考慮更新延長兩階段保修的二手產(chǎn)品維修策略優(yōu)化

董 克, 羅運(yùn)鵬

(安徽廣播電視大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，安徽 合肥 230022)

0 引言

近年來，隨著人們環(huán)保意識的增強(qiáng)和節(jié)約成本的考慮，二手產(chǎn)品(如汽車、筆記本等)越來越受到人們的青睞。對于顧客而言，二手產(chǎn)品的價格固然低廉，但他們同樣也關(guān)注于產(chǎn)品的性能。如何保證自己所購買的產(chǎn)品能在使用期限內(nèi)完成所期望的任務(wù)，是他們最關(guān)心的問題。因此，二手產(chǎn)品維修問題已逐漸成為當(dāng)前學(xué)者研究的熱點。

針對產(chǎn)品保修和維修問題，一些學(xué)者進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，這方面的文章有[1～4]。通常地，為保證產(chǎn)品的正常運(yùn)行，顧客在購買產(chǎn)品的同時，將選擇經(jīng)銷商提供的某種保修策略。目前，基本的保修策略主要有兩種：更新保修策略和非更新保修策略。所謂更新保修，是指當(dāng)產(chǎn)品發(fā)生故障時，對產(chǎn)品進(jìn)行更換，更換成本有兩種分?jǐn)傂问剑阂环N是全部由經(jīng)銷商承擔(dān)；另一種是由經(jīng)銷商和顧客依據(jù)設(shè)備已運(yùn)行的年齡按比例分?jǐn)?。在更換的同時，保修期限也進(jìn)行更新。所謂非更新保修，是指制造商僅負(fù)責(zé)基本保修期內(nèi)的產(chǎn)品維修服務(wù)，當(dāng)產(chǎn)品發(fā)生故障時，保修期限不更新，一旦保修期滿，保修終止。除上述兩種保修策略之外，學(xué)者們還提出了其它保修策略模型[5～7]，此外，還有一些將上述保修策略結(jié)合在一起進(jìn)行研究的文章[8～11]。上述研究中，盡管經(jīng)銷商提供了多樣的保修策略，但主要集中在基本保修方面，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足顧客的需求。因此，經(jīng)銷商又提供了各種延長保修策略供顧客選擇。Lam等[12]提出了一個在免費(fèi)保修策略下的延長保修策略模型；Wu等[13]從顧客的角度出發(fā)，研究了帶有基本保修和延長保修策略的產(chǎn)品的生命周期成本優(yōu)化問題；Bouguerra等[14]研究了在延長保修期間，對發(fā)生故障的產(chǎn)品進(jìn)行免費(fèi)小修的策略問題。但是，均沒有考慮到當(dāng)延長保修期滿之后的產(chǎn)品維修問題；Jung等[15]以顧客維修總費(fèi)用率最小為目標(biāo)，研究了新產(chǎn)品的最優(yōu)維修期問題；Park等[16]提出了帶有維修時間限制的更新延長保修策略；文獻(xiàn)[17]從顧客的角度出發(fā)，研究了當(dāng)保修期滿后對產(chǎn)品進(jìn)行不完美維護(hù)，并且在產(chǎn)品的年齡達(dá)到某個值時進(jìn)行更換的優(yōu)化策略；Park等[18]還提出了基于二維保修期滿的周期預(yù)防維護(hù)策略。文獻(xiàn)[19]從制造商的角度出發(fā)，研究了帶二維延長保修產(chǎn)品的兩階段維護(hù)優(yōu)化問題；Yang等[20]研究了在二維保修策略下，通過考慮產(chǎn)品的使用率來預(yù)測其故障數(shù)的問題；文獻(xiàn)[21]分別從顧客和制造商的角度，研究了帶二維保修產(chǎn)品的周期預(yù)防維護(hù)優(yōu)化問題；Wang等[22]研究了帶維修時間限制的二維修保修期滿后的最優(yōu)延長保修策略。

目前，有關(guān)保修的研究已取得一定的進(jìn)展，但多以新產(chǎn)品為研究對象。事實上，在全球提倡環(huán)境保護(hù)和節(jié)約成本的背景下，研究具有一定年齡的二手產(chǎn)品的維修問題更具有現(xiàn)實意義。然而，關(guān)于二手產(chǎn)品的研究很少[23]。Chattopadhyay等[24]研究了二手產(chǎn)品在免費(fèi)更換或者按比例保修情況下的期望保修成本模型，但是沒有考慮預(yù)防維修；Pongpech等[25]研究了在租賃前對設(shè)備進(jìn)行升級，在租賃過程中，對設(shè)備進(jìn)行預(yù)防維修以減少設(shè)備的故障成本的策略模型，但是此模型中待優(yōu)化參數(shù)較多，且預(yù)防維護(hù)時間間隔不相等，在實際應(yīng)用中是不易操作的；Shafiee等[26]研究了對二手產(chǎn)品進(jìn)行升級的策略模型，但它是從出售方的角度來進(jìn)行研究的，沒有考慮到顧客的費(fèi)用問題。

針對當(dāng)前關(guān)于二手產(chǎn)品保修的研究較少，且缺乏從顧客視角考慮的問題，本文擬從顧客視角出發(fā)，構(gòu)建年齡在確定區(qū)間內(nèi)變化的二手產(chǎn)品更新延長保修期滿的維修策略模型。該模型與其他已有研究的區(qū)別在于：(1)引進(jìn)了二手產(chǎn)品生命周期的概念。二手產(chǎn)品的生命周期開始于一個二手產(chǎn)品的使用，終止于顧客對另一個二手產(chǎn)品購買的完成；(2)考慮了產(chǎn)品的年齡在確定區(qū)間內(nèi)隨機(jī)變化的情形；(3)以相關(guān)優(yōu)化理論為依據(jù)，以維修期長度τ為決策變量，以顧客期望總費(fèi)用率的值C(τ)最小作為優(yōu)化目標(biāo)。得到的期望總費(fèi)用率的最小值C(τ*)及對應(yīng)的最優(yōu)維修期長度τ*，可為顧客進(jìn)行產(chǎn)品維修決策提供理論依據(jù)。

本文的結(jié)構(gòu)如下：第一部分為引言；第二部分為問題及策略描述；第三部分是數(shù)學(xué)模型；第四部分給出了模型最優(yōu)化的相關(guān)理論及證明；第五部分是算例分析，并對參數(shù)的靈敏度進(jìn)行了研究；最后是總結(jié)和展望。

2 問題及策略描述

經(jīng)銷商為了保證所售二手產(chǎn)品的有效運(yùn)行和增加產(chǎn)品的市場競爭力，通常會在產(chǎn)品出售時，附帶有一定的保修期限。二手產(chǎn)品的生命周期可分為三個階段：(1)基本保修期w?；颈Ｐ奁诳煞譃閮蓚€互不相交的區(qū)間：更換保修期(replacement warranty，RW)和小修保修期(minimal repair warranty，MW)，其區(qū)間長度可分別表示為：[0,θw]和(θw，w]。在更換保修期[0,θw]內(nèi)，若產(chǎn)品發(fā)生故障，將用另外的產(chǎn)品進(jìn)行更換。同時，產(chǎn)品的保修期將進(jìn)行更新。在更換保修期內(nèi)，由產(chǎn)品更換所產(chǎn)生的費(fèi)用，有兩種分?jǐn)偡绞剑阂环N是全部由經(jīng)銷商承擔(dān)；另一種是由經(jīng)銷商和顧客依據(jù)設(shè)備已運(yùn)行的年齡按比例分?jǐn)?。在產(chǎn)品進(jìn)行更換時，將會給顧客造成生產(chǎn)相關(guān)的損失費(fèi)用。在小修保修期(θw，w]內(nèi)，若產(chǎn)品發(fā)生故障，則只進(jìn)行小修；(2)延保期kδ(k≥1)。在基本保修期滿后，顧客可以選擇購買一定長度的延長保修期δ，當(dāng)顧客重復(fù)購買k(k≥2)次延長保修期時，經(jīng)銷商會給予顧客一定的價格折扣φ，此段時間稱之為延保期(extended warranty，EW)。在此期間，設(shè)備所產(chǎn)生的故障小修費(fèi)用均由經(jīng)銷商來承擔(dān)，顧客只需支付延保費(fèi)用；(3)維修期τ。當(dāng)延保期滿后，產(chǎn)品的維修費(fèi)用完全由顧客自己承擔(dān)，此段時間稱為維修期τ。當(dāng)維修期終止時，顧客將對產(chǎn)品進(jìn)行更換。圖1為更新延長的兩階段保修模型示意圖。

圖1 更新延長兩階段保修模型示意圖

由于延保期滿后，維修期τ內(nèi)的所有維修費(fèi)用需由顧客承擔(dān)。對顧客而言，如何確定最優(yōu)的維修期τ，使得所購二手產(chǎn)品在整個生命周期內(nèi)的期望總費(fèi)用率最低，是其關(guān)注的核心問題。因此，本文擬從顧客的角度，綜合考慮二手產(chǎn)品在生命周期內(nèi)三個階段的費(fèi)用情況，建立了免費(fèi)保修策略和按比例保修策略兩種策略模型，以二手產(chǎn)品的維修期τ的長度作為決策變量，以整個生命周期內(nèi)的期望總費(fèi)用率的值C(τ)最小為優(yōu)化目標(biāo)，優(yōu)化獲得最優(yōu)期望總費(fèi)用率C(τ*)的值及對應(yīng)的最優(yōu)維修期τ*的值，從而為顧客進(jìn)行產(chǎn)品維修計劃提供指導(dǎo)。

3 基本模型

符號注記：

Free replacement/repair warranty(FRRW)免費(fèi)更換/維修保修

Pro-rata replacement warranty(PRRW)按比例保修

Replacement warranty(RW)更換保修

Minimal repair warranty(MW)小修保修

a二手產(chǎn)品的年齡cmw比例保修下的顧客支付的單位小修費(fèi)用,0?cmw?cmmH(a), h(a)二手產(chǎn)品的年齡累積(密度)分布cmm維修期內(nèi)的單位小修費(fèi)用T產(chǎn)品發(fā)生故障的時刻ce購買延保的費(fèi)用F(t),f(t)設(shè)備壽命累積分布和密度分布cr更換費(fèi)用Λ(t)故障率分布函數(shù)δ延長保修的長度w基本保修期k延保的次數(shù)θ比例參數(shù)τ維修期cfm維修期的生產(chǎn)損失單位費(fèi)用?折扣率θw, (1-θ)w更換保修期和小修保修期,0?θ?1ECL(τ)生命周期長度cfw基本保修期內(nèi)生產(chǎn)損失的單位費(fèi)用ETC(τ)期望總費(fèi)用的值cfew延保期內(nèi)生產(chǎn)損失的單位費(fèi)用C(τ)期望總費(fèi)用率L產(chǎn)品的設(shè)計使用壽命(且滿足:ECL(τ)

模型假設(shè)：

(1)在基本保修期內(nèi)，制造商提供的更換保修和小修維修服務(wù)的時間忽略不計；

(2)在基本保修期和延保期內(nèi)，二手產(chǎn)品的保修索賠時間忽略不計;

(3)在延長保修期和維修期內(nèi)，小修維修服務(wù)的時間忽略不計。

假定產(chǎn)品的壽命服從二參數(shù)的Weibull分布：f(t)=λβ(λt)β-1e-(λt)β，則產(chǎn)品的故障率函數(shù)分布為:

(1)

其中參數(shù)λ>0，β>1。

若二手產(chǎn)品的年齡a是隨機(jī)變量，其累積分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為H(a)和h(a)，假定密度函數(shù)h(a)的表達(dá)式為[27～30]:

(2)

則累積分布函數(shù)H(a)為:

(3)

其中，H(L)=0，H(U)=1。

則二手產(chǎn)品的平均年齡為：

(4)

(w+kδ+τ)

(5)

產(chǎn)品在更換保修期[0,θw]內(nèi)的故障數(shù)服從幾何分布:

(6)

公式(5)關(guān)于N=n求期望，則生命周期的期望值為：

(7)

假定CBW，CEW，CM，Cr分別表示基本保修期費(fèi)用，延保期費(fèi)用，維修期費(fèi)用和生命周期終止時的產(chǎn)品更換費(fèi)用。則顧客期望總費(fèi)用的值為：

ETC(τ)=E(CBW)+E(CEW)+E(CM)+E(Cr)

(8)

當(dāng)系統(tǒng)在更換保修期(RW)內(nèi)發(fā)生N=n次更換時，公式(8)右式中的每項含義如下：

(1)基本保修期費(fèi)用E(CBW)?；颈Ｐ奁谟筛鼡Q保修期(RW)和小修保修期(MW)兩階段組成，當(dāng)系統(tǒng)在更換期內(nèi)發(fā)生N=n次更換時，在FRRW策略下，基本保修期費(fèi)用由兩部分構(gòu)成：第一階段保修內(nèi)的生產(chǎn)損失費(fèi)用和第二階段保修期內(nèi)的生產(chǎn)損失費(fèi)用；而在PRRW策略下，基本保修期費(fèi)用由四部分構(gòu)成：更換保修期(RW)內(nèi)的更換成本分?jǐn)?、更換時的生產(chǎn)損失費(fèi)用，小修保修期(MW)內(nèi)的生產(chǎn)損失費(fèi)用和需要顧客支付的小修費(fèi)用。具體如下：

(9)

(2)延保期(EW)費(fèi)用E(CEW)。在FRRW和PRRW兩種策略下，延保期費(fèi)用是相同的，為購買延保所支付的費(fèi)用和延保期間的生產(chǎn)損失費(fèi)用：

(10)

(3)維修期費(fèi)用E(CM)。在FRRW和PRRW兩種策略下，維修期費(fèi)用是相同的，為設(shè)備的小修費(fèi)用和生產(chǎn)損失費(fèi)用構(gòu)成：

E(CM)=(cmm+cfm)M(τ)

(11)

(4)更換費(fèi)用E(Cr)。當(dāng)維修期滿后，顧客將會對產(chǎn)品進(jìn)行更換。因此，將產(chǎn)生更換費(fèi)用：

E(Cr)=cr

(12)

由公式(9)～(12) ，可得當(dāng)發(fā)生N=n次更換時的期望總費(fèi)用為：

(13)

對上述公式(13)關(guān)于N=n求期望，則得到期望總費(fèi)用ETC(τ)的值為：

(14)

根據(jù)以上分析，綜合公式(7)、(14)和文獻(xiàn)[27]的相關(guān)理論可得，在生命周期內(nèi)的期望總費(fèi)用率的值為：

(15)

(16)

4 模型優(yōu)化

公式(15)中的待優(yōu)化決策變量為產(chǎn)品的維修期τ。則優(yōu)化問題即轉(zhuǎn)化為尋找τ*，滿足：

C(τ*)=min0≤τ<∞C(τ)

(17)

為尋找維修期的最優(yōu)值τ*，令：

(18)

將公式(18)展開并整理，得到：

=c0/(cmm+cfm)

(19)

為證明公式(19)解的唯一性，可以使用函數(shù)的偽凸性[1]。若公式(15)具有偽凸性，則僅有一個局部最小值，因此也僅有一個全局最小值存在。給出一個引理：

引理1如果F(x)是一個嚴(yán)格遞增的分布函數(shù)，則對于給定的k,C(τ)關(guān)于τ是偽凸的。

因此，函數(shù)Q(τ)是正的且是凸的。又函數(shù)ETC(τ)是線性的且是正的，所以函數(shù)C(τ)關(guān)于τ是偽凸的。

定理1給定k≥1，若F(x)是一個嚴(yán)格遞增的分布函數(shù)，則:

證明利用偽凸性和公式(19)，即可得證。

從定理1可知，滿足公式(19)的τ的值，即為最優(yōu)維修期τ*。此時，對應(yīng)的C(τ*)的值即為最優(yōu)期望總費(fèi)用率。

5 算例分析

經(jīng)銷商從市場購得大量二手汽車，經(jīng)過歸類整理，將同一型號且年齡在區(qū)間[L,U]上的二手汽車，進(jìn)行統(tǒng)一制定銷售價格。針對二手汽車的關(guān)鍵零部件，制定基本保修、延長保修維修策略。對顧客來說，如何確定最優(yōu)的維修期τ，使得所購二手產(chǎn)品在整個生命周期內(nèi)的期望總費(fèi)用率最低，是其最關(guān)心的問題。部分參數(shù)的取值如表1所示。

表1 算例中參數(shù)的取值

圖2 當(dāng)參數(shù)β=2,3,4時，F(xiàn)RRW策略下的曲線圖

圖3 當(dāng)參數(shù)β=2,3和4時，PRRW策略下的曲線圖

5.1 當(dāng)參數(shù)β取不同值時顧客期望總費(fèi)用率值的變化情況

圖2，3為當(dāng)其它參數(shù)取值不變，參數(shù)β分別取2，3和4時的兩種維修策略下的顧客期望總費(fèi)用率的值變化趨勢圖。圖2為免費(fèi)更換策略下的曲線圖，從圖中可以看出，當(dāng)β=2時，期望總費(fèi)用率的值曲線變化比較平緩，當(dāng)β=4時，期望總費(fèi)用率的值曲線變化較陡峭，即當(dāng)產(chǎn)品的劣化速率加快時，顧客期望總費(fèi)用率的值變化較大，且期望總費(fèi)用率的值變大。經(jīng)計算得出，當(dāng)參數(shù)β=2時，顧客期望總費(fèi)用率最優(yōu)值為C(τ*)=1.8779，此時，最優(yōu)維修期的值τ*=22.9594。當(dāng)參數(shù)β取值為4時，顧客期望總費(fèi)用率最優(yōu)值在τ*=8.6960時取得，為C(τ*)=2.7938。通過比較，可以得出結(jié)論：當(dāng)參數(shù)β的值增大時，產(chǎn)品劣化的速度加快，顧客期望費(fèi)用率最優(yōu)值變大，產(chǎn)品的最優(yōu)維修期變小。相比較而言，對于顧客來說，購買故障率較高的產(chǎn)品，將要付出更多的維修費(fèi)用。類似地，可以從圖3得出相似的結(jié)論。

5.2 兩種策略下的期望總費(fèi)用率比較

表2和3為其它參數(shù)取值保持不變，參數(shù)β更換費(fèi)用cr和小修費(fèi)用cmm分別取不同值時，對應(yīng)的最優(yōu)期望總費(fèi)用率的值和最優(yōu)維修期。從表2和3，可以得出如下結(jié)論：

(1)當(dāng)參數(shù)β的值增大時，產(chǎn)品的劣化速度加快，兩種策略下的最優(yōu)期望總費(fèi)用率C(τ*)的值均增大，最優(yōu)維修期τ*均變小；

(2)當(dāng)更換費(fèi)用cr的值增大時，兩種策略下的最優(yōu)期望總費(fèi)用率的值C(τ*)和最優(yōu)維修期的值τ*均增大；

(3)當(dāng)小修費(fèi)用Cmm的值增大時，兩種策略下的最優(yōu)期望總費(fèi)用率的值C(τ*)均增大，最優(yōu)維修期τ*均變小;

(4)FRRW策略下的最優(yōu)期望總費(fèi)用率的值均比PRRW策略下的要低。

表2 當(dāng)參數(shù)β，cr和cmm別取不同值時，F(xiàn)RRW策略下的最優(yōu)值取值情況

表3 當(dāng)參數(shù)β，cr和cmm分別取不同值時，PRRW策略下的最優(yōu)值取值情況

6 結(jié)論

本文針對二手產(chǎn)品的維修問題， 給出二手產(chǎn)品生命周期的定義，并從顧客的角度，提出考慮更新延長兩階段免費(fèi)更換保修和按比例更換保修兩種策略模型。本文結(jié)論可為顧客制定有效的產(chǎn)品維修計劃提供了決策的理論依據(jù)。如何為二手產(chǎn)品設(shè)計合理的二維保修方案，是未來的研究方向。