次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下具有隨機(jī)波動(dòng)率的歐式期權(quán)定價(jià)

吳靜敏,薛 紅,賈亦佳

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院,陜西 西安 710048)

0 引 言

期權(quán)定價(jià)模型最早由BLACK和SCHOLES提出[1], 并推導(dǎo)出Black-Scholes偏微分方程和Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式。但是，經(jīng)典的期權(quán)定價(jià)模型中金融資產(chǎn)的價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)及波動(dòng)率為常數(shù)的假定，無(wú)法解釋實(shí)際金融市場(chǎng)價(jià)格變動(dòng)的長(zhǎng)程相關(guān)性、增量非平穩(wěn)性以及“波動(dòng)率微笑”現(xiàn)象。針對(duì)股票價(jià)格的長(zhǎng)程相關(guān)性, MANDELBROT等于1968年提出非馬爾可夫過(guò)程的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)[2]；ELLIOTT等研究了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下不同的長(zhǎng)記憶參數(shù)H對(duì)期權(quán)定價(jià)模型的影響[3]。隨后，NUALART等相繼在這一特性下，利用分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)對(duì)BLACK-SCHOLES定價(jià)公式進(jìn)行擴(kuò)展[4-6]。雖然分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的期權(quán)定價(jià)模型可以反映金融資產(chǎn)的長(zhǎng)程相關(guān)性，但是忽略了股票價(jià)格收益率不具有平穩(wěn)增量性, 從而產(chǎn)生套利。在此基礎(chǔ)上, BOJDECKI等學(xué)者建立并研究了一類更為一般的、不具有平穩(wěn)增量但保持分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)一些性質(zhì)的自相似高斯過(guò)程, 即次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)[7-9]。當(dāng)前，國(guó)內(nèi)外對(duì)次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下的期權(quán)定價(jià)研究比較少。次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的相關(guān)性質(zhì)及應(yīng)用見(jiàn)文獻(xiàn)[10-13]。 為了解決Black-Scholes定價(jià)模型中常數(shù)波動(dòng)率產(chǎn)生的與實(shí)際金融市場(chǎng)不符的 “波動(dòng)率微笑”現(xiàn)象,文獻(xiàn)[14-16]提出了不同刻畫(huà)資產(chǎn)價(jià)格動(dòng)態(tài)性的隨機(jī)波動(dòng)率模型改進(jìn)Black-Scholes模型的缺陷。文獻(xiàn)[17-18]相繼研究了在幾何布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下不同波動(dòng)率模型在期權(quán)定價(jià)方面的應(yīng)用。雖然上述研究相比于傳統(tǒng)的Black-Scholes定價(jià)模型有所改進(jìn), 但對(duì)于上證50ETF期權(quán)的刻畫(huà)仍不充分。為了同時(shí)解決資產(chǎn)價(jià)格非馬爾可夫性和“波動(dòng)率微笑”等問(wèn)題, 本文將次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)與隨機(jī)波動(dòng)率模型結(jié)合起來(lái)，建立更貼合金融市場(chǎng)的數(shù)學(xué)模型, 并進(jìn)行實(shí)證分析。采用標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格觀測(cè)數(shù)據(jù)建立似然函數(shù), 利用優(yōu)化算法估計(jì)似然函數(shù)中的待定參數(shù)。通過(guò)對(duì)上證50ETF期權(quán)的實(shí)際市場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比檢驗(yàn),說(shuō)明該模型更適用于實(shí)際期權(quán)市場(chǎng)。

1 金融市場(chǎng)數(shù)學(xué)模型

1.1 數(shù)學(xué)模型建立

定義1[19]次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng){ξH(t),t≥0}是零均值為0的高斯過(guò)程,其協(xié)方差為

|t-s|2H), ?s,t≥0

(1)

假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)S(t)及其波動(dòng)率Y(t)滿足以下隨機(jī)微分方程：

(2)

(3)

ⅰ) 當(dāng)α=β=0時(shí),模型(2)、(3)為次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下常數(shù)波動(dòng)率模型:

dS(t)=μS(t)dt+σS(t)dξH(t)

(4)

dS(t)=μS(t)dt+Y(t)S(t)dξ1(t)

(5)

dY(t)=α(m-Y(t))dt+βdξ2(t)

(6)

式中：μ為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的預(yù)期收益率；Y(t)為服從O-U過(guò)程；{ξ1(t),t≥0}和{ξ2(t),t≥0}是在完備概率空間(Ω,F,P)上定義的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng), 且相互獨(dú)立;α表示波動(dòng)率的均值回復(fù)；m表示波動(dòng)率的均值；β表示波動(dòng)率的波動(dòng)幅度。α、m、β均為常數(shù)參數(shù)。

1.2 模型的參數(shù)估計(jì)

S(tk+1)=S(tk)+μS(tk)Δt+

(7)

Y(tk+1)=Y(tk)+α(m-Y(tk))Δt+

(8)

(9)

Xk+1=1+μΔt+Ykζk+1,k=0,1,…,n-1

(10)

記X=(X1,X2,…,Xn)T, 由次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是高斯過(guò)程，可得X～N(μ,Σ)。根據(jù)次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)以及式(9)和式(10)，可計(jì)算X=(X1,X2,…,Xn)T的均值向量μ及協(xié)方差矩陣Σ,即

μ=(μ1,μ2,…,μn)T,Σ=(σij)n×n

(11)

式中：

μ1=μ2=…=μn=1+μΔt

(12)

σij=cov(Xi,Xj)=γζ(i,j)γY(i-1,j-1)，

i,j=1,2…,n

(13)

γζ(i,j)=cov(ζi,ζj)=cov(ξH2(ti)-

ξH2(ti-1),ξH2(tj)-ξH2(tj-1))=

E[(ξH2(ti)-ξH2(ti-1))·

(ξH2(tj)-ξH2(tj-1))]

(14)

建立(X1,X2,…,Xn)的似然函數(shù)

(17)

可以利用極大似然函數(shù)法估計(jì)出模型所涉及的參數(shù)α、m、β、H1、H2。由于似然函數(shù)中包含多個(gè)待估參數(shù), 采用傳統(tǒng)的極大似然函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的方法容易陷入局部極值的情況。利用粒子群算法, 采用隨機(jī)生成的m個(gè)體初始種群對(duì)似然函數(shù)中設(shè)置的待估參數(shù)進(jìn)行迭代, 計(jì)算個(gè)體的適應(yīng)值, 從而搜索到能使目標(biāo)函數(shù)(17)達(dá)到最大限度的位置值。

1.3 歐式期權(quán)蒙特卡洛模擬

設(shè)T=1,t∈[0,1],Δt=0.005,H=0.5、0.8，由次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)為高斯過(guò)程, 可模擬次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)軌道, 見(jiàn)圖1、圖2。

圖 1 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)軌道(H=0.5)Fig.1 Standard Brownian motion track(H=0.5)

圖 2 次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)軌道(H=0.8)Fig.2 Sub-fractional Brownian motion track(H=0.8)

當(dāng)H=0.5時(shí),次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),具有獨(dú)立增量和平穩(wěn)增量,其過(guò)程具有馬氏性(圖1);而當(dāng)H=0.8時(shí),次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)不具有獨(dú)立增量和平穩(wěn)增量,其過(guò)程不具有馬氏性(圖2)。

其次,考慮隨機(jī)波動(dòng)率的蒙特卡洛模擬,給定參數(shù)α=2,m=1,β=0.03,T=1,t∈[0,1],Δt=0.005,H2=0.8,根據(jù)式(9)可模擬隨機(jī)波動(dòng)率軌道, 見(jiàn)圖3。從波動(dòng)率路徑圖(圖3)可以明顯地看到，不同時(shí)間(t)波動(dòng)率的值是不同的。

圖 3 隨機(jī)波動(dòng)率軌道Fig.3 Track stochastic volatility

最后,考慮標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的蒙特卡洛模擬及期權(quán)價(jià)格的模擬。給定μ=0.05,S(0)=2.8,α=2,m=1,β=0.03,t∈[0,1],Δt=0.005,H2=0.8,利用蒙特卡洛模擬隨機(jī)波動(dòng)率軌道及式(7)可得資產(chǎn)價(jià)格的模擬軌道, 見(jiàn)圖4。

(a) H=0.5

(b) H=0.8圖 4 資產(chǎn)價(jià)格軌道Fig.4 Asset price track

對(duì)于期權(quán)價(jià)格的蒙特卡洛模擬,考慮歐式看漲期權(quán)到期日的損益為(S(T)-K)+, 其中T為到期日,K為執(zhí)行價(jià)格, 歐式價(jià)格為

C(K,T)=exp(-rT)·

E[max((S(T)-K),0)]

(18)

給定歐式看漲期權(quán)及模型相關(guān)參數(shù):K=2.8,S(0)=2.7,T=1,r=0.05,α=2,m=1,β=0.03, Δt=0.005,H1=0.6,H2=0.8。模擬n次標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格軌道,計(jì)算出期權(quán)到期日損益的平均值, 并按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn),可得到歐式看漲期權(quán)價(jià)格的模擬值, 見(jiàn)表1。

表 1 歐式看漲期權(quán)蒙特卡洛模擬價(jià)格

由表1可以看出,隨著模擬次數(shù)n不斷加大,模擬價(jià)格將穩(wěn)定于某一值。當(dāng)n>1 900時(shí), 模擬價(jià)格穩(wěn)定在0.167 2。

2 實(shí)證研究

2.1 數(shù)據(jù)來(lái)源與分析

選取上證50ETF價(jià)格數(shù)據(jù)為研究樣本, 采用2018年1月2日到12月26日共244個(gè)交易日(合約編碼為10001120.SH)的價(jià)格序列進(jìn)行實(shí)證研究。上證50ETF價(jià)格描述性統(tǒng)計(jì)量如表2所示，上證50ETF對(duì)數(shù)收益率序列圖及其增量的Q-Q圖，如圖5所示。

表 2 上證50ETF價(jià)格描述性統(tǒng)計(jì)量

(a) 對(duì)數(shù)收益率序列

(b) 收益率增量的Q-Q圖圖 5 對(duì)數(shù)收益率序列及其增量的Q-Q圖Fig.5 Logarithmic return sequence and its incremental Q-Q diagram

從圖5可以看出：樣本數(shù)據(jù)并沒(méi)有分布在一條線上, 說(shuō)明上證50ETF對(duì)數(shù)收益率增量過(guò)程具有不同的分布,也說(shuō)明對(duì)數(shù)收益率不具有平穩(wěn)增量。為了驗(yàn)證對(duì)數(shù)收益率增量的獨(dú)立性, 對(duì)收益率增量做相關(guān)性檢驗(yàn), 結(jié)果h2=1, 即拒絕獨(dú)立性假設(shè)。說(shuō)明需要用不具有獨(dú)立增量和平穩(wěn)增量的過(guò)程刻畫(huà)50ETF價(jià)格,故選用次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)描述。

另外, 選取2018年1月2日到12月26日, 共147個(gè)上證50ETF看漲期權(quán)的標(biāo)的收盤價(jià)數(shù)據(jù)。假定50ETF價(jià)格滿足模型(4), 由文獻(xiàn)[20]可知，歐式看漲期權(quán)的次分?jǐn)?shù)Black-Scholes公式為

C(K,T)=S(t)N(d1)-

Kexp(-rT)N(d2)

(19)

式中：

選取中國(guó)人民銀行1年期存款基準(zhǔn)利率作為參考利率,將其平均值0.02作為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r的取值, 到期日T為1年,K=2.8。由于50ETF滿足模型(4), 利用50ETF樣本數(shù)據(jù)及極大似然函數(shù)法估計(jì)出H=0.7。根據(jù)式(19)及100個(gè)期權(quán)數(shù)據(jù)反解求出隱含波動(dòng)率σ, 結(jié)果如圖6所示。

圖 6 看漲期權(quán)隱含波動(dòng)率Fig.6 Implied volatility of call options

因此，可以用次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下具有隨機(jī)波動(dòng)率模型描述50ETF價(jià)格變化。分別用次分?jǐn)?shù)Black-Scholes模型(SFMB-BS模型)、幾何布朗運(yùn)動(dòng)下隨機(jī)波動(dòng)率模型(GBM-SV模型)以及次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下隨機(jī)波動(dòng)率模型(SFMB-SV模型)進(jìn)行分析,以比較3種模型的優(yōu)劣。

2.2 次分?jǐn)?shù)Black-Scholes模型

同樣，選擇中國(guó)人民銀行1年期存款基準(zhǔn)利率作為參考利率,將其平均值0.02作為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的取值。股票的期望收益率取均值

圖 7 概率密度分布曲線Fig.7 Probability density distribution curve

采用到期日為2018年6月29日及2018年5月22日,共22份不同執(zhí)行價(jià)格(K)的上證50ETF期權(quán)合約，其中看漲期權(quán)11份, 看跌期權(quán)11份。 根據(jù)歐式期權(quán)的蒙特卡洛模擬出標(biāo)的資產(chǎn)看漲期權(quán)和看跌價(jià)格，如表3所示。從圖7及表3可以看到，次分?jǐn)?shù)Black-Scholes模型模擬出的價(jià)格與實(shí)際價(jià)格有較大偏差。

2.3 幾何布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下隨機(jī)波動(dòng)率模型

根據(jù)所建立的似然函數(shù)，計(jì)算出當(dāng)H=0.5時(shí)幾何布朗運(yùn)動(dòng)下隨機(jī)波動(dòng)率模型參數(shù), 見(jiàn)表4。

表 3 3種模型模擬的歐式期權(quán)價(jià)格

表 4 幾何布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下參數(shù)估計(jì)值

利用估計(jì)出的參數(shù),模擬幾何布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的隨機(jī)波動(dòng)率軌道。將得到的不同波動(dòng)率值代入離散化處理的價(jià)格模型中,模擬出標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格路徑, 進(jìn)而得到其收益率的概率密度分布曲線, 見(jiàn)圖8。采用與2.1相同的50ETT期權(quán)數(shù)據(jù), 模擬出50ETF看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)格,見(jiàn)表3。

圖 8 概率密度分布Fig.8 Probability density distribution curve

從圖8及表3可以看出, 在考慮到隨機(jī)波動(dòng)率的情況下，期權(quán)價(jià)格較實(shí)際價(jià)格的偏差雖然有所減小。 但是，由于沒(méi)有考慮布朗運(yùn)動(dòng)的長(zhǎng)程相關(guān)性, 效果仍然不理想。

2.4 次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下隨機(jī)波動(dòng)率模型

根據(jù)目標(biāo)函數(shù)(17), 設(shè)定迭代次數(shù)500, 得到次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下隨機(jī)波動(dòng)率模型參數(shù)的估計(jì)值，如表5所示。

表 5 次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下參數(shù)估計(jì)值

利用估計(jì)出的參數(shù),用隨機(jī)波動(dòng)率模型模擬出不同時(shí)間的波動(dòng)率值,進(jìn)而模擬出50ETF價(jià)格路徑。由次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下具有隨機(jī)波動(dòng)率的模型, 可得50ETF收益率的概率密度曲線, 見(jiàn)圖9。

圖 9 概率密度分布曲線Fig.9 Probability density distribution curve

利用上述相同的數(shù)據(jù)及方法模擬歐式期權(quán)價(jià)格,見(jiàn)表3。

從圖9及表3可以看出,次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下具有隨機(jī)波動(dòng)率的模型模擬的歐式期權(quán)價(jià)格與實(shí)際價(jià)格偏差較小,說(shuō)明此模型有較好的適用性。

2.5 誤差分析

從概率密度曲線可以看到,次分?jǐn)?shù)下具有隨機(jī)波動(dòng)率的模型與傳統(tǒng)的常數(shù)波動(dòng)率模型和幾何布朗運(yùn)動(dòng)下的隨機(jī)波動(dòng)率模型相比, 模擬出的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格收益率的概率密度分布更接近實(shí)際收益率的概率密度分布, 偏差也相對(duì)較小。次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下具有隨機(jī)波動(dòng)率的期權(quán)定價(jià)模型和其他2種模型模擬出50ETF看漲期權(quán)和看跌價(jià)格與真實(shí)價(jià)格的絕對(duì)誤差(EAD)和相對(duì)誤差(RE)較小(見(jiàn)表6、7)， 說(shuō)明其更好地適合金融市場(chǎng)。

表 6 不同執(zhí)行價(jià)格下模擬的看漲期權(quán)定價(jià)誤差

表 7 不同執(zhí)行價(jià)格下模擬的看跌期權(quán)定價(jià)誤差

3 結(jié) 語(yǔ)

針對(duì)傳統(tǒng)的期權(quán)定價(jià)模型中過(guò)于理想的假設(shè)與現(xiàn)實(shí)市場(chǎng)并不相符問(wèn)題,建立了次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下具有隨機(jī)波動(dòng)率的期權(quán)定價(jià)模型。通過(guò)50ETF數(shù)據(jù)及極大似然法估計(jì)模型中的參數(shù)，然后利用蒙特卡洛方法模擬了期權(quán)價(jià)格,并與其它定價(jià)模型進(jìn)行了對(duì)比分析。結(jié)果表明，次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下具有隨機(jī)波動(dòng)率的期權(quán)定價(jià)模型能夠獲得更為精確的結(jié)果。不過(guò),對(duì)于我國(guó)的實(shí)際金融市場(chǎng)不同情況,該模型還有待進(jìn)一步改進(jìn)和拓展。