淺析Little's Law及其在準(zhǔn)時化生產(chǎn)中的應(yīng)用

林 兵，林宇辰，孫 影

（1.江蘇師范大學(xué) 商學(xué)院，江蘇 徐州221116；2.蘇州大學(xué) 文正學(xué)院，江蘇 蘇州215104；3.徐州工程機械集團，江蘇 徐州221000）

0 引言

通過參觀徐州工程機械集團（簡稱徐工）下屬某制造廠，并與生產(chǎn)車間管理人員交談中得知徐工生產(chǎn)的起重機是由成千上萬的零部件組成，管理起來相當(dāng)困難，他們希望通過加強物流管理來進一步提升車間物流效率。在與企業(yè)相關(guān)人員座談時，認(rèn)識到了庫存管理對制造企業(yè)的重要性，徐工也在使用存貨周轉(zhuǎn)率（Inventory Turnover）這個指標(biāo)對工廠里的庫存進行管理。存貨周轉(zhuǎn)率作為衡量資產(chǎn)管理能力的重要財務(wù)指標(biāo)早已被眾人所熟知，但不被大家熟悉的一面是，它實質(zhì)就是Little's Law（LL）在財務(wù)中的體現(xiàn)。

LL中的第一個L取自麻省理工學(xué)院教授John D.C.Little，第二個L是因為他于1961年在Operations Research上發(fā)表了關(guān)于排隊公式L=λW的嚴(yán)格數(shù)學(xué)證明，使之成為排隊論的一條基本數(shù)學(xué)定理。在過去的30年里，LL在運作管理領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。更進一步，Hopp and Spearman（2000）把LL作為運作管理的一條基本原理。LL之所以受到學(xué)者和業(yè)界廣泛重視與應(yīng)用，首先是因為它作為分析工具即簡單又十分強大，其次在理論上，它聯(lián)結(jié)了庫存理論和排隊論，而庫存理論與排隊論可以說是運作管理這門學(xué)科的基礎(chǔ)。

1913年，Harris將經(jīng)濟訂貨批量模型（EOQ）應(yīng)用于物料庫存管理，可看作是庫存管理這門學(xué)科的起源。到了20世紀(jì)50年代，Arrow et al（1951）將動態(tài)規(guī)劃應(yīng)用于軍事后勤中的庫存管理，極大地推動了庫存理論研究。與此同時，以“零庫存”為極限目標(biāo)的準(zhǔn)時化（Just-In-Time，JIT）生產(chǎn)模式在日本豐田汽車公司誕生。20世紀(jì)80年代末，全球經(jīng)濟處于低迷期，一些跨國公司開始專注于核心業(yè)務(wù)的投資以提高投資回報率，而把非核心業(yè)務(wù)外包出去，從而大幅度提升了業(yè)績，其他企業(yè)則紛紛效仿，逐漸形成了供應(yīng)鏈思想，而供應(yīng)鏈管理則把庫存管理從以往的單點庫存管理拓展為網(wǎng)絡(luò)化庫存管理。而且在運作管理的數(shù)學(xué)模型中，庫存控制可謂是最典型的美式運作管理方法（Hopp and Spearman，2000），另外，實踐中也有類似的觀點，即“生產(chǎn)管理就是庫存管理”（小林俊一，2012）?？梢?，無論美式運作管理，還是日式JIT思想，庫存都是核心。

生產(chǎn)運作就是流程，是從原材料變成產(chǎn)品和服務(wù)的流程（陳榮秋和馬士華，2017）。從運作管理來看，任何組織都是由業(yè)務(wù)流程組成，而流程的運營績效可通過流程時間（Cycle Time/Flow Time，CT）、通過/產(chǎn)出率（Throughput,TH）和在制品庫存（Work-In-Process,WIP）來度量（Anupindi et al，2011）。任何運營系統(tǒng)的基本活動就是流程中某種實體在流動，這些實體可以是制造系統(tǒng)中的零部件，物流系統(tǒng)中的貨物，學(xué)校的學(xué)生，醫(yī)院的病人，財務(wù)系統(tǒng)中的貨幣，計算機與通信系統(tǒng)中的訪問要求，等等。所以，對制造系統(tǒng)、服務(wù)系統(tǒng)、財務(wù)系統(tǒng)、物流與供應(yīng)鏈系統(tǒng)的流程可用排隊模型來描述，并用排隊優(yōu)化理論對流程管理進行優(yōu)化。而制造系統(tǒng)運作管理則更多地結(jié)合了庫存與排隊理論。

具體到LL，它是如何聯(lián)結(jié)流程/生產(chǎn)運作的三個績效度量指標(biāo)？如何使用LL分析實際問題和提升運營績效？以下將緊緊圍繞這兩個問題展開討論。本文將依次介紹LL在排隊論和運作管理領(lǐng)域的不同表達形式，并以LL在運作管理中的應(yīng)用為主要研究內(nèi)容，利用LL分析出提高運營績效的路徑，并以準(zhǔn)時化生產(chǎn)為例來闡明該路徑的有效性和可操作性。

1 Little's Law和Variability

排隊論中LL表述為：在穩(wěn)定狀態(tài)條件下，排隊系統(tǒng)中某種物品平均數(shù)量等于該物品平均到達速率乘以該物品在系統(tǒng)中的平均逗留時間。記為：

L：排隊系統(tǒng)中物品的平均數(shù)量；

λ：物品到達排隊系統(tǒng)的平均速率；

W：物品在系統(tǒng)內(nèi)的平均逗留時間。

則LL的數(shù)學(xué)表達形式為：

如果用排隊模型M/M/1來說明，有：

很明顯，式（1）成立。對式（1）還可如此理解：一個參照物品到達排隊系統(tǒng)，經(jīng)過W時間后離開系統(tǒng)，在此期間，它將看到λW個物品出現(xiàn)在系統(tǒng)內(nèi)，且無論任何時點到達該系統(tǒng)，該參照物品都將看到λW個物品，所以，排隊系統(tǒng)中物品的平均數(shù)量是λW，式（1）成立。式（1）式最早出現(xiàn)在Morse（1958）中，隨后，Little（1961）對該公式進行了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。以后，又有很多學(xué)者對LL做了各種證明與拓展。目前，LL在運作管理與計算機系統(tǒng)結(jié)構(gòu)領(lǐng)域得到了最為廣泛的應(yīng)用（Little，2011）。

LL在運作管理中的表現(xiàn)形式是將流程的運營績效度量流程時間、通過/產(chǎn)出率和在制品庫存聯(lián)系在一起的關(guān)系式，即：

或簡寫為：

比較式（1）和式（2），式（2）中WIP、TH和CT相當(dāng)于式（1）中的L、λ和W。在LL兩種表述中，式（2）使用產(chǎn)出率TH而不是式（1）中的到達率λ，更是體現(xiàn)了運作系統(tǒng)，特別是制造系統(tǒng)的特點。所以，也可將式（2）寫作：

首先，分析LL在財務(wù)中的表現(xiàn)形式。前面提到存貨周轉(zhuǎn)率是財務(wù)常用的衡量資產(chǎn)利用效率的財務(wù)指標(biāo)，具體公式是：

變換上式，得：

在式（4）中，存貨對應(yīng)著以貨幣計價的在制品庫存，可用年初庫存和年末庫存的平均數(shù)來估算；銷貨成本是已售出產(chǎn)品的成本，包括原材料、勞動力及制造費用，代表以貨幣為單位的產(chǎn)品年產(chǎn)出率；存貨周轉(zhuǎn)時間則是以年為單位的流程時間，是存貨售出前被擱置的平均時間。所以，式（4）就是LL。其他一些財務(wù)指標(biāo)，如，應(yīng)收賬款周轉(zhuǎn)率=賒銷額/平均應(yīng)收賬款，應(yīng)付賬款周轉(zhuǎn)率=銷貨成本/平均應(yīng)付賬款等也都是LL在財務(wù)管理中的體現(xiàn)。

LL在服務(wù)運作系統(tǒng)，如銀行、醫(yī)院、機場、餐館、超市、學(xué)校等也有著廣泛的應(yīng)用。陳榮秋和馬士華（2017）以學(xué)校為例很好地說明了服務(wù)系統(tǒng)的LL，即：

大學(xué)在校本科生數(shù)量相當(dāng)于在制品庫存，每年入學(xué)或畢業(yè)本科生數(shù)相當(dāng)于產(chǎn)出/通過率，而4年是流程時間，即本科生從入學(xué)到畢業(yè)需在大學(xué)系統(tǒng)逗留4年時間。

LL也有助于分析物流系統(tǒng)，如物流配送中心。著名時尚品牌Zara的全球物流配送中心是其供應(yīng)鏈的核心樞紐，正常情況下，物流中心每周運營4天，成衣在物流中心逗留8小時后就被配送出去（Ferdows et al.2003），而每周成衣通過量是2.5百萬件（Simchi-Levi et al.2007）?；谝陨闲畔⒖芍?/p>

假設(shè)每天10小時工作制，則：

由LL可知：

可以看到此時LL的作用是，當(dāng)已知兩個參數(shù)，很容易得到第三個參數(shù)，而這個未知參數(shù)可能在實際問題中不易被測量。

對于制造系統(tǒng)，可把工廠、生產(chǎn)車間、一條生產(chǎn)線、一個工作站、一臺機器分別看作流程，使用LL進行分析。生產(chǎn)運作系統(tǒng)特別關(guān)注運營效率問題，以下用LL來說明系統(tǒng)效率。根據(jù)式（3），實現(xiàn)同樣的產(chǎn)出率10，第一個生產(chǎn)運作系統(tǒng)需要：

而第二個系統(tǒng)可用更少的在制品庫存和更短的流程時間來實現(xiàn)，如下：

很明顯，第二個系統(tǒng)比第一個運營效率更高。對于相同產(chǎn)出率，第二個系統(tǒng)能做到使用更短的CT和更少的WIP，原因在于：第二個系統(tǒng)的不確定與可變因素（Variability）比第一個系統(tǒng)的要小。

運作系統(tǒng)往往存在大量Variability。Variability包涵兩層意思，一是指存在的不確定性，二是考察對象在量上有變化。例如，時尚服裝需求存在很大的不確定性，也可以說，時尚服裝需求的Variability很大；而每天的用電量即使很確定，但早、中、晚三個時段的用電量有起伏，這就是可變性。運作系統(tǒng)的Variability主要來自需求過程與生產(chǎn)/供給過程，而運作管理的重要任務(wù)就是應(yīng)對運作系統(tǒng)的Variability。應(yīng)對方法分為兩類，一類是主動降低法，如日本豐田汽車的準(zhǔn)時化（Just-in-Time,JIT）生產(chǎn)，就采用各種方法積極主動地降低Variability；另一類是緩沖法，即采用庫存、產(chǎn)能和時間來緩沖Variability。

由以上分析知，在產(chǎn)能固定的情況下，實現(xiàn)JIT生產(chǎn)提高運作系統(tǒng)運營效率的關(guān)鍵在于降低該系統(tǒng)的Variability。下面，基于LL，以某工廠的生產(chǎn)車間為例來討論如何實現(xiàn)JIT生產(chǎn)。

2 準(zhǔn)時化制實踐

JIT生產(chǎn)是實現(xiàn)庫存高效管理、提高產(chǎn)品質(zhì)量的有效途徑，有大量的成功案例，例如豐田汽車、戴爾電腦、Zara等，他們的生產(chǎn)模式特別值得我國企業(yè)借鑒。下面具體到車間生產(chǎn)與物流來討論如何實現(xiàn)JIT。將某作業(yè)車間整體看作一個流程，把車間場地看作服務(wù)站，需加工或裝配的零部件看作需求流，零部件的加工就是被車間服務(wù)，加工完畢的零部件流出車間，流程如圖1所示。

實現(xiàn)JIT要采用拉式系統(tǒng)。眾所周知，物料需求計劃系統(tǒng)（Material Requirements Planning,MRP）是典型的推式系統(tǒng)，而豐田汽車的JIT生產(chǎn)采用了拉式系統(tǒng)。MRP出現(xiàn)在20世紀(jì)60年代，是IBM將計算機應(yīng)用于生產(chǎn)與庫存管理的產(chǎn)物，而豐田的JIT代表了消除浪費、精益求精的生產(chǎn)思想，拉式與推式運作管理方法有顯著差別。但市面上對拉式系統(tǒng)仍有很多的誤解，例如，一個常見的錯誤看法就是，拉式生產(chǎn)就是客戶訂單需求拉動了生產(chǎn)，把拉式生產(chǎn)等同于按需求生產(chǎn)（Make-to-Order,MTO），這顯然不對，因為，MRP做生產(chǎn)計劃既基于預(yù)測的需求，還有客戶訂單；極端情況下，MRP可以完全按訂單組織生產(chǎn)。

那么，拉式系統(tǒng)與推式系統(tǒng)的主要差異在哪里？Hopp and Spearman（2004）特別指出這兩種系統(tǒng)的本質(zhì)區(qū)別是：拉式系統(tǒng)對在制品庫存做了明顯的限制，而推式系統(tǒng)沒有。在生產(chǎn)控制方面，拉式優(yōu)于推式的原因在于拉式有意圖地限制了系統(tǒng)內(nèi)的WIP數(shù)量，如豐田生產(chǎn)系統(tǒng)是通過有限的看板實現(xiàn)對WIP的限制。了解了拉式系統(tǒng)優(yōu)越性的本質(zhì)原因后，可用更簡單的CONWIP拉式系統(tǒng)（如圖2所示）來替代較復(fù)雜的看板系統(tǒng)。

圖1 生產(chǎn)車間運作流程示意圖

圖2 CONWIP拉式系統(tǒng)

當(dāng)WIP（比如車間里的零部件）離開車間而減少了x單位，相關(guān)控制信息由輸出端傳到輸入端，提示應(yīng)釋放x個單位物件進入車間，這樣車間中的WIP總量始終保持為一個固定量，這就是CONWIP控制。CONWIP系統(tǒng)只在輸入、輸出點進行控制，這比看板系統(tǒng)通過設(shè)置看板對系統(tǒng)內(nèi)各儲貨點WIP實施限制要簡單。

拉式系統(tǒng)還有一個優(yōu)點，那就是它的強壯性，這意味著它對WIP限制量（WIP limit）的大小不很敏感，這使得建立拉式系統(tǒng)和實施拉式生產(chǎn)更具實踐操作性。在確定WIP的限制量后，回看式（3），增加產(chǎn)出率TH=WIP/CT，要么增加WIP，要么需減少CT，由于WIP受到限制，對于拉式系統(tǒng)或JIT生產(chǎn)就只能通過降低CT來增加產(chǎn)出率。另外，產(chǎn)出率在很多情況下是外生變量，也就是說，產(chǎn)出率對運作系統(tǒng)來說是事先給定的，此時要提高運營效率，只有降低CT，降低CT就要降低系統(tǒng)流程的Variability，而CT縮短后，WIP會減少，庫存的減少將會暴露系統(tǒng)更多的問題，找到這些問題有利于對癥下藥，并采取相應(yīng)措施繼續(xù)降低Variability，這樣就形成持續(xù)改進的循環(huán)，這一邏輯關(guān)系如圖3所示。

實施拉式生產(chǎn)要估計WIP限制量（WIP limit）。下面，通過追蹤車間零部件物流對WIP限制量進行估算?？墒褂蒙漕l識別技術(shù)（Radio Frequency Identification,RFID）對零部件尤其是重要零部件進行實時追蹤?？砂裄FID標(biāo)簽附著于盛放一般零部件的容器，或直接附著于重要的零部件上。這樣可以很容易測量每天有多少數(shù)量零部件（記為N）通過了該生產(chǎn)車間，如果每天工作小時數(shù)為t，每小時通過率可以很容易估計出來，記為：

圖3 準(zhǔn)時化生產(chǎn)的邏輯

則該批零部件的平均流程時間CT是：

最后，每天平均在制品庫存可由LL估計：

由上可知，WIP是該批零部件流程時間總和與每天工作小時之比。此后，還可再根據(jù)實際情況對以上估算的WIP做相應(yīng)調(diào)整。

3 結(jié)論

本文通過分析運作管理的基本原理Little's Law及其在運作管理中的應(yīng)用，為我國企業(yè)提升運作系統(tǒng)績效提供了理論依據(jù)。本文的主要結(jié)論是系統(tǒng)運營績效取決于系統(tǒng)的不確定與可變因素（Variability），只有降低系統(tǒng)的Variability才能提高績效，而準(zhǔn)時化生產(chǎn)是降低Variability提高運營績效的有效途徑。最后，以生產(chǎn)車間為例，討論了實現(xiàn)準(zhǔn)時化生產(chǎn)的拉式系統(tǒng)。