淺談隨機(jī)誤差項(xiàng)在線性回歸模型中的應(yīng)用

經(jīng)典線性回歸模型是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)分析的重要工具。線性回歸模型由解釋變量、被解釋變量和隨機(jī)誤差項(xiàng)組成。其中，解釋變量為非隨機(jī)變量，被解釋變量為隨機(jī)變量，被解釋變量觀測值與解釋變量根據(jù)參數(shù)計(jì)算出的估計(jì)值之間的差項(xiàng)是一個(gè)隨量，我們稱之為隨機(jī)誤差項(xiàng)或隨機(jī)干擾項(xiàng)。

由于經(jīng)濟(jì)變量之間的關(guān)系是錯(cuò)綜復(fù)雜的，影響一個(gè)被解釋變量的因素有很多，從經(jīng)濟(jì)變量動(dòng)力學(xué)關(guān)系和經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)顯著性水平檢驗(yàn)兩個(gè)方面進(jìn)行判斷，我們可以將其分為重要解釋變量和非重要解釋變量。通常情況下，不同的研究者、研究目的和研究數(shù)據(jù)，會(huì)對一般性模型進(jìn)行約化和簡化，得到的模型中解釋變量僅含有顯著性水平較高的因素，而將顯著性水平較低的因素統(tǒng)一歸入隨機(jī)誤差項(xiàng)。所以，隨機(jī)誤差項(xiàng)可以概述表示由于人們的認(rèn)識(shí)以及其他客觀原因的局限而沒有考慮到的種種偶然因素。

隨機(jī)誤差項(xiàng)源于偶然因素。其中，偶然因素分為模型固有因素和模型設(shè)定過程中產(chǎn)生的、但是可以通過技術(shù)手段避免的因素。其中，固有因素又稱為“原生”的隨機(jī)誤差項(xiàng)，包括代表眾多細(xì)小影響因素和變量的內(nèi)在隨機(jī)性;可以避免的隨機(jī)誤差項(xiàng)又稱為“衍生”的隨機(jī)誤差項(xiàng)，包括未知的影響因素、殘缺數(shù)據(jù)、數(shù)據(jù)觀測誤差以及模型設(shè)定誤差。

由以上各種因素組成的隨機(jī)誤差項(xiàng)，是線性回歸模型中的一個(gè)不可或缺的影響部分。線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)服從一定的分布，而這個(gè)分布直接與隨機(jī)誤差項(xiàng)的概率分布相關(guān)。所以，確定隨機(jī)誤差項(xiàng)的概率分布是線性回歸模型參數(shù)估計(jì)的基本前提。

根據(jù)高斯-馬爾可夫定理，線性回歸模型要得到滿足無偏性、線性性和有效性的參數(shù)估計(jì)量，隨機(jī)誤差項(xiàng)需要滿足零均值、同方差、互不相關(guān)，并且服從正態(tài)分布。而隨機(jī)誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布的理論依據(jù)是中心極限定理。中心極限定理指出，在自然界與生產(chǎn)中，一些現(xiàn)象受到許多相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響，如果每個(gè)因素所產(chǎn)生的影響都很微小時(shí)，總的影響可以看作是服從正態(tài)分布的。也就是說，如果隨機(jī)變量X1，X2，......Xn獨(dú)立同分布，并且具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差：E（Xi）=μ，D（Xi）=σ20（k=1，2....） ，那么，當(dāng)n很大時(shí)，隨機(jī)變量近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1）。

根據(jù)上述兩個(gè)定理，我們可以得出經(jīng)典線性回歸對隨機(jī)誤差項(xiàng)組成部分的具體要求主要包括以下兩部分。

一、隨機(jī)誤差項(xiàng)包含的因素很多，并且相互獨(dú)立

根據(jù)之前分析，隨機(jī)誤差項(xiàng)包括代表眾多細(xì)小影響因素、變量的內(nèi)在隨機(jī)性、未知的影響因素、殘缺數(shù)據(jù)、數(shù)據(jù)觀測誤差以及模型設(shè)定誤差。這些因素主要由現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)濟(jì)個(gè)體決策行為的多樣性和隨機(jī)性造成的經(jīng)濟(jì)變量關(guān)系的復(fù)雜性造成，這些因素大多是無法度量的，例如個(gè)人的偏好、個(gè)人對未來的預(yù)期等。同時(shí)，由于這些因素本身是隨機(jī)的，我們無法觀察到他們之間穩(wěn)定的因果關(guān)系，所以可以將其理解為相互獨(dú)立的。

二、隨機(jī)誤差項(xiàng)包含的因素對被解釋變量的影響是很微小的。

對被解釋變量的影響很微小，是指雖然它們也是被解釋變量的影響因素，但是在一定顯著性水平下，這些解釋變量的變動(dòng)不引起被解釋變量的變動(dòng)。例如，在分析居民消費(fèi)決定因素時(shí)，除了個(gè)人資產(chǎn)存量、當(dāng)期收入等重要因素外，居民生活區(qū)域的超市數(shù)量、周圍人的消費(fèi)水平等因素也會(huì)對居民的消費(fèi)造成一定的影響，但這些影響相對較小，在統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)水平上不顯著，一般在回歸模型中將其列入隨機(jī)誤差項(xiàng)。

根據(jù)以上分析，我們在建立線性回歸模型時(shí)，隨機(jī)誤差項(xiàng)的掌握實(shí)際上就是考慮“大量獨(dú)立”和“影響微小”兩個(gè)方面，我們從經(jīng)濟(jì)變量之間的動(dòng)力學(xué)關(guān)系和統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)兩個(gè)角度進(jìn)行分析。

一、研究經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)關(guān)系

建立線性回歸模型時(shí)，我們需要充分識(shí)別哪些因素對被解釋變量有重要影響，而哪些因素對解釋變量沒有重要影響，我們可以從經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)關(guān)系入手，即在經(jīng)濟(jì)理論的指導(dǎo)下分析研究對象的實(shí)際經(jīng)濟(jì)行為，從行為理論上理清變量之間的關(guān)系，從而確定該變量對被解釋變量的影響是直接的還是間接的。我們將具有直接影響的變量作為解釋變量放入模型當(dāng)中，同時(shí)將雖然從內(nèi)在本質(zhì)意義上對被解釋變量有影響，但是從經(jīng)濟(jì)主體之間的關(guān)系意義看沒有直接作用的因素從模型中予以剔除。

二、模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)必要性

模型設(shè)定過程時(shí)，一個(gè)被解釋變量和所有影響因素之間只能存在一種客觀的正確的關(guān)系，即模型設(shè)定必須遵循“唯一性”原則，作為研究起點(diǎn)的總體模型必須是唯一的，也就是說，模型應(yīng)當(dāng)具有“一般性”。

從統(tǒng)計(jì)學(xué)上講，只有首先建立”一般性”的模型，才能保證隨機(jī)誤差項(xiàng)滿足“基本假設(shè)”。建立“一般性”模型后，出于對模型的實(shí)用性出發(fā)，應(yīng)當(dāng)通過變量的顯著性水平檢驗(yàn)，將顯著性水平低于實(shí)際要求的變量從模型中剔除，保留顯著水平相對較高的變量，從而使模型更具有實(shí)用性，是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型設(shè)立的一個(gè)思路。

但是，如果沒有經(jīng)過對“一般性”模型的參數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，直接根據(jù)個(gè)人經(jīng)驗(yàn)省略了部分，就相當(dāng)于將這些變量計(jì)入了隨機(jī)誤差項(xiàng)。事實(shí)上，如果這些變量對被解釋變量的影響是統(tǒng)計(jì)顯著的，那么隨機(jī)誤差項(xiàng)將不符合“微小”的前提假設(shè)，高斯馬爾科夫基本假設(shè)隨即遭到破壞，在此基礎(chǔ)上建立的模型估計(jì)出的參數(shù)都是無效的。

例如，商品銷售量一般至少受到商品價(jià)格、居民收入、相關(guān)商品價(jià)格等因素的影響，假設(shè)正確的模型為Q=a+b1P+b2Y+b3P+u，此時(shí)u符合中心極限定理的基本假設(shè)。如果實(shí)際過程中，假設(shè)商品價(jià)格是影響商品需求量的唯一顯著因素，建立了Q=a+b1P+u的模型，則u= u +b2Y+b3P，其中，Y和P對Q的影響并不“微小”，所以u(píng)不再符合中心極限定理的基本假設(shè)，在此基礎(chǔ)上估計(jì)出的模型參數(shù)將不再是BLUE.

研究經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)關(guān)系分析結(jié)合統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)必要性判斷，基本可以篩選出回歸模型中重要的影響變量，從而確保隨機(jī)誤差項(xiàng)所包含的影響因素都是獨(dú)立而微小的。

通過以上分析可以發(fā)現(xiàn)，對隨機(jī)誤差項(xiàng)的研究實(shí)際上是對回歸模型設(shè)定精確性和實(shí)用性的研究。建立線性回歸模型時(shí)，我們并不能直接確定隨機(jī)誤差項(xiàng)是哪些微小因素的集合，而是通過排除法將重要解釋變量之外的其他因素合并計(jì)入隨機(jī)誤差項(xiàng)。這種分析方法實(shí)際上是要求我們在建立計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)經(jīng)典線性回歸模型時(shí)應(yīng)充分考慮經(jīng)濟(jì)因素理論和現(xiàn)實(shí)兩方面的關(guān)系，充分認(rèn)識(shí)一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量具體受哪些經(jīng)濟(jì)變量的影響，以及這些變量的重要程度。通過行為經(jīng)濟(jì)分析和數(shù)理統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)兩個(gè)方法，將各個(gè)解釋變量對被解釋變量的影響水平進(jìn)行劃分，并以正確的形式將重要的解釋變量引入模型。至此，對被解釋變量影響水平較低的因素，一并計(jì)入隨機(jī)誤差項(xiàng)，確保從理論上符合中心極限定理的基本要求，并進(jìn)而得到經(jīng)典線性回歸模型中獲取BLUE參數(shù)的理論依據(jù)。

作者簡介：姓名：李波濤? 性別：男? 出生年：1983 ，籍貫到市：山西省臨汾市，民族：漢，職稱：中級(jí)會(huì)計(jì)師? 學(xué)歷：在職研究生，研究方向：計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)