例說(shuō)數(shù)學(xué)建模 抓牢知識(shí)應(yīng)用

何先

【摘要】數(shù)學(xué)教育不僅要教給學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，更要教給學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問題。教師要善于在教學(xué)中把數(shù)學(xué)的概念法則和解題方法進(jìn)行模型化，使學(xué)生既能掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，又能應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活和生產(chǎn)中出現(xiàn)的問題。這種應(yīng)用知識(shí)從實(shí)際問題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過程就稱為數(shù)學(xué)建模。應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題，這就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的真正目的所在。教學(xué)中，務(wù)必抓牢抓實(shí)。

【關(guān)鍵詞】建模? ?抓牢? ?應(yīng)用

【中圖分類號(hào)】G633.6

【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】1992-7711（2020）20-099-02

在百科中是這樣描述數(shù)學(xué)建模的：數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling）是利用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題的重要手段。數(shù)學(xué)教育不僅要教給學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，更要教給學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問題。教師要善于在教學(xué)中把數(shù)學(xué)的概念法則和解題方法進(jìn)行模型化，使學(xué)生既能掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，又能應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活和生產(chǎn)中出現(xiàn)的問題。當(dāng)需要從定量的角度分析和研究一個(gè)實(shí)際問題時(shí)，人們就要在深入調(diào)查研究、了解對(duì)象信息、作出簡(jiǎn)化假設(shè)、分析內(nèi)在規(guī)律等工作的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)的符號(hào)和語(yǔ)言，把它表述為數(shù)學(xué)式子，也就是數(shù)學(xué)模型（Mathematical Model），然后用通過計(jì)算得到的模型結(jié)果來(lái)解釋實(shí)際問題，并接受實(shí)際的檢驗(yàn)。這種應(yīng)用知識(shí)從實(shí)際問題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過程就稱為數(shù)學(xué)建模。

數(shù)學(xué)模型是一種模擬，是用數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)式子、程序、圖形等對(duì)實(shí)際問題本質(zhì)屬性的抽象而又簡(jiǎn)潔的刻劃。數(shù)學(xué)模型一般并非現(xiàn)實(shí)問題的直接翻版，它的建立常常既需要人們對(duì)現(xiàn)實(shí)問題深入細(xì)微的觀察和分析，又需要人們靈活巧妙地利用各種數(shù)學(xué)知識(shí)。它和真實(shí)的事物有著本質(zhì)的區(qū)別。那通過怎樣的流程，能夠?qū)?shí)際問題與數(shù)學(xué)模型有機(jī)地融合在一塊呢？以下利用數(shù)學(xué)中的直線對(duì)稱模型來(lái)解決生活中的一類實(shí)際問題。

【問題情景】在一條河道（近似直線）的一邊有A、B兩個(gè)村莊，設(shè)A、B到河道的垂直處分別為C、D，經(jīng)測(cè)量AC=2km，BD=3km，CD=4km，現(xiàn)欲在河道邊建造一個(gè)小型自來(lái)水廠，給A、B兩村提供生活用水，問自來(lái)水廠建在什么位置，使鋪設(shè)到A、B兩村所用水管的總長(zhǎng)最節(jié)省？鋪設(shè)水管的總長(zhǎng)最小值是多少？

【模型假設(shè)】本題是一個(gè)實(shí)際生活中的應(yīng)用問題，把它放在數(shù)學(xué)中，設(shè)自來(lái)水廠建造位置為M，實(shí)際上就是求AM+BM的最小值（如圖）。如何求最小值呢？因?yàn)锳MB是一條折線，我們能不能把這三個(gè)點(diǎn)拉到同一條直線上來(lái)呢？這就需要利用數(shù)學(xué)中的對(duì)稱方法來(lái)實(shí)現(xiàn)了。下面我們先來(lái)看看，數(shù)學(xué)中是怎樣求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于一條直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)的？

【模型準(zhǔn)備】一個(gè)點(diǎn)關(guān)于一條直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)的求法：

設(shè)點(diǎn)P（x0，y0）關(guān)于直線l：Ax+By+c=0的對(duì)稱點(diǎn)為Q（x'，y'），那怎樣來(lái)求x'，y'的值呢？在解析幾何中是從以下兩個(gè)方面著手考慮的：

【模型建立】在前面的問題中，問自來(lái)水廠建在什么位置，使鋪設(shè)到A、B兩村所用水管的總長(zhǎng)最節(jié)?。ㄈ鐖D）。下面我們一起來(lái)利用數(shù)學(xué)中的關(guān)于直線對(duì)稱問題的模型進(jìn)行探索：

首先作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)A'，根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)有AM=A'M，所以AM+BM=A'M+BM，故只需求出A'M+BM的最小值。根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，此時(shí)連接A'B，與直線CD的交點(diǎn)M， 就是自來(lái)水廠建造的位置。

【模型求解】以CD所在直線為x軸，CD的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系（如圖），依題意得，A（-2， 2），B（2， 3），作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，則A'（-2， -2）。

根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)，有AM=A'M，∴AM+BM=A'M+BM，故只需求出A'M+BM的最小值。根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，此時(shí)連接A'B，與直線CD的交點(diǎn)M，可使A'M+BM取最小值，所以點(diǎn)M就是自來(lái)水廠建造的位置。

而線段A'B的長(zhǎng)度就是自來(lái)水廠到A、B兩村鋪設(shè)水管總長(zhǎng)的最小值。

即AM+BM的最小值是6.4km。因此，自來(lái)水廠應(yīng)建在CD之間，離D點(diǎn)距離是2.4km處，而自來(lái)水廠到A、B兩村鋪設(shè)水管總長(zhǎng)的最小值是6.4km.

【模型分析】此問題中，看似求距離之和最小，實(shí)則通過分析我們發(fā)現(xiàn)，它實(shí)際上可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的對(duì)稱問題和兩點(diǎn)間的距離問題加以解決，這樣就建立了關(guān)于直線對(duì)稱問題的數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)了將實(shí)際生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題這一跨越，完成了數(shù)學(xué)建模這一高級(jí)進(jìn)程，這在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力方面，又邁上了一個(gè)新臺(tái)階，是一個(gè)非常重要的突破。

【模型驗(yàn)證】為什么自來(lái)水廠建在A'B與直線CD的交點(diǎn)處M時(shí)，才能使自來(lái)水廠到A、B兩村鋪設(shè)水管的總長(zhǎng)最節(jié)省呢？我們不妨在CD之間任取一點(diǎn)M'（異于圖中的點(diǎn)M）， 這時(shí)我們只需比較AM+BM與AM'+BM'的大小。根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)有：AM'=A'M'，所以AM'+BM'=A'M'+BM'，

因?yàn)锳M+BM=A'B，所以，轉(zhuǎn)換為比較A'B與A'M'+BM'的大小。

顯然，在△A'BM'中，有A'M'+BM'>A'B。所以，自來(lái)水廠只有建在A'B與直線CD的交點(diǎn)處M時(shí)，自來(lái)水廠到A、B兩村鋪設(shè)水管的總長(zhǎng)最節(jié)省。

這就充分驗(yàn)證我們求出的結(jié)果與現(xiàn)實(shí)生活中的處理方法是相符的，是完全合理的。

【模型應(yīng)用】從上面實(shí)例我們知道，利用直線對(duì)稱的模型，解決了生活中關(guān)于距離之和的最小值問題，現(xiàn)在我們進(jìn)一步運(yùn)用這個(gè)模型，來(lái)解決生活中的類型問題。

【題】已知A（0，0）、B（4，0）、C（0，4）， 光線從邊AB的中點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA發(fā)射后又回到原來(lái)的點(diǎn)P（如圖）.則光線所經(jīng)過的路程等于（? ? ）

A.2? 10 ? ? B.1 ? ?C.3? 3? ? ? ? D.2? 5