)果較差時產(chǎn)生的[29]。決策者在選擇備選方案時會追求后悔最小化或失望最小化，因此，風(fēng)險決策需要考慮決策者的后悔與失望行為[19]。鑒于此，本文考慮到?jīng)Q策者的后悔與失望規(guī)避心理行為，針對屬性值為Pythagorean模糊數(shù)的風(fēng)險型多屬性決策問題進行探究，定義了新的Pythagorean模糊熵，由此獲得不同狀態(tài)下屬性權(quán)重，并通過加權(quán)求和獲得綜合屬性權(quán)重。同時將決策者的后悔心理和失望心理行為特征加以考慮，提出一種基于Pythagorean模糊熵的考慮后悔與失望規(guī)避的決策方法。最后，通過算例分析驗證了本文方法的有效性和優(yōu)點。同時，分析了后悔規(guī)避系數(shù)δ和失望規(guī)避系數(shù)τ對決策結(jié)果的影響。

1 預(yù)備知識

1.1 Pythagorean模糊集

若μQ(xi)≥vQ(xi),則μP(xi)≥μQ(xi),vP(xi)≤vQ(xi);

若μQ(xi)≤vQ(xi),則μP(xi)≤μQ(xi),vP(xi)≥vQ(xi)。

1.2 后悔與失望理論

后悔理論是由Bell[17]和Loomes等[18]分別提出來的，基本思想是決策者會將自己考慮選擇方案的結(jié)果與其他方案可能獲得的結(jié)果進行比較，如果發(fā)現(xiàn)選擇其他方案可以獲得更好的結(jié)果，那么其心中會感到后悔；反之，則會感到欣喜。在悔理論提出后Bell又提出了失望理論[20]，其基本思想是決策者會把實際的決策結(jié)果與期望進行比較，當實際決策結(jié)果小于期望值時，決策者會感到失望；反之，則會感到愉悅。在決策過程中，決策者會對潛在的結(jié)果有所預(yù)期，并且避免選擇會使其感到后悔和失望的方案[17,18,20]，即決策者在決策過程中是后悔和失望規(guī)避的。

令x1，x2和x3分別表示選擇方案A1，A2和A3所能帶來的結(jié)果。依據(jù)后悔理論和失望理論[17,20]，決策者的感知價值由三部分組成，即關(guān)于當前選擇方案的效用值、后悔-欣喜值和失望-愉悅值，于是決策者對方案A1的感知價值[19,21]為

u(x1,x2,x3)=u(x1)+kR·R(Δv)+kD·D(Δθ)

(1)

其中，kR和kD分別表示后悔和失望對決策的影響程度。Δv=v(x1)-v(x2)，v(x1),v(x2)分別表示決策者從選擇備選方案A1和A2的結(jié)果中獲得的效用值，R(Δv)表示后悔-欣喜值，當R(Δv)>0時，R(Δv)為欣喜值，表示決策者對選擇方案A1而放棄選擇方案A2感到欣喜的值； 當R(Δv)<0時，R(Δv)為后悔值，表示決策者對選擇方案A1而放棄選擇方案A2感到后悔的值；D(Δθ)表示失望-愉悅值，Δθ=v(x1)-v(x3)，v(x1),v(x3)分別表示決策者從選擇備選方案A1和A3的結(jié)果中獲得的效用值，當D(Δθ)>0時，D(Δθ)為愉悅值，表示決策者對選擇方案A1而放棄選擇方案A3感到愉悅的值；當D(Δθ)<0時，D(Δθ)為失望值，表示決策者對選擇方案A1而放棄選擇方案A3感到失望的值。

2 模型的構(gòu)建與方法設(shè)計

2.1 決策問題描述

表1 決策矩陣

2.2 Pythagorean模糊風(fēng)險型決策方法

針對屬性值由Pythagorean模糊數(shù)表示的風(fēng)險型多屬性決策問題，下面利用后悔與失望理論提出一種新的決策方法。基本思路如下：

(2)

(3)

其中，α為決策者的風(fēng)險規(guī)避系數(shù)，滿足0<α<1。α越大，則相同屬性值的效用值越大，表明決策者對該屬性的偏好程度越大。

(4)

若x服從正態(tài)分布，則

i∈M,j∈N,t∈H

(5)

(6)

R(Δv)=1-exp(-δΔv)

(7)

其中，δ為決策者的后悔規(guī)避系數(shù)[16]，δ越大，決策者的后悔規(guī)避程度越大，Δv為兩個方案的效用之差。

根據(jù)式(7)，確定狀態(tài)St下方案Yi針對屬性Cj相對于理想點的后悔-欣喜值，表達式如下:

(8)

再次，計算每個方案下，各個狀態(tài)針對各個屬性相對于理想點的失望值。 這里，首先確定失望-愉悅函數(shù)D(Δθ)，由于決策者對于失望和愉悅都是風(fēng)險規(guī)避的，因此，函數(shù)D(Δθ)是單調(diào)遞增的凹函數(shù)[19,20]，滿足D′(Δθ)≥0且D″(Δθ)≤0,D(0)=0。本文采用如下的函數(shù)[19,21]:

D(Δθ)=1-τΔθ

(9)

其中，τ為決策者的失望規(guī)避系數(shù)[19]，τ越大，決策者的失望規(guī)避程度越大。

根據(jù)式(9)，確定方案Yi下狀態(tài)St針對屬性Cj相對于理想點的失望-愉悅值，表達式如下

(10)

注1式(8)中的理想點是在同一狀態(tài)同一屬性下，由不同方案的決策信息相互比較確定的；式(10)中的理想點是在同一方案同一屬性下，由不同狀態(tài)所對應(yīng)的決策信息相互比較確定的。

在上述基礎(chǔ)上，根據(jù)式(1)建立狀態(tài)St下方案Yi針對屬性Cj的感知效用

(11)

最后，利用屬性權(quán)重獲得方案Ai的綜合感知效用:

(12)

其中，pt為狀態(tài)St發(fā)生的概率，ωj(j∈N)為屬性Cj的權(quán)重，通常情況下屬性的權(quán)重信息并不已知。依據(jù)綜合感知效用ρi對方案進行比較排序，確定最優(yōu)方案。

2.3 求解屬性權(quán)重

由于決策情形的復(fù)雜性，屬性權(quán)重信息常常難以確定。在每一狀態(tài)下，屬性信息越模糊越不確定，表明決策者對該屬性的了解程度相對越少，則賦予較小權(quán)重。反之，則賦予較大權(quán)重。而這種屬性信息的模糊性和不確定性可以用模糊熵來衡量。

(13)

下面，利用Pythagorean模糊熵確定屬性權(quán)重。

(14)

進一步，簡單的加權(quán)得到屬性Cj的權(quán)重

(15)

其中，由于pt為狀態(tài)St發(fā)生的概率，t∈H。

2.4 決策方法步驟

Step5利用式(14)-(15)求解屬性權(quán)重ω=(ω1,ω2,…,ωn)。

Step6利用式(12)得到備選方案的綜合感知效用ρi(i∈M)，依據(jù)ρi越大，方案越佳，確定最佳方案。

3 算例分析

某計算機圖書出版社要出版一本暢銷書(改編自文獻[23])。有4個方案可供選擇，分別為：《機器學(xué)習(xí)》A1；《數(shù)據(jù)挖掘》A2；《大數(shù)據(jù)》A3；《深度學(xué)習(xí)》A4；主要評價指標(屬性)有：普及性C1；創(chuàng)新性C2；圖書價值C3。根據(jù)市場預(yù)測，在出版期間有3種可能的狀態(tài)S={S1,S2,S3}分別表示好、中和差，對應(yīng)發(fā)生的概率分別為p1=0.2,p2=0.5,p3=0.3。該出版社給出4個備選方案關(guān)于3個評價指標的評價結(jié)果如表2所示。在上述條件下，試確定最佳的出版書籍。

表2 決策矩陣

3.1 計算過程

表3 效用值矩陣

表4 后悔-欣喜值矩陣

表5 失望-愉悅值矩陣

表6 感知效用矩陣

Step5利用式(14)～(15)求得屬性權(quán)重ω=(0.4100,0.3006,0.2894)T。

Step6利用式(12)求得備選方案的綜合感知效用值:ρ1=0.4874,ρ2=0.4768,ρ3=0.4958,ρ4=0.4957。由于，ρ3>ρ4>ρ1>ρ2，獲得方案排序：A3?A4?A1?A2。故，最佳方案為A3，即最佳出版書籍為《大數(shù)據(jù)》。

3.2 參數(shù)δ和τ的變化對決策結(jié)果的影響

下面，討論后悔規(guī)避系數(shù)δ和失望規(guī)避系數(shù)τ對決策結(jié)果的影響。

首先，固定一個參數(shù)，分析另一個參數(shù)的變化對決策結(jié)果影響。固定后悔規(guī)避系數(shù)δ，取δ=0.3，分析失望規(guī)避系數(shù)τ在區(qū)間[0.1,0.9]變化，獲得排序結(jié)果如表7所示。

表7 δ=0.3時不同τ對應(yīng)的排序結(jié)果

由表7可以看出，失望規(guī)避系數(shù)τ取較小值時，如：0.1,0.2，排序結(jié)果為：A4?A3?A1?A2，當失望規(guī)避系數(shù)τ超過0.2后，排序結(jié)果變?yōu)锳3?A4?A1?A2。方案A3和A4的排序發(fā)生改變。

接下來，固定失望規(guī)避系數(shù)τ，取τ=0.3，分析后悔規(guī)避系數(shù)δ在區(qū)間[0.1,0.9]變化，獲得排序結(jié)果如表8所示。

表8 τ=0.3時不同δ對應(yīng)的排序結(jié)果

由表8可以看出，后悔規(guī)避系數(shù)δ取較小值時，如：0.1,0.2，排序結(jié)果為：A4?A3?A1?A2，當后悔規(guī)避系數(shù)δ超過0.2后，排序結(jié)果變?yōu)锳3?A4?A1?A2。同樣，方案A3和A4的排序發(fā)生改變，如圖1所示。

圖1 不同δ下的綜合感知效用

由圖1反映出，隨著后悔規(guī)避系數(shù)δ的增加，4個方案的綜合感知效用都在遞減，方案A1和A2的排序不變，方案A3和A4排序發(fā)生改變。

圖2 4個決策區(qū)域

接下來分析當2個參數(shù)δ，τ同時變化對決策結(jié)果的影響。經(jīng)分析計算得，在(τ,δ)的允許取值范圍G={0<τ<1,0<δ<1}內(nèi)，存在4個不同的區(qū)域G1={0<τ≤0.193,0<δ<1},G2,G3,G4={0.37≤τ<1,0<δ<1}，如圖2所示。其中，區(qū)域G2和G3的分界曲線表達式為δ=-0.0002335e18.08τ+7.824e-10.66τ,0.193<τ<0.37，進一步的分析獲得如下結(jié)果：

當參數(shù)(τ,δ)在區(qū)域G1或G3變化時，排序結(jié)果為：A4?A3?A1?A2，最佳方案為A4，當(τ,δ)在區(qū)域G2或G4變化時，排序結(jié)果為：A3?A4?A1?A2，最佳方案為A3。表明當失望規(guī)避系數(shù)τ較小且滿足0<τ<0.193時，無論后悔規(guī)避系數(shù)δ取多大的值，排序結(jié)果始終為：A4?A3?A1?A2。當失望規(guī)避系數(shù)τ較大且滿足0.37≤τ<1時，無論后悔規(guī)避系數(shù)δ取值多小，排序結(jié)果始終為：A3?A4?A1?A2。

當參數(shù)(τ,δ)按照關(guān)系式δ>-0.0002335e18.08τ+7.824e-10.66τ,0.193<τ<0.37變化時，排序結(jié)果為：A3?A4?A1?A2，而當參數(shù)(τ,δ)按照關(guān)系式δ<-0.0002335e18.08τ+7.824e-10.66τ,0.193<τ<0.37變化時，排序結(jié)果為：A4?A3?A1?A2。 說明參數(shù)(τ,δ)的變化對決策結(jié)果具有重要影響。實際決策過程中后悔規(guī)避系數(shù)δ和失望規(guī)避系數(shù)τ的取值通常都較大些，這樣避免決策過程中出現(xiàn)較大可能的后悔行為和失望行為。

3.3 對比分析

(1)可行性分析

表9 前景決策矩陣

其中， 參數(shù)α=β=0.88,θ=2.25,γ=0.61,δ=0.72。取屬性權(quán)重ω=(0.4100,0.3006,0.2894),利用Pythagorean加權(quán)平均算子獲得每個方案的綜合前景值：V1=(0.3028,0.0055),V2=(0.3412,0.0034),V3=(0.3500,0.0042),V4=(0.3323,0.0062)，在此基礎(chǔ)上計算得分函數(shù)[23],S(V1)=0.5743,S(V2)=0.5965,S(V3)=0.6020,S(V4)=0.5910，進而獲得方案排序：A3?A2?A4?A1，最佳方案為A3，與本文的一致，表明本文方法的可行性。

(2)優(yōu)點分析

本文的決策方法既體現(xiàn)了后悔規(guī)避又體現(xiàn)了失望規(guī)避，相比文獻[5,10,14,15]中的決策結(jié)果更符合決策者的心里特征，同時相比文獻[19,23,29]，本文方法更適合復(fù)雜的模糊決策環(huán)境。具體分析如表10所示。

表10 不同方法特征比較

4 結(jié)論

本文針對屬性權(quán)重完全未知且屬性值為Pythagorean模糊數(shù)的風(fēng)險型多屬性決策問題進行了研究，提出一種基于Pythagorean模糊熵的考慮決策者后悔與失望規(guī)避心理行為的決策方法。該方法的特點是決策過程中同時考慮了決策者可能出現(xiàn)的后悔行為與失望行為，更符合決策者的心理特征。運用Pythagorean模糊熵獲得的屬性權(quán)重減少了權(quán)重確定的主觀性，而且該Pythagorean模糊熵既考慮了隸屬度與非隸屬度的偏差對其影響，又考慮了猶豫度對其影響。算例分析表明了本文決策方法的可行性和優(yōu)點，同時也說明后悔與失望規(guī)避系數(shù)(τ,δ)的變化對決策結(jié)果具有重要影響。