基于MATLAB軟件的運輸路徑優(yōu)化研究

夏 強，周健勇 （上海理工大學 管理學院，上海200093）

0 引言

隨著當今經(jīng)濟科技的快速發(fā)展，市場各行業(yè)競爭愈加激烈，物流也發(fā)展成為最具競爭性的行業(yè)之一。物流系統(tǒng)包含了采購、運輸、存儲、搬運、流通加工、信息處理等多個要素，但無論是其中哪一個功能單元，它的優(yōu)化都是追求節(jié)約、高效的最優(yōu)方案。在解決這個問題的過程中，通常會利用數(shù)學知識建立數(shù)學模型，力求找到最優(yōu)解，從而獲得最好的進行資源配置的有效方案。

目前物流工程最重要且急需解決的問題就是如何使物流活動適應現(xiàn)代化生產生活的需求，實現(xiàn)系統(tǒng)化、效率化，以及如何制定、選擇什么樣的物流方案才能獲得最佳的經(jīng)濟效益[1]。眾所周知，運輸作為物流活動的核心，運輸路徑的選擇是關系物流成本的首要因素，一個合理的運輸路徑對企業(yè)來說是必須掌握的。但運輸路徑往往涉及多個因素參與其中，比如單位運費、路徑長短等都有不同程度的影響。因此運輸路徑的優(yōu)化與選擇是廠家重點解決的難題。如果單純地依靠人工計算來尋找最優(yōu)路徑比較困難，運算過程復雜繁瑣，不易簡化。

1 商品運輸路徑問題研究

1.1 商品運輸路徑研究的基本觀點。運輸路徑問題是由Dantzig和Ramseryu在1959年首次提出，涉及到物流、系統(tǒng)、管理等多個學科的理論知識，自提出以來，國內外許多研究者對這項問題進行了比較細致的探討與研究，盡管各有不同的觀點，但總體上的研究結果都表示運輸路徑對企業(yè)影響最大的無非是成本的消耗以及時間的長短從而影響到顧客滿意度問題。商家在選擇運輸方案時，通常會考慮本企業(yè)運輸成本、運輸時間、運輸距離等方面進行多角度的衡量，而成本是首要因素。對于本文中列舉的水果罐頭并非冷鏈運輸，并不存在要考慮到運輸時間導致的影響顧客滿意度問題，考慮的首要因素同樣是成本，以成本最小為每次運輸?shù)哪繕薣2]。

1.2 商品運輸路徑優(yōu)化的意義。為了提高物流運輸?shù)男?，?jié)約運輸成本，本文以某水果罐頭加工廠為例，對運輸路徑優(yōu)化后結果顯示可大大降低運輸中的成本，提高企業(yè)的收益。

（1）節(jié)約運輸能力，節(jié)約能源支出；（2）能夠降低企業(yè)運輸?shù)某杀?，減少不必要的支出;（3）減少因路徑不合理而導致的資源浪費以及污染物的排放。

2 軟件及函數(shù)簡介

2.1 MATLAB概述。MATLAB是矩陣實驗室（Matrix Laboratory）的簡稱，是一種用于算法開發(fā)，數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析及數(shù)值計算的高級技術計算語言和交互環(huán)境[3]。MATLAB應用范圍非常廣泛，可以用來處理信號和圖像、測試測量、開發(fā)程序、數(shù)學建模與分析，同時包含Simulink仿真程序，用來在各個學科的實驗中進行仿真研究。

2.2 MATLAB的特點。MATLAB通過運算矩陣的方式計算數(shù)據(jù)，它把數(shù)值計算和可視化環(huán)境結合起來，具有簡捷、易操作的特點[4]，應用領域非常廣泛，同樣在運籌學線性規(guī)劃中發(fā)揮重要的作用。

在MATLAB中繪圖十分方便，數(shù)據(jù)的可視化非常簡單，并且繪制的圖形層次分明，尤其在繪制3D圖形中，優(yōu)勢極為明顯，其強大的繪圖功能也是在處理數(shù)學模型問題中不可缺少的工具。

MATLAB軟件中具有功能豐富的工具箱，由各專業(yè)領域的專家編寫應用于本領域的工具，使用戶無需自己編寫便可直接使用，本文中使用的linprog函數(shù)便是出自其中。

2.3 線性規(guī)劃簡介。線性規(guī)劃是運籌學中的一個重要分支，它是處理線性目標函數(shù)和線性約束的比較成熟的方法。建立線性規(guī)劃模型在影響因素較多環(huán)境下可將問題明確化，使研究問題更加直觀，在經(jīng)濟、軍事、商業(yè)、運輸以及教育系統(tǒng)中都有廣泛的應用。依靠數(shù)學軟件的強大運算能力，能簡化模型的求解，運用相應的方法便能求解到最優(yōu)的運輸路徑，運算簡單、精確[5]。線性規(guī)劃的標準形式要求目標函數(shù)最小化、約束條件取等式，變量非負不符合條件的線性模型首先要轉化為標準形，再進行求解。線性規(guī)劃的求解方法有一般圖解法和單純法（Simple Method），單純法第一次由Dantzig于1947年提出，后經(jīng)學者的不斷實驗、改進漸趨完善。單純法是一種迭代算法，它從所有基本可行解的一個較小部分的迭代最終產生最優(yōu)解。MATLAB軟件中工具箱所用到的是投影法，它實際上是在單純法基礎上的一個變形，相比于前兩種方法，MATLAB的linprog函數(shù)使用的投影法，使得運算過程大大簡化，避免用手算時的繁瑣，提高規(guī)劃的效率和精準度，能迅速地解出物流運輸?shù)淖顑?yōu)方案。線性規(guī)劃問題有求最大值和求最小值兩種，在MATLAB中求解以最小值為標準形式，不符合標準的線性模型必須轉化為標準形之后方能求解。

在實際的生產生活中，若能根據(jù)環(huán)境的條件要求建立準確的數(shù)學模型，一般要通過采用線性規(guī)劃的手段來解決這個問題，而MATLAB軟件對求解模型方面具有不可替代的作用，利用MATLAB軟件中強大的分析運算能力可以大幅度提高工作效率，并且得到精確的計算結果。

3 MATLAB函數(shù)linprog在求解物流運輸問題中的原理

對于一個生產企業(yè)來說，經(jīng)營活動大致分為三個環(huán)節(jié)，購進原材料、制造生產以及出售給分銷商，運輸路徑問題存在于購進原材料與運送到分銷商兩個階段，一家企業(yè)可能會有不同的生產制造廠地，需要從不同的原材料供應地進貨，加工以后再運往不同的收貨地，面臨不同的原材料供應點和市場上的收貨點，同時來往不同地點耗費的成本各不相同，在這么一個復雜的系統(tǒng)中，企業(yè)便想找到一個最優(yōu)方案從而使得運輸成本最少。

求解運輸?shù)淖顑?yōu)方案實際上是求函數(shù)中的最小值問題，linprog函數(shù)是MATLAB軟件中優(yōu)化工具箱中自帶的函數(shù)，以目標函數(shù)最小化的標準構建，是求解線性規(guī)劃問題最簡單快捷的工具。用linprog函數(shù)求解線性規(guī)劃問題的具體語法如下：

X=linprog（ F,A ,b）：求解問題min FX，X的約束條件為Ax≤B。

X=linprog（ F,A,b,Aeq,Be q）：求解上述問題，增加約束條件Aeq=Beq。若此約束條件不存在，那么將A=［］、b=［］。

X=linprog（ F,A,b,Aeq,Beq,lb,ub）：定義變量X的下界lb和上界ub，使得X處在此范圍中。

X=linprog（ F,A,b,Aeq,Beq,lb,ub,x0）：初值定義為x0。若是大型算法則忽略初值。

［X, fval］=linprog（ F,A,b,Aeq,Beq,LB）：返回目標函數(shù)最小值fval和當目標函數(shù)取最小值時X的取值。

4 MATLAB函數(shù)linprog在求解物流運輸問題中的實際應用

某水果罐頭制造企業(yè)有A、B兩個生產廠地，需要從I、II兩個水果園進水果，還要向甲、乙、丙三個大型市場供應罐頭，I水果園每次最多可提供水果量為3噸，II水果園每次最多可提供的水果為4噸；甲、乙、丙三個市場的罐頭需求量分別為3噸、5噸和4噸，假設兩家果園水果價格一樣，每單位的水果可制造2單位的罐頭，那么如何設計A、B兩個廠地的運輸途徑才能使得運輸成本最?。?/p>

根據(jù)表1、表2和圖1可計算在初始方案下，運輸費用f=80×1.5+50×1+60×2+70×1.5+50×2.5+60×0.5+30×2+40×3+30×2+30×2=850元。

表1 單位運費表

優(yōu)化方案：針對上述結果，首先構建數(shù)學模型，建立線性方程組。設A廠地從I、II水果園分別進水果X1,X2噸的水果，B廠地分別從I、II水果園進X3,X4噸的水果；A廠地分別對甲、乙、丙供X5,X6,X7單位的罐頭，B廠地分別對甲、乙、丙供X8,X9,X10單位的罐頭（如表3所示）。

表2 原先運輸方案

則優(yōu)化后的模型中，目標函數(shù)fx=80X1+60X2+50X3+70X4+50X5+30X6+30X7+60X8+40X9+30X10。

Subject to：

圖1 網(wǎng)絡結構圖

表3 假設的運輸量X

等式（1）表示保證甲市場的供貨量為3噸，等式（2）表示乙市場的供貨量為5噸，等式（3）表示丙市場的供貨量為4噸；等式（4）表示A、B兩個加工廠地進的水果綜合為6噸，等式（5）表示A廠地產銷相等，等式（6）表示B廠地產銷相等；不等式（7）表示I水果園提供的水果最多為3噸，不等式（8）表示II水果園提供的水果最多為4噸；不等式（9）表示A、B兩個加工廠地從I水果園和II水果園進的水果，以及向甲、乙、丙三個市場的輸送的罐頭都不可能小于零。

上述10個條件變量在MATLAB中的求解過程為：

求解結果為：

由此得出優(yōu)化后的模型如下：X1=0，X2=4，X3=2，X4=0，X5=3，X6=5，X7=0，X8=0，X9=0，X10=4。

如表4所示，即在優(yōu)化后模型下，A廠地從從I水果園進水果0噸，從II水果園進水果4噸，供貨給甲市場3噸，供貨給乙市場5噸，供貨給丙市場0噸；B廠地從I水果園進貨2噸，從B水果園進貨0噸，供貨給甲市場0噸，供貨給乙市場0噸，供貨給丙市場4噸。此時運輸費用最低為760元，相比于優(yōu)化之前，節(jié)省運輸成本。

表4 優(yōu)化后的變量

5 結論

運輸成本通常是企業(yè)考慮的重要問題，優(yōu)化運輸路徑是企業(yè)不可缺少的工作。本文通過對罐頭廠的問題分析研究，以運輸成本最優(yōu)為目標函數(shù)建立線性規(guī)劃模型，找出影響運輸路徑優(yōu)化的約束條件，運用MATLAB中l(wèi)inprog函數(shù)對模型進行求解，通過計算新的模型，最終結果顯示新的路徑比優(yōu)化之前降低了運輸費用，大大降低了企業(yè)的成本，從而為公司贏得更高的效益。從優(yōu)化后的模型及結果可以知道，MATLAB軟件對于解決復雜的物流運輸系統(tǒng)的問題方面有很理想的效果。

本文只通過一個案例研究了MATLAB軟件在運輸路徑優(yōu)化的應用，MATLAB不僅在物流領域有著廣泛的應用，在其他領域也有很多應用實例，除此之外很多數(shù)學工具在解決復雜實際問題中都有非常大的用途，隨著社會經(jīng)濟以及科技的發(fā)展，追求系統(tǒng)化、標準化越來越成為企業(yè)的發(fā)展趨勢，相信未來數(shù)學軟件及方法將會在解決系統(tǒng)優(yōu)化等的實際問題中發(fā)揮更大的作用。