彈性帶形域中多個半圓柱形凹陷對SH 波的散射*

齊 輝，楊潤杰，郭 晶，屈恩相

（哈爾濱工程大學(xué)航天與建筑工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001）

板類材料作為承重構(gòu)件被廣泛應(yīng)用于土木和水利等工程領(lǐng)域。在實際使用過程中，板材表面常會因為外界環(huán)境腐蝕或人為因素而受到破壞并產(chǎn)生凹陷。當(dāng)波在這種結(jié)構(gòu)內(nèi)傳播時，在凹陷處發(fā)生散射，并且引起動應(yīng)力集中和位移幅值增大，會對材料造成破壞，進而威脅人們的生命安全，因此對該問題的研究尤為重要。

在地震波動領(lǐng)域，凹陷作為一種常見的地形，對其已開展了大量的研究：Trifunac[1]利用波函數(shù)展開法分析了半圓柱形峽谷對平面SH（shear horizontal）波的散射，并給出了地表位移幅值的變化情況。Wong 等[2]研究了半橢圓柱形凹陷對平面SH 波的散射，并分析了入射角度和入射波波長對地表位移幅值的影響。Liu 等[3]將復(fù)變函數(shù)法引入彈性動力學(xué)反平面問題中。隨后，借助這種方法，凹陷在均勻介質(zhì)半空間中的反平面穩(wěn)態(tài)運動得到了系統(tǒng)的研究[4-7]。Chang 等[8]采用區(qū)域匹配技術(shù)研究了平面SH 波在圓形扇形峽谷中的散射問題，并推導(dǎo)出嚴格的級數(shù)解。Shyu 等[9]將有限元法與級數(shù)展開法相結(jié)合，求解了彈性半平面內(nèi)的兩個峽谷對入射平面SH 波的散射問題。Ba 等[10]結(jié)合區(qū)域匹配技術(shù)，提出了一種精度高、計算量小的周期性間接邊界元法，并研究了地震波作用下層狀半空間中周期性沖積河谷的反平面響應(yīng)。

對于SH 波在帶形域中散射問題的研究：Achenbach[11]給出了SH 導(dǎo)波的一般形式。Lu[12]以連續(xù)加筋薄板和鋼筋混凝土板的超聲檢測為背景，分析了周期分布的圓柱形夾雜對SH 型導(dǎo)波色散特性的影響。Hayir 等[13]將鏡像法拓展為累次鏡像法，解決了散射波在帶形域上、下邊界多次反射帶來的求解困難，并得到了帶形域中孔洞對SH 波散射的解析解。近年來，齊輝等[14]、Qi 等[15-17]運用和發(fā)揚了累次鏡像法，研究了壓電材料中孔洞和夾雜對SH 波的散射。注意到以上在帶形介質(zhì)內(nèi)的研究，都只是對介質(zhì)內(nèi)部缺陷的散射問題進行了分析，如孔洞和夾雜，對于表面凹陷的研究還沒有看到相關(guān)報道，但是這種情況常常出現(xiàn)在工程實踐中，如混凝土板表面的排水凹槽、管道線路等。

本文中，將表面存在半圓柱形凹陷的彈性板的反平面問題按照帶形域中凹陷對SH 波的散射問題來近似研究。運用波函數(shù)展開法、導(dǎo)波展開法、累次鏡像法和多級坐標(biāo)平移技術(shù)對該問題進行理論分析；再通過編程進行數(shù)值計算；最后通過算例，分析凹陷邊沿的動應(yīng)力集中和帶形域邊界位移幅值的變化。

1 理論分析

1.1 問題的描述

圖1 彈性帶形域中的半圓柱形凹陷Fig. 1 Semi-cylindrical depressions in an elastic strip

1.2 控制方程

1.3 入射波

在帶形域上邊界Bu的任意一點建立全局坐標(biāo)系。根據(jù)文獻[11]，滿足帶形域上、下邊界應(yīng)力自由條件(6)的SH 導(dǎo)波表達式為式(7)。

運用疊加法，將各階導(dǎo)波進行疊加，就可以得到帶形介質(zhì)中滿足上、下邊界應(yīng)力自由的全部位移波：

本文中討論的為穩(wěn)態(tài)SH 波，略去時間諧和

圖2 SH 型導(dǎo)波的振型Fig. 2 Vibration modes of SH guided waves

因子 e?iωt，當(dāng)入射的導(dǎo)波為m階時，位移和應(yīng)力的表達式如下：

式中：上標(biāo)(i)代表入射波。

1.4 散射波

圖3 延拓后的第j 個凹陷Fig. 3 The j-th depression after extension

在入射SH 波的作用下，凹陷會產(chǎn)生散射波。本文運用累次鏡像法，以第j個半圓柱形凹陷為例，對其產(chǎn)生的散射波進行推導(dǎo)說明，其余g-1 個凹陷產(chǎn)生的散射波可以通過同樣的方法進行求解。

1.5 定解條件

圖4 第一次鏡像散射波Fig. 4 The first image scattered wave

圖5 第二次鏡像散射波Fig. 5 The second image scattered wave

1.6 動應(yīng)力集中系數(shù)和位移幅值

在穩(wěn)態(tài)SH 波作用下，動應(yīng)力集中系數(shù)（dynamic stress concentration factor，DSCF）表征了動應(yīng)力集中的程度，是一個重要的指標(biāo)。第j個凹陷邊沿的動應(yīng)力集中系數(shù)：

2 方法驗證

首先，對帶形域上表面有一個凹陷的模型進行研究，令h*=h/r1=106（退化成半空間），入射0 階SH 導(dǎo)波。圖6 給出了帶形域上邊界位移幅值w隨 η =kr1/π 的變化規(guī)律，與文獻[1]中給出的半空間中半圓柱形峽谷對平面SH 波散射時表面位移幅值相比，本文中得到的結(jié)果為文獻[1]中（見圖7）的一半。由于平面SH 波在半空間中傳播時，遇到水平面發(fā)生反射，會造成位移幅值的翻倍，因此可以驗證本文方法的正確性。

圖6 帶形域上邊界的位移幅值Fig. 6 Displacement amplitude of upper boundary

3 計算結(jié)果與討論

3.1 精度分析

圖7 文獻[1]中地表位移幅值Fig. 7 Amplitude of surface displacement in reference [1]

圖8 彈性帶形域上邊界存在兩半圓柱形凹陷Fig. 8 Two semi-cylindrical depressions on the upper boundary of the elastic strip

根據(jù)前文的理論分析可知：造成 τyz不為零的主要原因是對累次鏡像次數(shù)P的截斷。圖9 給出了帶形域的上邊界存在一個凹陷，0 階導(dǎo)波入射，h*=10，k*=2，P為10、50、100、500 時，無量綱應(yīng)力 τ?yz在帶形域下邊界的分布情況?？梢钥闯?，當(dāng)P一定時， τ?yz的值在下邊界（?5r1～5r1）為一條斜率接近0 的直線。這說明，當(dāng)鏡像次數(shù)一定時，下邊界每一點的精度幾乎相同。圖10 給出相同條件下，下邊界x1=0，y1=?h點的隨P的變化規(guī)律。從圖10 中可以看出，隨著P增加，的值逐漸減小，曲線的斜率也越來越小。這說明：P越大，精度越高，但過度增大P會降低提升精度的效率。同時，P越大，求解時間也會增長。因此，應(yīng)該適當(dāng)選取累次鏡像次數(shù)P。

圖9 下邊界 τ ?yz 的變化Fig. 9 Variation of τ?yz in the lower boundary

圖10 下邊界一點處的 τ?yz 隨P 的變化規(guī)律Fig. 10 Variation of τ?yz at a certain point in the lower boundary with P

圖11 給出帶形域的上邊界存在一個凹陷，0 階導(dǎo)波入射，h*=10，k*=2，凹陷邊沿θ=?45°，?90°，?135°處的DSCF 隨鏡像次數(shù)P的變化曲線。圖12 給出相同條件下，下邊界x1=1，0，?1 點的無量綱位移幅值w*隨P的變化規(guī)律?？梢钥闯?，兩組曲線都是振蕩衰減的。當(dāng)P=800 時，w*已經(jīng)收斂為定值，DSCF 曲線的振幅也明顯減小。同時，根據(jù)圖10 可知：當(dāng)P=800 時，精度小于10?2。因此，下文求解過程中取P=800。

圖11 凹陷邊沿動應(yīng)力集中系數(shù)隨鏡像次數(shù)的變化規(guī)律Fig. 11 Variation of dynamic stress concentration factor around the depression with P

圖12 下邊界w*隨鏡像次數(shù)P 的變化規(guī)律Fig. 12 Variation of w* in the lower boundary with P

3.2 動應(yīng)力集中

3.2.1 帶形域厚度的影響

圖13 給出了帶形域的上邊界存在一個凹陷，0 階SH 導(dǎo)波作用下，無量綱波數(shù)k*=0.1，1.0，2.0 和4.0 時，在凹陷邊沿θ=?45°，?90°和?135°處的DSCF 隨帶形域的無量綱厚度h*的變化規(guī)律。當(dāng)k*=0.1 時，DSCF 隨h*的增大先迅速減小，后保持不變。當(dāng)k*=1.0、2.0 和4.0 時，DSCF 隨h*的增大呈振蕩性和收斂性，這種趨勢在θ=90°處最明顯。并且，DSCF 曲線的波峰按厚度方向重復(fù)出現(xiàn)的最小距離與入射波的頻率有關(guān)，頻率越大，震蕩周期越小。

圖14 給出了帶形域的上邊界存在一個凹陷，0 階SH 導(dǎo)波入射，k*為0.1、1.0、2.0、4.0，h*為1.5、3.0、5.0、10.0 時，凹陷邊沿的動應(yīng)力分布。當(dāng)k*=0.1 時，凹陷邊沿DSCF 曲線形狀均為規(guī)則的圓形或橢圓形，在h*=1.5 時，下邊界對分布圖有明顯吸引作用，而在h*＞1.5 時，帶形域厚度對凹陷邊沿的DSCF 分布影響較小。相比之下，當(dāng)k*=1.0，2.0 和4.0 時，隨著h*的改變，DCSF 曲線形狀變化十分明顯。所以，當(dāng)入射中高頻SH 導(dǎo)波時，帶形域的厚度對凹陷邊沿的DSCF 分布影響更大。

3.2.2 入射波頻率的影響

圖15 給出了帶形域的上邊界存在一個凹陷，0 階SH 導(dǎo)波入射，h*=5.0 和20.0，k*為0.1、1.0、2.0 和4.0 時，凹陷邊沿的動應(yīng)力分布情況。從兩個圖中可以看，當(dāng)k*=0.1 時，入射波的波長遠大于凹陷的直徑，凹陷邊沿的動應(yīng)力分布為圓形，與靜力作用下的相同，此時為低頻準(zhǔn)靜態(tài)。當(dāng)k*=1.0 時，DSCF 隨著角度θ 的增大先增大再減小，呈現(xiàn)出比較規(guī)則的橢圓形。當(dāng)k*=2.0 時，DSCF 分布圖變成蝴蝶形。當(dāng)k*=4.0 時，入射波的波長小于凹陷的直徑，此時DCSF 曲線隨θ 的變化呈現(xiàn)出十分不規(guī)則的圖形。因此，在帶形域中入射波的頻率越高，凹陷邊沿DSCF 曲線變化越強烈。

圖13 動應(yīng)力集中系數(shù)隨帶形域無量綱厚度的變化 (g=1, m=0)Fig. 13 Variation of dynamic stress concentration factor with dimensionless thickness (g=1, m=0)

圖14 不同k*時動應(yīng)力集中系數(shù)隨角度θ 變化 (g=1, m=0)Fig. 14 Variation of dynamic stress concentration factor with θ at different k* (g=1, m=0)

圖16 給出了帶形域的上邊界存在一個凹陷，0 階SH 導(dǎo)波入射，h*取不同值時，凹陷邊沿的最大動應(yīng)力集中系數(shù)（maximum dynamic stress concentration factor，MAX DSCF）隨k*的變化規(guī)律。當(dāng)h*較小時，曲線在k*＞0.5 后會發(fā)生波動并出現(xiàn)多個較高的波峰。當(dāng)h*=5.0 和7.0 時，MAX DSCF 的最大值都出現(xiàn)在k*=3.13 處，值為4.18 和4.32；當(dāng)h*=10.0 時，在k*=3.45 處，MAX DSCF 取最大值3.17。當(dāng)h*＞10.0 時，曲線雖然也會發(fā)生波動，但只出現(xiàn)多個較低的波峰，并且隨著h*的增大，曲線震蕩幅值越來越小，直到h*=106時，曲線變得平滑，最大值發(fā)生在低頻k*=0.39 處，值為2.10。因此，當(dāng)帶形域的厚度較小時，MAX DSCF 隨k*的變化較劇烈，并且最大值會出現(xiàn)在k*的高頻區(qū)。增大h*可以降低MAX DSCF 對k*的敏感程度。

圖15 不同h*時動應(yīng)力集中系數(shù)隨角度θ 的變化 (g=1, m=0)Fig. 15 Variation of dynamic stress concentration facor with θ at different h* (g=1, m=0)

圖16 凹陷邊沿最大動應(yīng)力集中隨k*的變化Fig. 16 Variation of maximum dynamic stress concentration factor with k* around the depression

3.2.3 兩凹陷之間距離的影響

圖17 給出了0 階SH 導(dǎo)波入射，帶形域的無量綱厚度h*=10.0，106和無量綱波數(shù)k*=0.1，1.0，2.0 和4.0 時，凹陷邊沿MAX DSCF 隨兩個凹陷之間無量綱距離a*的變化規(guī)律。圖17（a）中的黑色線代表帶形域的上邊界存在兩個凹陷時，1 號凹陷邊沿的MAX DSCF 值的變化情況；紅色線代表帶形域的上邊界只有1 號凹陷時凹陷邊沿的MAX DSCF?？梢钥闯?，黑色線的大部分都在紅色線的上方，因此大多情況下2 號凹陷的存在對1 號凹陷邊沿動應(yīng)力集中有放大作用。

當(dāng)h*=10，a*=3～50 時，如圖17（a）所示，MAX DSCF 曲線隨a*的增大只呈現(xiàn)振蕩性，無收斂性，這是因為2 號凹陷產(chǎn)生的散射波會在上、下邊界進行多次反射，即使a*較大，散射波的能量也會傳到1 號凹陷處。當(dāng)h*=10.0，a*≥106時（可認為兩凹陷相距無窮遠），與圖17（a）相比，曲線已經(jīng)有收斂趨勢但不明顯，并且振幅仍然大于10?2，這是因為本文中沒有考慮介質(zhì)黏性對于彈性波衰減的影響。這說明：在理想彈性帶形介質(zhì)內(nèi)，無論兩個凹陷之間的距離有多大，都應(yīng)考慮它們之間的影響。盡管實際材料大多為黏彈性體，但也應(yīng)該對工程實踐中板內(nèi)兩個或多個凹陷之間的相互作用給予足夠的重視。

當(dāng)h*=106時，如圖17（c）～（d）所示，帶形域退化成半空間，此時MAX DSCF 曲線隨a*的增大呈現(xiàn)出振蕩性和收斂性。當(dāng)a*≥106時，曲線上下振蕩范圍小于10?2，這時2 號凹陷對1 號凹陷邊沿動應(yīng)力集中系數(shù)的影響可以忽略不計，與文獻[5]中得到結(jié)果相同，即兩峽谷相距較遠時可以看作為孤立地形。

圖17 1 號凹陷邊沿動應(yīng)力集中系數(shù)的最大值隨兩凹陷之間量綱距離a*的變化 (m=0, r*=1)Fig. 17 Variation of maximum dynamic stress concentration factor around the first depression with a* (m=0, r*=1)

3.3 位移幅值

圖18 給出了帶形域的上邊界有一個凹陷，0 階導(dǎo)波作用下，h*=10.0 時，凹陷附近的上、下表面位移幅值w*隨入射波無量綱波數(shù)k*變化的等高線圖。圖19 給出了k*=2.0，凹陷附近的上、下表面位移幅值w*隨帶形域無量綱厚度h*變化的等高線圖。

對于上邊界：從圖18（a）中可以看出，無論k*為多少，上表面位移幅值的最大值均發(fā)生在x/r1=?1點，該點w*值隨著k*的增大而震蕩增大，并在k*=2.2 處達到得最大值2.44。隨著入射頻率k*的增大，w?震蕩逐漸加強，出現(xiàn)更多的波峰波谷交替，這種現(xiàn)象在x/r1＜?1 時較明顯。相比于凹陷右側(cè)（x/r1＞1 ），凹陷左側(cè)（x/r1＜?1 ）的位移震蕩頻率和幅值更大。由圖19（a）可得，上表面位移幅值的最大值出現(xiàn)在點x/r1=?1 附 近的凹陷迎波面，圖中w*在h*=12.55，x/r1=?1 處取最大值3.31。

圖19 表面位移幅值隨h*的變化 (g=1, m=0, k* =2.0)Fig. 19 Variation of surface displacement amplitude with h* (g=1, m=0, k* =2.0)

對于下邊界：從圖18（b）和圖19（b）可以看出，w*的震蕩幅值和頻率在經(jīng)過凹陷后都有所減小，這種現(xiàn)象隨著k*的增大和h*的減小越來越明顯。

4 結(jié) 論

利用復(fù)變函數(shù)法、波函數(shù)展開法、累次鏡像法和多極坐標(biāo)平移技術(shù)對帶形域中多個半圓柱形凹陷在入射SH 導(dǎo)波作用下的散射問題進行了研究，給出了滿足上、下水平邊界應(yīng)力自由的SH 型導(dǎo)波及帶形介質(zhì)內(nèi)散射波的表達式。通過凹陷的邊界條件建立了方程組，求解出了未知系數(shù)，得到了問題的解析解。并通過數(shù)值算例對帶形域的邊界存在一個凹陷和兩個凹陷的情況進行了分析。研究表明：0 階SH 導(dǎo)波作用下，凹陷的邊沿動應(yīng)力集中會隨著帶形域厚度的增大而震蕩減?。辉谛『穸鹊膸斡蛑腥肷渲懈哳lSH 波時容易引起更高的動應(yīng)力集中；上邊界位移幅值的最大值會出現(xiàn)在凹陷的迎波面附近。當(dāng)帶形域的上邊有兩個凹陷時，第二個凹陷大多數(shù)情況下會引起第一個凹陷邊沿動應(yīng)力集中的增加，即使兩凹陷距離較遠，也應(yīng)對兩凹陷的之間影響給予足夠的重視。本文的研究可以指導(dǎo)工程實踐，如混凝土板表面排水凹陷、線路和管道的設(shè)計；也可以為邊界元法和有限元法等數(shù)值方法提供理論支撐和參考。