線性懸臂梁式壓電振子的理論分析與仿真

楊晉寧　曹雅莉

摘要：懸臂梁式壓電俘能系統(tǒng)的輸出電壓和功率與壓電振子的結(jié)構(gòu)尺寸、外界激振頻率等都有著密切的聯(lián)系。同時，線性壓電振子當與環(huán)境振動激勵產(chǎn)生共振時才能獲得最大的輸出功率，而其固有頻率又與壓電振子的結(jié)構(gòu)尺寸等參數(shù)有關。因此，為了在實際應用中提高俘能效率，就需要研究這些參數(shù)對懸臂梁式壓電俘能系統(tǒng)性能的影響規(guī)律。現(xiàn)針對懸臂梁式壓電振子結(jié)構(gòu)進行了相關的理論分析，并通過COMSOL Multiphysics有限元軟件，對系統(tǒng)輸出電壓和功率受外界激振頻率、負載、外激勵加速度的影響規(guī)律進行了仿真分析，從而為優(yōu)化懸臂梁式壓電振子結(jié)構(gòu)，降低系統(tǒng)固有頻率提供了參考。

關鍵詞：壓電振子;固有頻率;激振頻率;負載;仿真

0 引言

自然界中的能源多種多樣，其中振動能是一種取之不盡、用之不竭的“綠色能源”，它不像其他能源那樣隨時受到時間、地域、環(huán)境等因素的限制。若能將其轉(zhuǎn)化為電能，有助于解決微電子器件需長期、實時持續(xù)的能源供給問題。實際上，利用自然界中的振動給微型發(fā)電裝置提供動力，可以源源不斷地將振動能轉(zhuǎn)變?yōu)槲C電系統(tǒng)所需要的電能。由于利用正壓電效應原理在環(huán)境中收集到的振動能具有較高的能量密度、清潔環(huán)保、高輸出電壓和功率以及易于實現(xiàn)結(jié)構(gòu)微型集成化等優(yōu)點，因而近年來備受關注[1]。在理論研究中，一般將壓電式懸臂梁作為壓電式振動俘能系統(tǒng)基本結(jié)構(gòu)的等效體，利用線性動力學模型對其進行建模與分析，故常將它稱之為線性懸臂梁式壓電振子。

本文為了進一步提高能量轉(zhuǎn)換效率，在對懸臂梁式壓電振子結(jié)構(gòu)和尺寸進行理論分析的基礎上，利用COMSOL Multiphysics軟件，將外界激振頻率等參數(shù)對輸出電壓和功率的影響進行仿真分析，為優(yōu)化懸臂梁式壓電振子結(jié)構(gòu)提供理論參考。

1 壓電能量收集器的理論分析

1.1? ? 基本結(jié)構(gòu)和原理

能量收集器中最典型的結(jié)構(gòu)是懸臂梁式，其具有諸多優(yōu)點。為進一步提高能量轉(zhuǎn)換效率，使壓電結(jié)構(gòu)的固有頻率、外界激振頻率和負載三者之間有效匹配起來，本文采用基于正壓電效應原理下的矩形懸臂梁結(jié)構(gòu)，如圖1所示。該結(jié)構(gòu)的中間層是用銅材料制成的金屬基體，在基體的上下方各粘有一層很薄的PZT-5H壓電陶瓷，利用串聯(lián)連接的輸出方式，構(gòu)成雙晶壓電振子，Z軸為極化方向。壓電振子的左端固定，另一端放置一個材料為45鋼的質(zhì)量塊，用于降低壓電結(jié)構(gòu)的固有頻率，以便收集外界低頻環(huán)境中的振動能量。

在外界振動源的激勵下，將會激發(fā)壓電振子進行振動而發(fā)生彎曲變形，使上下兩片PZT-5H壓電陶瓷分別受到拉伸和壓縮作用，結(jié)合正壓電效應原理此時可對外輸出電壓。該結(jié)構(gòu)采用激勵方向與極化方向相垂直的d31振動模式，使其共振頻率更低，更易與外界環(huán)境產(chǎn)生共振。懸臂梁式壓電結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)如表1所示。

1.2? ? 固有頻率

根據(jù)文獻[2-3]提出的分布式參數(shù)動力學模型，在忽略質(zhì)量慣性矩和剪切變形影響的前提下，可將線性懸臂梁式壓電振子等效為一個Euler-Bernoulli梁，然后利用Euler-Bernoulli方程對其機電耦合行為進行建模。通過理論推導，得到計算各階固有頻率的公式[4]：

式中，E為壓電振子的彈性模量;ρ為壓電振子的等效密度;l為壓電振子的長度;w為壓電振子的寬度;h為壓電振子的厚度（h=he+2hp）。

由（1）式可看出，壓電振子的fi與E、w和h之間呈正比關系，與ρ和l之間呈反比關系。當壓電振子的一端放置質(zhì)量塊時，相當于增加了ρ的大小，從而起到降低fi的作用。

2 有限元分析

在COMSOL Multiphysics多物理場仿真軟件中，按照表1所示數(shù)據(jù)對懸臂梁式雙晶壓電振子進行三維建模，如圖2所示。通過求解，可以得到壓電振子的表面應力云圖，如圖3所示，σmax位于壓電振子根部，為使壓電振子產(chǎn)生更多的電能，壓電片應粘貼于此處[5]。

2.1? ? 模態(tài)分析

對于線性懸臂梁式壓電振子而言，其固有頻率只有與外界環(huán)境產(chǎn)生共振時，才能輸出最大電能。利用模態(tài)分析不僅能夠求解出懸臂梁式壓電振子的各階振型及固有頻率，還可以仿真其尺寸參數(shù)對固有頻率的影響，最終為優(yōu)化懸臂梁式壓電振子結(jié)構(gòu)提供理論依據(jù)[6]。懸臂梁式雙晶壓電振子的前四階振型模態(tài)圖及固有頻率值，分別如圖4和表2所示。

從圖4中可看出，除了一階振型模態(tài)圖外，其余三階振型模態(tài)圖都是非正常的。對于懸臂梁式壓電振子而言，一階振型下應變最大，輸出的電能也最多，因此在實際研究中為了建模分析方便，通常只考慮一階振型下的固有頻率值。

2.1.1? ? 振子長度對其一階固有頻率的影響

如表1中，除l外，其余幾何參數(shù)均不變，使l在30～50 mm按步長為5變化取值，通過仿真求解可得到相對應的f1值分別為196.4 Hz、148.5 Hz、116.74 Hz、94.476 Hz、78.214 Hz?？梢钥闯?，隨著l的不斷增大，f1（一階固有頻率）逐漸減小，二者呈反比關系。這就意味著，增大l可以有效降低f1，但l的增大必須要在一定的范圍之內(nèi)，否則會增大能量收集器的幾何尺寸，與其微小集成化的特點相違背。該仿真求解結(jié)論與本文前面對公式（1）的理論分析結(jié)論相一致。

2.1.2? ? 振子寬度對其一階固有頻率的影響

如表1中，除w外，其余幾何參數(shù)均不變，使w在10～30 mm按步長為5變化取值，通過仿真求解可得到相對應的f1值分別為77.387 Hz、77.829 Hz、78.214 Hz、78.543 Hz、78.823 Hz?？梢钥闯?，f1隨w數(shù)值的增大而緩慢增大，雖增大幅度很小，但二者仍呈正比關系?？傮w而言，該仿真求解結(jié)論與本文前面對公式（1）的理論分析結(jié)論相一致，但是壓電振子一階固有頻率受其寬度的影響并不大，基本可忽略不計。

2.1.3? ? 振子壓電片厚度對其一階固有頻率的影響

如表1中，除hp外，其余幾何參數(shù)均不變，使hp在0.1～0.5 mm按步長為0.1變化取值，通過仿真求解可得到相對應的f1值分別為49.94 Hz、78.214 Hz、109.49 Hz、142.43 Hz、176.37 Hz?？梢钥闯?，f1隨hp數(shù)值的增大而增大，二者呈正比關系，該仿真求解結(jié)論與本文前面對公式（1）的理論分析結(jié)論相一致。

2.1.4? ? 振子質(zhì)量塊質(zhì)量對其一階固有頻率的影響

如表1中，按照單晶壓電振子不帶質(zhì)量塊、單晶壓電振子帶質(zhì)量塊、雙晶壓電振子不帶質(zhì)量塊、雙晶壓電振子帶質(zhì)量塊4個方面，通過仿真求解得到相對應的f1值分別為98.993 Hz、56.453 Hz、142.09 Hz、78.214 Hz?？梢钥闯觯徽撌菃尉弘娬褡舆€是雙晶壓電振子，自由端帶質(zhì)量塊都會降低其一階固有頻率，該仿真求解結(jié)論與本文前面對公式（1）的理論分析結(jié)論相一致。

因此，在實際應用時可以通過增大l、減小hp，同時在壓電振子一端放置質(zhì)量塊并加大質(zhì)量塊質(zhì)量的方法來降低壓電振子的一階固有頻率，使懸臂梁壓電振子與振動激勵源之間產(chǎn)生共振，從而可以收集到環(huán)境中的低頻振動能量，這種方法非常適用于那些低頻小幅的振動環(huán)境。

2.2? ? 頻率響應分析

由于外界環(huán)境的振動頻率一般處于0～200 Hz，因此在有限元仿真時對頻率范圍進行設定，通過掃頻的方法使其在60～80 Hz內(nèi)進行取值，步長為1。同時對壓電振子施加一數(shù)值為1的正弦外激勵加速度，求解后可得到輸出電壓和功率對頻率的響應曲線，如圖5所示。從圖5中可知，在壓電振子的一階固有頻率處具有最大輸出電壓和最大輸出功率。這是由于當壓電振子的一階固有頻率與環(huán)境外加的加速度頻率接近或一致時，壓電振子將會產(chǎn)生共振，此時壓電振子在外激勵作用下發(fā)生最大的彎曲變形，根據(jù)正壓電效應原理，將產(chǎn)生最大的輸出電壓和輸出功率。

2.3? ? 負載對輸出電壓和功率的影響

由前面的分析可知，本文中壓電振子的共振頻率就是其一階固有頻率78 Hz，因此將頻率設定在78 Hz，仿真求解此壓電振子在共振條件下負載對輸出電壓和功率的影響關系。將負載電阻值在102～105 Ω之間掃描取值，步長為0.25，求解得到負載對輸出電壓和功率的影響曲線，如圖6所示。

由圖6可看出，輸出功率隨負載電阻的增大而迅速增大，在負載電阻為1.78 kΩ時輸出功率達到最大值5.18 MW，根據(jù)電路理論的推導可以知道，只有當外接電阻與壓電振子內(nèi)電阻相等或接近時，負載才能獲得最大電能，因此壓電振子內(nèi)電阻為1.78 kΩ。但當負載電阻繼續(xù)增大時，外部電路電流將會變得很小，因此輸出功率將迅速減小。隨著外接負載電阻阻值的增大，輸出電壓也在增大，當阻值增大到某一數(shù)值時，輸出電壓將保持不變，此時的電壓值為7.87 V。

2.4? ? 加速度對輸出電壓和功率的影響

將頻率繼續(xù)設定在78 Hz，仿真求解此壓電振子在共振的條件下外激勵加速度對輸出電壓和功率的影響。將加速度在0.25g～2g掃描取值，步長為0.25，求解得到加速度對輸出電壓和功率的影響曲線，如圖7所示。

在圖7中可看出，隨著加速度的增大，輸出電壓和功率均增大，加速度對于輸出電壓和功率的影響都呈正比關系。但是加速度與輸出功率關系近似于一個二次函數(shù)，而加速度與輸出電壓的關系則為線性，可見加速度對于輸出功率的影響要大于對輸出電壓的影響，輸出功率與輸出電壓呈二次方關系。

3 結(jié)語

本文對線性懸臂梁式壓電振子的結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)進行了理論分析，得出了相關結(jié)論，并通過有限元軟件進行建模、仿真和分析，研究了壓電振子的長度、寬度、厚度以及自由端質(zhì)量塊對于其一階固有頻率的影響規(guī)律，驗證了理論分析的正確性，并對外界激振頻率、負載、外激勵加速度對輸出電壓和功率的影響進行了仿真分析，使壓電結(jié)構(gòu)的固有頻率、外界激振頻率和負載三者之間可以有效匹配，為優(yōu)化懸臂梁式壓電振子結(jié)構(gòu)，調(diào)整系統(tǒng)固有頻率提供了理論依據(jù)。

[參考文獻]

[1] 王德石，張愷.壓電換能器設計原理[M].武漢：武漢理工大學出版社，2016.

[2] ERTURK A，INMAN D J.On mechanical modeling of cantilevered piezoelectric vibration energy harvesters[J].Journal of Intelligent Material System and Structures，2008，19（11）：1311-1325.

[3] ERTURK A，INMAN D J.A distributed parameter electrome-

chanical model for cantilevered piezoelectric energy harvesters[J].Journal of Vibration and Acoustics，2008，130（4）：1-10.

[4] 鄧冠前.基于壓電陶瓷的振動能量捕獲關鍵技術研究[D].長沙：國防科技大學，2008.

[5] 袁秋潔.基于壓電材料的振動能量收集理論及其結(jié)構(gòu)分析[D].北京：華北電力大學，2009.

[6] 陳仲生.壓電式振動能量俘獲理論與方法[M].北京：國防工業(yè)出版社，2017.

收稿日期：2020-04-10

作者簡介：楊晉寧（1984—），男，山西鄉(xiāng)寧人，碩士，講師，研究方向：先進制造技術。