“三點解析法”估算地質(zhì)體產(chǎn)狀及應(yīng)用

周迪

摘 要：上世紀(jì)八十年代至本世紀(jì)初，有學(xué)者利用某平面上三點來計算該平面產(chǎn)狀，受當(dāng)時計算機普及的條件，該方法由于計算量過大，傾向方位角判別條件復(fù)雜等特點而沒有受到廣泛應(yīng)用。現(xiàn)如今，隨著計算機的廣泛應(yīng)用，通過對坐標(biāo)系統(tǒng)的簡化，利用解析幾何思想來計算地質(zhì)體產(chǎn)狀，大大減少了計算量，精簡了傾向方位角判別條件，使得該方法的應(yīng)用性大大提高。該方法是在高精度數(shù)學(xué)測量的基礎(chǔ)上，通過對地質(zhì)體層面進(jìn)行幾何建模，利用空間方向向量來解析地質(zhì)體層面，利用反三角函數(shù)估算地質(zhì)體層面傾向、走向及傾角。通過該方法，可對穩(wěn)定的地層、磁性礦體及某些特殊的結(jié)構(gòu)面等進(jìn)行產(chǎn)狀估算。

關(guān)鍵詞：測量;產(chǎn)狀;應(yīng)用;三點解析法

1 緒言

為獲取某地質(zhì)體產(chǎn)狀，傳統(tǒng)的方法是地質(zhì)人員在野外采用羅盤法測量確定，該方法測量精度受地質(zhì)體產(chǎn)狀波動、測量人員水平、羅盤精度等多方面的制約。王鳳艷[1，2]等人通過統(tǒng)計羅盤測量傾向、傾角中誤差分別為4°和3°。其次，羅盤法測量工作量極大，并且只能對接觸類地質(zhì)體進(jìn)行測量，對高大地質(zhì)體上部、掩蓋地質(zhì)體等非接觸地質(zhì)體則愛莫能助。隨著近些年測量技術(shù)的高速發(fā)展，高精度RTK測量、免棱鏡全站儀、三維激光數(shù)字掃描儀、近景數(shù)字?jǐn)z影測量、高精度遙感等測量技術(shù)的發(fā)展為野外工作提供了極大的便利，不僅對非接觸類地質(zhì)體進(jìn)行測量，而且大大減小了工作量，提高了工作效率。

通過高精度數(shù)字測量技術(shù)在地質(zhì)體層面上采集三個點的三維坐標(biāo)，通過平面向量解析對層面進(jìn)行產(chǎn)狀估算（即“三點解析法”）。本方法是在前人成果[3，4]的基礎(chǔ)上，通過對坐標(biāo)系進(jìn)行簡化、方向向量的確定來減少計算量及簡化傾向方位角的判別方法。

2 幾何模型的建立

2.1 平面坐標(biāo)系統(tǒng)

由于我們的地球，是一個近似于梨形的不規(guī)則的橢球體，而我們平時處理的都是二維平面上的地物要素，因此我們需要將球面上的點通過某種數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系將其簡化至平面上，也就是地圖投影變換。地質(zhì)學(xué)上常用地圖投影方法主要為高斯—克呂格法[5]。高斯—克呂格投影就是取中央經(jīng)線與赤道的交點為原點，中央經(jīng)線為縱坐標(biāo)軸（北為正方向，X軸），赤道為橫坐標(biāo)軸（東為正方向，Y軸），構(gòu)成高斯—克呂格平面直角坐標(biāo)系，高程坐標(biāo)軸以大地水準(zhǔn)面為原點（向上為正方向，Z軸），詳見圖1A版地質(zhì)體幾何化模型三維視圖。

2.2 自定義坐標(biāo)系統(tǒng)

為了方便理解及簡化計算，將高斯—克呂格平面直角坐標(biāo)系統(tǒng)進(jìn)行簡化平移。具體方法：在某一地質(zhì)體層面上測量三個點的三維坐標(biāo)后，選擇標(biāo)高最低點作為新原點，以北方向為X軸正方向;東方向為Y軸正方向，構(gòu)成新的平面坐標(biāo)系統(tǒng)，向上為Z軸正方向，見圖1A版地質(zhì)體幾何化模型。自定義坐標(biāo)的建立就是將地質(zhì)體層面簡化成通過自定義坐標(biāo)系統(tǒng)原點的平面。

2.3 地質(zhì)體產(chǎn)狀

地質(zhì)體層面產(chǎn)狀除水平巖層呈水平狀態(tài)產(chǎn)出外，其它地質(zhì)體層面產(chǎn)狀均以其走向、傾向和傾角表示。

走向：地質(zhì)體層面與水平面的交線，或該層面上水平線的方向即為地質(zhì)體層面走向。因兩端所指方向均為走向，因此走向由相差180°的兩個方位角來表示，走向方位角取值范圍為[0°，360°）。圖1A版中OA、OB為走向線，所指方向即為走向方位角。

傾向：垂直于走向線向?qū)用嫦路揭咕€為該層面的傾斜線，傾斜線在水平面上投影即為傾向線。圖1中OD為傾斜線，OD為傾向線，以O(shè)點為頂點，D點在水平面上以逆時針方向旋轉(zhuǎn)至X軸正方向所形成的角度為傾向方位角。圖1A版中OD與X軸正方向的夾角（β），傾向方位角β取值范圍[0°，360°）。傾向與走向之間垂直，即走向=傾向±90°。

傾角：傾斜線與其水平面上投影（即傾向線）的夾角，或?qū)用媾c水平面的夾角即為傾角，圖1中∠DOD為傾角（α），傾角α取值范圍[0°，90°]。

3 “三點解析法”計算過程

首先，我們在目標(biāo)層面上測量不在同一直線三個點坐標(biāo)，P（x1，y1，z1）、Q（x2，y2，z2）、O（x3，y3，z3）。先將坐標(biāo)系統(tǒng)進(jìn)行簡化。圖1A版中我們以O(shè)點標(biāo)高最低為例，即以O(shè)點為新原點，以北方向為X軸正方向，以東方向為Y軸正方向，以向上為Z軸正方向做新坐標(biāo)系統(tǒng)。在新坐標(biāo)系中O點坐標(biāo)為（0，0，0）;P點坐標(biāo)為（x1- x3，y1- y3，z1- z3），簡化表示為（x1，y1，z1）;Q點坐標(biāo)為（x2- x3，y2- y3，z2- z3），簡化表示為（x2，y2，z2）。通過O點分別向P點，Q點做向量OP，OQ，則向量OP可表示為（x1，y1，z1）;向量OQ可表示為（x2，y2，z2）。在這里需驗證三點不能在同一直線上，即OP≠λOQ（λ為任意常數(shù)）。

其次，引入平面法向量來解析目標(biāo)層面，即垂直于目標(biāo)層面的方向向量n來表示。由于方向向量n垂直于層面，因此方向向量n垂直于向量OP，OQ，就有以下行列式：

n=OP×OQ=

上式展開得：（y1 z2- y2 z1）i+（x2 z1 -x1 z2）j+ （x1 y2- x2 y1）k，化簡得：n=Ai+Bj+Ck（i，j，k分別是平行于X、Y、Z軸的單位向量），即方向向量n（A，B，C）（A、B、C不能同時等于0，若同時等于0，說明三點共線，應(yīng)重新選擇三個點）。

根據(jù)地質(zhì)體傾向的性質(zhì)，方向向量n取指向Z軸正方向或垂直于Z軸的方向向量。因此取C值大于或等于0的方向向量，若C=0，則表明該地質(zhì)體層面垂直于XOY平面，則地質(zhì)體傾角為90°;若使C值大于0，可采用以下方法：

（1）若通過計算后C值小于0，即方向向量指向下方（Z軸負(fù)方向），可通過取該向量的反向向量-n（-A，-B，-C）做平面的方向向量。

（2）采用圖解法：將野外測得的三點數(shù)據(jù)投影到平面上，選標(biāo)高最低點分別向另外兩點做向量。采用向量乘積右手定則（見圖2向量右手定則）來確定指向上方方向向量n=OP×OQ，反之用n=OQ×OP。

在計算出方向向量n（A，B，C）（這里C取值大于或等于0）后，即可計算地質(zhì)體產(chǎn)狀。根據(jù)圖1B版中角度等價關(guān)系，向量n與Z軸夾角等于地質(zhì)體層面傾角α=arccos[C/ （A2+B2+C2）1/2]。由于C大于等于0，故α取值范圍[0°，90°]，與傾角取值范圍相同，故夾角α即為傾角;OD與X軸正方向夾角β= arccos[A/ （A2+B2）1/2]。由于向量夾角β取值范圍[0°，180°]，與傾向方位角[0，360）不符，因此討論：當(dāng)B大于等于0時，夾角β值即為傾向方位角;當(dāng)B小于0時，360°-β值即為傾向方位角;走向方位角=傾向方位角±90°，由于走向方位角取值范圍為[0，360），因此在計算走向方位角位角值小于0°或大于360°時，應(yīng)通過計算值±360°糾正。

該方法適用于一般地質(zhì)體產(chǎn)狀要素的測量，但地質(zhì)體應(yīng)滿足以下條件：（1）欲測地質(zhì)體層面起伏變化不太大，大致為一平面;（2）能在該面上找到不在同一直線上的三個點，并且能測量或計算各點的三維坐標(biāo)值。

在實際中，地質(zhì)體層面產(chǎn)狀往往復(fù)雜多變，如呈舒緩波狀的斷層，受小褶皺影響的地層，呈下緩上陡的邊坡、滑坡面等，其層面產(chǎn)狀因測量位置不同而產(chǎn)狀不一。采用三點解析法是將目標(biāo)層面在三個點范圍內(nèi)進(jìn)行平面化，即認(rèn)為在O、P、Q三點范圍內(nèi)的平面是平直的平面（見圖3不規(guī)則地質(zhì)體平面化）。

4 “三點解析法”的應(yīng)用

4.1 地層產(chǎn)狀的估算

首先要確定地層的穩(wěn)定性，地層在遭受地質(zhì)構(gòu)造運動影響形成不穩(wěn)定、不連續(xù)、產(chǎn)狀變化較大的地層時不能使用該方法進(jìn)行計算。只有在地層產(chǎn)狀穩(wěn)定，斷裂構(gòu)造不發(fā)育，褶皺構(gòu)造不發(fā)育或只受單斜構(gòu)造影響時可使用本方法進(jìn)行估算。具體方法：可在地層走向方向上選擇兩點，在傾向方向上選擇一點，選點位置一般應(yīng)在地層與下伏地層接觸界線上選擇，通過高精度數(shù)字測量測得三點坐標(biāo)后，通過三點解譯法計算地層產(chǎn)狀。在同一地層上不同位置測量若干個點，通過選擇不同的三個點分別計算，若多次計算后地層產(chǎn)狀變化較小，則計算平均值做為該地層產(chǎn)狀;若多次計算結(jié)果變化較大，則表明該地層可能遭受構(gòu)造影響產(chǎn)狀有一定的變化，可在該地層上不同部位選擇多個點進(jìn)行分段估算地層產(chǎn)狀。

產(chǎn)狀平緩地層（傾角小于10°），在野外測量產(chǎn)狀時有一定的難度，亦可采用三點解析法估算其產(chǎn)狀。

4.2 磁性地質(zhì)體產(chǎn)狀估算

要計算的磁性礦體應(yīng)為板狀、層狀或似層狀的穩(wěn)定礦體。由于在磁性體附近羅盤失靈，無法直接測量磁性礦體產(chǎn)狀，可采用三點解析法進(jìn)行產(chǎn)狀估算，具體方法是在磁性礦體與圍巖接觸帶上（三點位置應(yīng)同在礦體上盤或下盤選擇）選擇不在同一直線的三個點，通過高精度數(shù)字測量三點坐標(biāo)后，采用三點解譯法估算磁性地質(zhì)體產(chǎn)狀。

4.3隱伏礦體產(chǎn)狀估算

在實際工作中，我們常常會遇到由物化探等異常圈定通過鉆探工程揭露的隱伏礦體。這些礦體往往只有少量的工程控制，礦體形態(tài)不清，因此我們可采用三點解析法近似預(yù)測其產(chǎn)狀，為下一步探礦工程部署提供參考，具體方法是在同一礦體上選擇三個見礦工程，通過計算各工程見礦中心點位置選取三個點，再用三點解析法計算礦體產(chǎn)狀。由于某些隱伏礦體產(chǎn)狀往往多變，特別是受構(gòu)造控制的有色金屬、貴金屬礦體，在選用此方法時，應(yīng)盡可能選擇小范圍內(nèi)的工程，可選擇相鄰勘探線上的相鄰工程進(jìn)行計算，大致估算礦體總體產(chǎn)狀。

4.4 某些特殊結(jié)構(gòu)面的計算

結(jié)構(gòu)面是指地質(zhì)體內(nèi)形成的具有一定的延伸方向和長度，厚度相對較小的界面。主要包括斷層面，不整合面，節(jié)理面，工程力學(xué)軟弱結(jié)構(gòu)面，高陡邊坡面，露天采場邊坡面，地裂縫結(jié)構(gòu)面，滑移面等。以上結(jié)構(gòu)面往往產(chǎn)狀較化較大，可在范圍內(nèi)選擇三個點來估算其總體產(chǎn)狀，或在小范圍內(nèi)估算局部產(chǎn)狀。

5 結(jié)論

（1）“三點解析法”突破了人工使用羅盤法測量的局限性，可減少野外工作人員勞動強度，提高工作效率。

（2）選點位置對產(chǎn)狀估算結(jié)果具有很大影響，因此在選點過程中選擇最能代表反映地質(zhì)體總體產(chǎn)狀的三個點進(jìn)行計算。

（3）基于高精度數(shù)字測量技術(shù)，使得計算結(jié)果更為準(zhǔn)確。但不可忽略的是該方法的理想模型化，對地質(zhì)體層面產(chǎn)狀變化往往考慮不周，具有一定的局限性。

（4）通過對平面方向向量的確定，可大大減少傾向方位角判別方法。

參考文獻(xiàn)：

[1]王鳳艷，陳劍平，等.基于VirtuoZo的巖體結(jié)構(gòu)面幾何信息獲取研究[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報，2008，27（1）：169—175.

[2]武漢大學(xué)測繪學(xué)院測量平差學(xué)科組.誤差理論與測量平差基礎(chǔ)[M].武漢大學(xué)出版社，2009：1-3，13—20.

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