生態(tài)系統(tǒng)害蟲(chóng)防治的一種脈沖控制數(shù)學(xué)模型的全局穩(wěn)定性

左冰冰， 金浩城， 郭俊榮

(浙江農(nóng)林大學(xué) 理學(xué)院，浙江 杭州 311300)

引 言

我國(guó)作為一個(gè)農(nóng)業(yè)大國(guó)，在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)過(guò)程中生物災(zāi)害頻頻發(fā)生，害蟲(chóng)對(duì)農(nóng)作物的危害不可忽視[1]。為了保證農(nóng)作物的產(chǎn)量和質(zhì)量，農(nóng)業(yè)上盡可能使用各種措施防治害蟲(chóng)[2]。

目前，相對(duì)于其他防治措施，化學(xué)防治高效、速效、使用方便、適應(yīng)性廣、經(jīng)濟(jì)效益顯著，然而化學(xué)防治仍存在著很多不足[3-5]?；瘜W(xué)防治常用的防治手段是噴灑農(nóng)藥，而農(nóng)藥中的有效成分在消滅害蟲(chóng)的同時(shí)，也會(huì)對(duì)自然天敵產(chǎn)生毒害作用，嚴(yán)重時(shí)可能會(huì)導(dǎo)致敏感型生物的種群衰落和滅亡，破壞農(nóng)田的生態(tài)平衡和物種多樣性[6]。

生物防治是目前有害生物治理中較為成功、節(jié)約和對(duì)環(huán)境安全的方法[7]。在早期的生物防治中，最好的方法是利用自然天敵來(lái)防治對(duì)植物造成毀滅傷害的昆蟲(chóng)[8]。但這一類(lèi)天敵一般只有成蟲(chóng)期可以捕食害蟲(chóng)[9]。生物防治的缺點(diǎn)在于沒(méi)有化學(xué)防治效果明顯，見(jiàn)效慢，需要一定的反應(yīng)周期，且防治植物病蟲(chóng)害的種類(lèi)不多，受到環(huán)境等諸多條件的限制，需要與其他防治方法結(jié)合進(jìn)行[10]。

鑒于上述討論，本文開(kāi)發(fā)的脈沖控制數(shù)學(xué)模型，用瞬時(shí)脈沖模擬對(duì)生態(tài)系統(tǒng)無(wú)害的天敵和化學(xué)殺蟲(chóng)劑，從數(shù)學(xué)角度分析害蟲(chóng)防治。通過(guò)模擬結(jié)合生防與化防為一體的害蟲(chóng)綜合治理措施，可以既安全又有效地將害蟲(chóng)蟲(chóng)口密度控制在防治指標(biāo)以下。

1 脈沖控制數(shù)學(xué)模型的建立

種群動(dòng)力學(xué)屬于生物數(shù)學(xué)學(xué)科，是一種研究種群宏觀現(xiàn)象的科學(xué)，研究種群和環(huán)境兩者之間的關(guān)系，研究不同種群之間的關(guān)系。研究不同種群之間的關(guān)系時(shí)，我們時(shí)常能從動(dòng)力學(xué)的角度加以分析，進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模型，以此類(lèi)推，生態(tài)學(xué)現(xiàn)象也可以用模型來(lái)研究，以期達(dá)成控制某些生態(tài)問(wèn)題的目標(biāo)[11]。

在本模型中討論的相互作用類(lèi)型為害蟲(chóng)幼蟲(chóng)為害，且僅有成熟天敵可取食害蟲(chóng)幼成蟲(chóng)。

圖1中直線代表取食關(guān)系，虛線代表害蟲(chóng)形態(tài)轉(zhuǎn)化。

圖1 模型中種群關(guān)系模式圖

在本模型中植物與有害生物種群之間的相互作用通過(guò)Holling Type-2來(lái)表示，因?yàn)樗擞泻ι锾幚硎澄锖退褜かC物所需的時(shí)間。這些時(shí)間與Holling Type-l相區(qū)別并可以得到更好的結(jié)果。除了用公式表達(dá)數(shù)學(xué)模型，還研究了系統(tǒng)有界性，害蟲(chóng)滅絕平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性，解釋分析系統(tǒng)的全局吸引性，系統(tǒng)的持久性。

(1)植物種群x(t)以r為增長(zhǎng)率呈指數(shù)增長(zhǎng)，且環(huán)境承載量為k，α為食餌所承受的捕食壓力，b1為害蟲(chóng)繁殖率，即幼蟲(chóng)蟲(chóng)口密度y1(t)取食植物種群x(t)的蟲(chóng)均取食率用αx(t)y1(t)來(lái)表示。

(2)y2(t)是在時(shí)間t時(shí)該區(qū)域的有害生物成蟲(chóng)蟲(chóng)口密度，假定只有成熟的天敵才能捕食害蟲(chóng)種群，γ是捕殺率常數(shù)。此外，d2是害蟲(chóng)種群的自然死亡率。

(3)未成熟天敵群體z1(t)的增長(zhǎng)率取決于成熟天敵z2(t)。天敵的死亡率和成熟率分別為d3和m1，ε是天敵的捕食轉(zhuǎn)化率。

(4)成熟天敵群體z2(t)因未成年天敵群體z1(t)的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)。此外，d3是成熟敵人的死亡率，T為添加殺蟲(chóng)劑脈沖的周期。

據(jù)此，我們建立以下模型：

(1)

2 預(yù)備知識(shí)和引理

以下內(nèi)容,將給出一些對(duì)后續(xù)證明非常有用的符號(hào)、定義以及引理。

定義2.1當(dāng)脈沖微分方程

(2)

Δx=x(t+)-x(t)=Bkx(t),t=τk,k∈Z

滿(mǎn)足以下條件時(shí)：

(H1)A(t)∈PC(R,Cn*n)且A(t+T)=A(t)(t∈R)，

(H2)Bk∈Cn*n,det(E+Bk)≠0,τk<τk+1(k∈Z),

(H3)存在q∈N，使得Bk+q=Bk,tk+q=tk+T(k∈Z)，

那么我們稱(chēng)系統(tǒng)(1)是線性的T-周期脈沖微分方程。

設(shè)φ(t)是系統(tǒng)(2)的基解矩陣，且存在唯一的非奇異矩陣

M∈Cn*n，

使得

Φ(t+T)=Φ(t)M

(3)

定義2.2我們把方程(3)中的常數(shù)矩陣M稱(chēng)為相應(yīng)于基解矩陣φ(t)的單值矩陣。

注：系統(tǒng)(2)的所有單值矩陣都相似，從而有相同的特征值。

定義2.3稱(chēng)脈沖系統(tǒng)(2)的單值矩陣的特征值M1,M2,…Mn為其Floquet乘子。

引理2.1(Floquet乘子理論)，設(shè)條件(H1)…(H3)成立，則線性T-周期脈沖系統(tǒng)(2)是：

(1)穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)它的所有乘子μj(j=1,…,n)的模小于1或等于1，即|μj|≤1，而且模等于1的乘子μj有相應(yīng)的單重初等因子；

(2)漸近穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)它的所有乘子μj(j=1,…,n)的模小于1，|μj|<1；

(3)不穩(wěn)定的，如果存在某個(gè)乘子μj，使得|μj|>1。

定義2.4設(shè)，如果：

(2)V關(guān)于x是局部Lipschitzian的，那么稱(chēng)V是屬于V0類(lèi)的。

引理2.2設(shè)x(t)是系統(tǒng)(1)的解，并且滿(mǎn)足初值條件x(0+)≥0，那么對(duì)所有的t≥0均有x(t)≥0。若x(0+)>0，則當(dāng)t>0時(shí)，有x(t)>0。

我們將用到下面比較重要的引理。

假設(shè)

D+V(t,x)≤g(t,V(t,x)),t≠nT

V(t,x(t+))≤ψn(v(t,x)),t=nT

設(shè)r(t)是下列方程：

u′(t)=g(t,u),t≠nT

u(t+)=ψn(u(t)),t=nT

u(0+)=u0

在[0,∞)上的最大解。那么由V(0+,x0)≤u0就可得到：

V(t,x(t))≤r(t),t≥0，

其中x(t)是系統(tǒng)(1)的任意解。

引理2.4對(duì)下面的脈沖微分方程：

我們有此方程的正周期解：

證明：

由于

故當(dāng)t→時(shí)，即證畢。

現(xiàn)在我們回到系統(tǒng)(1)，當(dāng)害蟲(chóng)滅絕時(shí)(即y1(t)=y2(t)=0)我們有以下脈沖微分方程：

(4)

(5)

對(duì)方程(4)使用引理1，可得，

(6)

g(t)=z2(t)exp(d3(t-nT)),t∈(nT,(n+1)T]

由于

另一方面，

所以，我們結(jié)合上式可得

因?yàn)?/p>

z2((n+1)T+)=z2((n+1)t)+μ2，

容易發(fā)現(xiàn)有唯一的正不動(dòng)點(diǎn)

因此，我們有

3 主要結(jié)果

定理3.1對(duì)任一系統(tǒng)(1)的解：x(t),y1(t),y2(t),z1(t),z2(t)。

存在一個(gè)常數(shù)M>0，使得對(duì)充分大的t，有：

x(t)≤M,y1(t)≤M,y2(t)≤M,z1(t)≤M,z2(t)≤M

證明：

將系統(tǒng)(1)帶入上述值可得：

由于

考慮

u(t+)=u(t),t=nT，

當(dāng)t→∞時(shí)，故V(t)是一致有界的。V(t)≤M′，當(dāng)t充分大時(shí)，

證明：

x(t)=k+Φ1(t),y1(t)=Φ2(t),y2(t)=Φ3(t),

其中：φi(t),i=1,2,3,4,5為相應(yīng)的小振幅擾動(dòng)，系統(tǒng)(1)可以擴(kuò)展為如下的線性形式：

令φ1(t)=(φ1(t),φ2(t),φ3(t),φ4(t),φ5(t))則上述線性形式可記為：

設(shè)φ(t)為此系統(tǒng)的基解矩陣，φ(t)滿(mǎn)足

λ1=exp(-rT)<1,

λ2=exp(-d3T)<1,

λ3=exp(-(d3+m1)T)<1,

a21=e-d2T;

證明：

由于(x(t),y1(t),y2(t),z1(t),z2(t))為系統(tǒng)(1)的任意解

考慮如下比較系統(tǒng)：

對(duì)于u(t)具有不穩(wěn)定解u(t)=0和穩(wěn)定解u(t)=k。由比較原理可得x(t)≤u(t)，故對(duì)任意小的正值ε1，存在N1>0，對(duì)于所有t>N1，有x(t)≤k+ε1。

對(duì)于z1(t)，有：

考慮如下比較系統(tǒng)：

由引理1，我們可以得到正周期解

且此周期解具有全局漸近穩(wěn)定性。

對(duì)于z2(t)同樣有如下系統(tǒng)：

由

利用引理1，可得

對(duì)于y1(t)與y2(t)，

(1)如果b1-d2≤0，必有y1(t)+y2(t)趨于0；

(2)如果b1-d2>0則有：

=(b1-d2+βM)(y1(t)+y2(t))-(b1-d2+d1+βM)y1(t)

由于y1(t),y2(t)非負(fù)，故有y1(t)趨于0；當(dāng)t趨于∞時(shí)，y2(t)趨于0。當(dāng)t趨于∞時(shí)，下面討論x(t)：

由于前面對(duì)t>N1，有x(t)≤k+ε1，且存在

?N4>0，?t>N4有x(t)≥s(t)>k-ε1，

這就證明了當(dāng)t趨于∞時(shí)，x(t)→k。

當(dāng)t→∞時(shí)，已得

因?yàn)閥1(t)→0，故

?N5>0，?t>N5,

z1(t+)=z1(t)+μ1,t=nT,

將z1(t)與下面的系統(tǒng)比較，

由引理1，

z2(t+)=z2(t)+μ2,t=nT

4 結(jié)果討論

本文基于固定時(shí)刻，利用脈沖微分方程建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，周期釋放天敵并噴灑農(nóng)藥來(lái)進(jìn)行害蟲(chóng)治理，我們可以得出以下結(jié)論：在生物防治和化學(xué)防治結(jié)合的綜合治理下，如果添加脈沖的周期T小于閾值Tmax，那么系統(tǒng)存在一個(gè)全局漸近穩(wěn)定的害蟲(chóng)滅絕周期解。這也符合實(shí)際的生物學(xué)現(xiàn)象，通過(guò)本文所建立的模型，我們提出了新的問(wèn)題，例如：如何優(yōu)化表示天敵釋放量的參數(shù)？如何把握季節(jié)性蟲(chóng)害的防治時(shí)期？如何將害蟲(chóng)與天敵的取食習(xí)性更加細(xì)化？如何將不可控制的氣候因素用參數(shù)表示？如何得到害蟲(chóng)控制閾值？如何證明當(dāng)T大于閾值Tmax時(shí)系統(tǒng)處于動(dòng)態(tài)平衡？如何證明系統(tǒng)存在周期解、擬周期解及混沌？基于上述問(wèn)題，我們今后將繼續(xù)研究。