淺談解題的大方向

關(guān)傳平

【摘要】如果說(shuō)燈塔是茫茫大海中的一抹亮光，那么解題方向就是浩瀚題海中的成功向?qū)?，方向是解題之本，是解題路上的星辰，引導(dǎo)我們沿著正確的道路前行。所謂解題的大方向，就是從總體上化難為易、從混沌到有序、拉近條件和結(jié)論等。在把握大方向的前提下，再探尋并確定具體的解題方法。

【關(guān)鍵字】數(shù)學(xué)? ?解題

【中圖分類號(hào)】G633.6【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A【文章編號(hào)】1992-7711（2020）08-157-01

方向一：化難為易、化繁為簡(jiǎn)

例1已知函數(shù)? ? ? ? ? ? ? ? ?，? ? ? ? ? ? ?對(duì)任意的? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 都有? ? ? ? ? ? 的圖像在? ? ? ? ? ? ?圖像的上方，求m的取值范圍。

解析：因?yàn)閷?duì)任意的? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?都有? ? ? ? ? ? ?的圖像在

圖像的上方，所以? ? ? ? ? ? ? ? ?，對(duì)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?恒成立，即m< ex-xlnx對(duì)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?恒成立，令? ? ? ? ?=? ex-xlnx ，則只需求p（x）在? ? ? ? ? ? ? ? ? 上的最小值即可，轉(zhuǎn)化成求最值問(wèn)題，最值問(wèn)題是高中階段學(xué)生非常熟悉的問(wèn)題，從而實(shí)現(xiàn)了化難為易、化繁為簡(jiǎn)的目的。這也是我們經(jīng)常說(shuō)的熟悉化原則，就是把不熟悉的知識(shí)和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為教材上或大家熟知的知識(shí)和問(wèn)題，或者轉(zhuǎn)化成解題者曾經(jīng)解答過(guò)的問(wèn)題?，F(xiàn)在 處理? ? ? ?=? ex-xlnx在

的最小值，根據(jù)解析式的特點(diǎn)，應(yīng)該想到導(dǎo)數(shù)法，則? ? ? ? =? ex-lnx-1，如何判斷? ? ? ? ?的符號(hào)，常規(guī)的方法是繼續(xù)求導(dǎo)，求導(dǎo)? ? ? ? =? ? ? ? ? 后在? ? ? ? ? ? ? ? ? ?上的值有正有負(fù)，? ? ?有增有減，仍然不易確定? ? ? ?的符號(hào)，會(huì)陷入復(fù)雜的運(yùn)算當(dāng)中?，F(xiàn)在我們另辟捷徑，不等式ex≥x+1（x=0時(shí)取等號(hào)）和lnx≤x-1（x=1時(shí)取等號(hào)）是高中階段學(xué)生需要掌握的兩個(gè)重要的結(jié)論，所以在區(qū)間? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 上有：ex≥x+1>x>lnx+1，所以ex>lnx+1（這里是給出解題的方向，解答題使用時(shí)需要寫出簡(jiǎn)單地證明），即p'（x）= ex-lnx-1>0，p（x）在

上單調(diào)遞增，所以? p（x）>p（? ? ）=e -? ? ? ?ln? ? ? ?=? ?e+? ? ? ?ln3，故得：m≤? ?e+? ? ? ?ln3.復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，是數(shù)學(xué)永遠(yuǎn)追求的主題，這就要求我們解題時(shí)，要朝著簡(jiǎn)化的大方向前行，才能速戰(zhàn)速?zèng)Q。

方向二：從混沌到有序

例2已知關(guān)于x的函數(shù)f（x）=4-a-? ? ?（a∈R）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 的定義域?yàn)镈，存在區(qū)間[m，n]? D，f（x）的值域也是[m，n]，當(dāng)a變化時(shí)，試求n-m的最大值。

解析：本題求n-m的最值，而[m，n]只不過(guò)是定義域的一個(gè)子區(qū)間，恰好又是值域，解析式里面又含a，很難求出結(jié)果，使問(wèn)題處于混沌狀態(tài)，思路不清，方向不明，怎么辦？下面讓我們理順一下，弄清問(wèn)題的來(lái)龍去脈，從條件入手，先研究f（x）的性質(zhì)：f（x）=4-a-? ? ? （a∈R）的定義域D=（-∞，0）∪（0，+∞），a=0時(shí)顯然不滿足題意，則f（x）的單調(diào)性（-∞，0），（0，+∞）是在上單調(diào)遞增。由題意[m，n] ? D，則0?[m，n]，且m

因此滿足：

，也即是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，

問(wèn)題分析到此處，讓我們關(guān)注問(wèn)題解決的目標(biāo)，題意中給出的是當(dāng)a變化時(shí)，求n-m的最值，上面已經(jīng)找到它們之間的關(guān)系，于是用a表示n-m即可，所以

n-m=（m+n）2-4mn=（4-a）2-4·? a2=? -8a2-8a+16

= -8（a+? ? ?）+18

因?yàn)?2

方向三：拉近條件與結(jié)論

例3已知sin（? ? ? ?-α）=k，則sin（? ? ? ?+α）+cos（? ? ? ?-α）的值

是? ? ? ? ? ? ? ? .

解析：本題中給出的已知角是? ? ?-α，待求的角是? ? ? ?+α和? ? ? ?-α，尋找聯(lián)系，拉近條件和結(jié)論，因?yàn)? ? ? ?+α= π-（

-α）、? ? ? ?-α=? ? ? ?+ （? ? ? -α），所以由誘導(dǎo)公式可以得到：sin（? ? ? ?+α）=sin[ π-（? ? -α）]=sin（? ? ? ?-α）=k，cos（? ? ? ?-α）=

cos[? ? ? +（? ? -α）]=-sin（? ? ? ?-α）=-k，sin（? ? ? ?+α）+cos（

-α）=k+（-k）=0.

例4已知正四面體V-ABC，其內(nèi)切球的球心是O，半徑為3，線段PQ是球O的一條動(dòng)直徑（P、Q是直徑的兩端點(diǎn)），動(dòng)點(diǎn)M是正四面體V-ABC的表面上任意一點(diǎn)，則MP·MQ取值范圍是? ? ? ? ? ? ? ? ?.

解析：MP·MQ=（MO+OP）·（MO+OQ）=MO2+MO·（OQ+OP）+OP·OQ=MO2-9

由于正四面體的外接球的半徑與內(nèi)切球的半徑之比為3，這個(gè)結(jié)論我們可以證明，也要求學(xué)生需記住，方便解題，于是MO∈[3，9]，所以MO2-9∈[0，72]。這里面關(guān)鍵的一步是將MP用MO+OP表示，MQ用MO+OQ表示，為什么這樣表示，因?yàn)轭}中OP和OQ共線且反向，它們的模都是3，是已知的，其實(shí)就是用已知表示未知，從而拉近了條件和結(jié)論。一橋飛架南北，天塹變通途，解題如架橋，就是在條件和結(jié)論之間架起聯(lián)系的橋梁。

通過(guò)以上例題可以發(fā)現(xiàn)，解題時(shí)把握大方向至關(guān)重要。有時(shí)方向一開(kāi)始不太清晰，需要我們?cè)谔剿骱捅嫖鲋兄鸩矫鞔_，但無(wú)論如何，我們?cè)谔ぬ?shí)實(shí)解題的同時(shí)，不能只顧拉車，還要抬頭看路，尋找正確的大方向！