中小學(xué)圓形知識(shí)分布的研究現(xiàn)狀及研究意義

馬小麗

摘 要：幾何課程與教學(xué)改革一直是數(shù)學(xué)教育研究的熱點(diǎn)，其在培養(yǎng)學(xué)生三維空間能力、形象思維能力、合情推理、解析幾何觀念的樹(shù)立等方面發(fā)揮著重要作用。圓形是貫穿義務(wù)教育階段和高中階段的幾何課程內(nèi)容中的重點(diǎn)內(nèi)容之一，歷來(lái)有很多研究者對(duì)其進(jìn)行了多角度、多層面、多維度的研究和論述，但總體來(lái)看，在現(xiàn)有的聚焦平面幾何中圓形知識(shí)的研究成果中，大多是從幾何學(xué)的整體角度出發(fā)對(duì)整個(gè)平面幾何開(kāi)展的研究，鮮少出現(xiàn)具體的、有針對(duì)性地、專門(mén)性地對(duì)中小學(xué)圓形知識(shí)展開(kāi)詳盡的、系統(tǒng)的、專門(mén)的研究。

本文重在介紹幾何課程在國(guó)內(nèi)外研究的歷史和現(xiàn)狀，在詳實(shí)闡述和歸類關(guān)于幾何研究的文獻(xiàn)綜述的基礎(chǔ)上，提出了本文擬研究的問(wèn)題，闡明了研究的目的與意義，介紹了研究的方法與框架。

關(guān)鍵詞：義務(wù)教育階段;平面幾何;中小學(xué);圓形;呈現(xiàn)方式

中小學(xué)圓形知識(shí)分布的研究現(xiàn)狀及研究意義

數(shù)學(xué)中以空間形式（簡(jiǎn)稱形）為研究對(duì)象的分支，叫做幾何學(xué)。

斯托利亞爾曾指出：“幾何教學(xué)問(wèn)題是中等數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化的最復(fù)雜的問(wèn)題之一，它引起了廣泛的、世界性的爭(zhēng)論”[1]。作為理性思維培養(yǎng)最好的載體的幾何課程，成為國(guó)際上歷次數(shù)學(xué)課程改革的焦點(diǎn)。

圓形是貫穿中小學(xué)平面幾何課程的重要內(nèi)容，圓形是一種基本的幾何圖形，圓形是在環(huán)繞中心旋轉(zhuǎn)時(shí)唯一一種自己能沿著自己滑行的曲線，而且，圓形物體在生活中時(shí)時(shí)、處處存在。

筆者在閱覽國(guó)內(nèi)外大量文獻(xiàn)資料的基礎(chǔ)上，對(duì)有關(guān)幾何課程和圓知識(shí)的相關(guān)研究和有關(guān)文獻(xiàn)資料整理歸納如下：

（一）關(guān)于幾何思維水平分析的理論

1.范希爾理論

對(duì)充足的一線教學(xué)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行理論層面的概括和提升的范希爾理論，被國(guó)外許多國(guó)家引為數(shù)學(xué)課程編寫(xiě)的依據(jù)來(lái)設(shè)計(jì)幾何課程，該理論的主要觀點(diǎn)是：幾何思維水平有五個(gè)層次[2]，如圖所示：

2.李秉德教授的具體與抽象關(guān)系的理論

該理論指出：人類隨著年齡的增長(zhǎng)，思維中的具體成分和抽象成分是此消彼長(zhǎng)的關(guān)系。在中小學(xué)生求學(xué)階段，尤其是小學(xué)學(xué)習(xí)階段，由于小學(xué)生心智水平的不成熟和不穩(wěn)定性等因素的局限，小學(xué)生思維的主體就是具體成分;但到了中學(xué)階段乃至以后，中學(xué)生和高中生的思維中盡管思維中的抽象特質(zhì)已經(jīng)具備，但其思維中的具體成分依然大量存在[3]。如圖所示：

3. SOLO分類理論

在皮亞杰的發(fā)展階段論的基礎(chǔ)上，彼格斯（John B. Biggs）教授經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的研究和探索，形成了評(píng)測(cè)某人回答問(wèn)題時(shí)所展現(xiàn)的思維結(jié)構(gòu)的SOLO分類評(píng)價(jià)理論，即 “可觀察的學(xué)習(xí)成果結(jié)構(gòu)”（structure of the observed learning outcome），英文縮寫(xiě)為SOLO，意為：觀察到的學(xué)習(xí)成果的結(jié)構(gòu)。

（二）關(guān)于幾何教學(xué)的教學(xué)研究及實(shí)踐調(diào)查研究

1.教學(xué)研究方面

這方面的學(xué)術(shù)成果有：劉春曉的在評(píng)述義務(wù)教育階段幾何課程改革的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)分析了數(shù)學(xué)史指導(dǎo)下的幾何教學(xué)的途徑及在幾何教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)史的具體方案;王靜和張和平則分別在闡明幾何教學(xué)生活化和幾何直觀性水平的內(nèi)涵和特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，總結(jié)出初中幾何教學(xué)生活化的有效策略和幾何直觀性教學(xué)原則，對(duì)一線教育者有效開(kāi)展幾何教學(xué)提供了指導(dǎo)。不僅如此，有學(xué)者還從幾何教學(xué)的工具開(kāi)發(fā)和技術(shù)支撐方面的問(wèn)題進(jìn)行了探索，如江錫晨的《小學(xué)幾何教學(xué)支撐工具的設(shè)計(jì)和開(kāi)發(fā)》和劉君紅的關(guān)于“幾何畫(huà)板”在高中數(shù)學(xué)課堂中的引入的文章，探討了如何在教學(xué)中生動(dòng)形象地呈現(xiàn)幾何圖形的問(wèn)題;再則，聚焦幾何教學(xué)中某一領(lǐng)域的問(wèn)題，如幾何解題和幾何符號(hào)教學(xué)等方面，有代表性的文章有：張杰的《關(guān)于中學(xué)數(shù)學(xué)幾何機(jī)械化解題的教學(xué)研究》和徐媛的《義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)符號(hào)教學(xué)的研究》。

2.實(shí)踐調(diào)查研究方面

調(diào)查研究應(yīng)能采集有代表性的樣本和較強(qiáng)的操作性，得出的結(jié)論令人信服。華東師范大學(xué)于曉暉在甄別空間能力、空間想象力等概念的基礎(chǔ)上，開(kāi)展調(diào)查研究，經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)整理與分析，考慮了空間觀念的六個(gè)方面對(duì)學(xué)生空間觀念的發(fā)展影響，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生能夠形成表象并能在頭腦中對(duì)表象進(jìn)行操作，進(jìn)而給教師的幾何實(shí)際教學(xué)提出了一些建議。

（三）課標(biāo)解讀及課標(biāo)視角下對(duì)幾何教學(xué)某一角度的研究

現(xiàn)今時(shí)代日新月異的信息技術(shù)是教育的現(xiàn)代化在教育領(lǐng)域的卓越表現(xiàn)，而這也在一定程度上促進(jìn)了數(shù)學(xué)課程改革的步伐。文化是社會(huì)進(jìn)步的先導(dǎo)，課標(biāo)是教育的先導(dǎo)，在這方面，國(guó)外的很多國(guó)家，尤其是美國(guó)，走在了教育改革的最前方。日本也不甘落后，努力使自己在課程編排和指導(dǎo)思想上與時(shí)俱進(jìn)。世界各國(guó)紛紛推出了數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)來(lái)適應(yīng)新時(shí)代的數(shù)學(xué)教育需求。

在我國(guó)，課標(biāo)改革也在如火如荼地進(jìn)行著。2001年，教育部頒布了《基礎(chǔ)教育課程改革綱要（試行）》。2011年經(jīng)教育部批準(zhǔn)，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在全國(guó)范圍內(nèi)實(shí)行。

相應(yīng)的，在學(xué)術(shù)領(lǐng)域，出現(xiàn)很多解讀新課標(biāo)的著述和文章。孔凡哲等人立足國(guó)內(nèi)外中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)及各種版本的數(shù)學(xué)教材的對(duì)比分析，并結(jié)合新課標(biāo)的深入剖析，認(rèn)為：義務(wù)教育階段幾何教學(xué)旨在使學(xué)生在空間觀念、合情推理和演繹論證等方面獲得發(fā)展。

與此同時(shí)，涌現(xiàn)出了許多從新課標(biāo)的視角對(duì)數(shù)學(xué)中“空間與圖形”的研究和教學(xué)方式的實(shí)踐研究的文章，系統(tǒng)分析了新課標(biāo)中幾何教學(xué)的理念和要求，對(duì)教師幾何語(yǔ)言的運(yùn)用、幾何教學(xué)內(nèi)容的整合、教學(xué)方法的策略等方面都提供了可行性的建議。

（四）不同版本數(shù)學(xué)教材中幾何內(nèi)容的比較研究

在課標(biāo)的指導(dǎo)下，各地結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)際和教學(xué)資源，開(kāi)拓了不同版本的數(shù)學(xué)教材：人教版、北師大版、蘇教版、湘教版等，這些版本的數(shù)學(xué)教材在幾何知識(shí)呈現(xiàn)方式、課程的編寫(xiě)體例、課程難易程度和教學(xué)順序的設(shè)置等方面都有所不同。很多學(xué)者和教師亦對(duì)以上不同版本的數(shù)學(xué)教材中的幾何內(nèi)容從不同角度給予研究，如學(xué)者周遠(yuǎn)方對(duì)比分析了四套高中數(shù)學(xué)教材的結(jié)構(gòu)方式，經(jīng)過(guò)客觀對(duì)比分析后，針砭指出各個(gè)版本的數(shù)學(xué)教材的長(zhǎng)處和不足，為高中數(shù)學(xué)教材的編排出謀獻(xiàn)策。

（五）以“圓”作為分析載體的研究

總體來(lái)看，國(guó)內(nèi)外的文獻(xiàn)資料中對(duì)平面幾何中的“圓”進(jìn)行專題研究的著述并不多，但以圓形作為研究分析的載體的范例卻時(shí)有出現(xiàn)，如有用“圓”章節(jié)體現(xiàn)數(shù)學(xué)史運(yùn)用途徑的研究;有以“圓”概念的教學(xué)引出概念圖教學(xué)應(yīng)用性研究等。

（六）與圓知識(shí)有關(guān)的教學(xué)案例及教學(xué)實(shí)錄

在有關(guān)“圓”知識(shí)的文獻(xiàn)資料中，最多的莫過(guò)于與圓形知識(shí)有關(guān)的教學(xué)案例和教學(xué)實(shí)錄方面的資料。這些資料大都通過(guò)真實(shí)的課堂教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)，展現(xiàn)教學(xué)互動(dòng)，體現(xiàn)知識(shí)生成過(guò)程，從而彰顯教師的教學(xué)風(fēng)格，并有注重幾何知識(shí)源于生活，密切聯(lián)系生活的特征。

綜觀中小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的幾何知識(shí)，圓形是每個(gè)學(xué)段都需學(xué)習(xí)的重要的幾何課程內(nèi)容，是幾何部分中重中之重的內(nèi)容，但在現(xiàn)有研究中，并未涉及到對(duì)圓形知識(shí)展開(kāi)系統(tǒng)深入的探討，更沒(méi)有對(duì)在學(xué)段時(shí)間方面和學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)方面都具有較強(qiáng)銜接性和連貫性的中小學(xué)階段圓形知識(shí)的分布情況和分布特征等方面的系統(tǒng)分析。

畢達(dá)格拉斯說(shuō)：“一切平面圖形中最美的是圓”[4]。圓是一種基本的、和諧的、美麗的、具有同一形狀的特殊的幾何圖形。其作為幾何圖形之一，有獨(dú)特的區(qū)別與其他幾何圖形的特性。同時(shí)，圓知識(shí)也是貫穿義務(wù)教育和高中教育的幾何課程內(nèi)容，在平面幾何占有舉足輕重的地位。

回顧之前數(shù)學(xué)學(xué)者及教育從業(yè)者的研究，基本上是從總體上對(duì)平面幾何知識(shí)進(jìn)行探討與研究，并沒(méi)有學(xué)者對(duì)具體的圓形知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)的研究，本文擬通過(guò)對(duì)圓形知識(shí)的系統(tǒng)研究和分析，希望通過(guò)對(duì)圓形知識(shí)在不同學(xué)段的知識(shí)特征的研究，結(jié)合學(xué)生的幾何思維水平，進(jìn)一步分析學(xué)生該怎樣更好地學(xué)習(xí)圓形知識(shí)，老師應(yīng)如何高效地教授圓形知識(shí)，進(jìn)而將研究成果和結(jié)論拓展和應(yīng)用到一般的平面幾何課程內(nèi)容的實(shí)際教學(xué)過(guò)程中。