清源正本, 剖決如流

田靜

【摘要】通過梳理教學(xué)教材安排，分析學(xué)生已有學(xué)情，深度鉆研除法算理算法，總結(jié)除法豎式難教難學(xué)的五大難點(diǎn)，提出八點(diǎn)教育教學(xué)建議，希望降低學(xué)生學(xué)習(xí)難度，提升教育教學(xué)效果。

【關(guān)鍵詞】筆算除法;難點(diǎn);對策

數(shù)的運(yùn)算是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的重要組成部分，是解決生活問題中常見的計算方法。除法又是四則運(yùn)算中的難點(diǎn)之一，教師們都知道除法豎式教學(xué)難，卻不知道為什么難，所以一般是采用講授法講解除法的算理算法，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程則是通過積累大量練習(xí)，逐漸摸清算理算法掌握規(guī)律。通過梳理教學(xué)教材安排，分析學(xué)生已有學(xué)情，鉆研除法算理算法，筆者希望能提升教師的教學(xué)效果，降低學(xué)生學(xué)習(xí)難度，減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。

一、問題難點(diǎn)

1.運(yùn)算順序

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)普遍都是螺旋上升的，前面所學(xué)知識為后序知識點(diǎn)做奠基、類推和遷移，但是有些知識卻為后續(xù)學(xué)習(xí)帶來負(fù)向遷移，比如，四則運(yùn)算。小學(xué)階段數(shù)的運(yùn)算學(xué)習(xí)過程是按照加法、減法、乘法和除法的順序來學(xué)習(xí)，三年級之前所學(xué)的加法、減法、乘法的運(yùn)算順序，全部都是從低位算起，只有除法卻是從高位算起。人教版三年級下冊第二單元教材，安排先教學(xué)42÷2，后教學(xué)52÷2。動手操作小棒探究42÷2時，有的學(xué)生基于之前加、減、乘的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，會選擇先平均分2根，再平均分4捆;有的學(xué)生基于生活經(jīng)驗平均分時先平均分多的，也就是整捆的十位，再平均分少的單根的，也就是個位;兩種平均分的方法在十位和個位都沒有余數(shù)時都可以，這就為學(xué)生辨析除法到底是從高位算起還是從低位算起，制造了困難，很多學(xué)生通過42÷2往往感知除法既可以從高位除起，又可以從低位除起，帶著這種負(fù)面知識認(rèn)知，到之后的例二——52÷2時，才深刻體會除法是從高位除起，和加、減、乘運(yùn)算順序是相反的。

2.書寫格式

加、減、乘的豎式書寫分別是以下格式：

但是除法豎式的書寫格式卻完全不同，格式如下：

關(guān)于除法豎式的第一次教學(xué)安排在二年級下冊，根據(jù)艾賓浩斯遺忘曲線，經(jīng)過兩個學(xué)期時間的推移，在第二單元的復(fù)習(xí)課上，經(jīng)筆者實際調(diào)查，約74%的學(xué)生已經(jīng)將除法豎式格式記憶成和加、減、乘相似的豎式書寫格式。加、減、乘的豎式書寫格式在學(xué)生頭腦中已經(jīng)形成思維定勢，類推出除法豎式格式也是類似，對學(xué)生掌握除法豎式書寫格式造成負(fù)向遷移。

3.逆向思維

三年級第二學(xué)期的學(xué)生都能熟練掌握乘法口訣，但是除法是乘法的逆運(yùn)算，思考過程中需要逆向思考，而除法計算過程中往往不能整除，運(yùn)用乘法口訣時試商時，學(xué)生選擇合適乘法口訣的思考過程是非常復(fù)雜的，必須經(jīng)過實踐探究平均分的過程，理解每次平均分的結(jié)果的含義和由來，才能深刻領(lǐng)會，積又要比被除數(shù)小還得最接近被除數(shù)。

4.運(yùn)算綜合性

加、減、乘的運(yùn)算中，一般只有一種運(yùn)算，乘法涉及進(jìn)位時才會有兩種運(yùn)算，但除法豎式的計算過程中，試商要運(yùn)用乘法，被除數(shù)減去乘積運(yùn)用減法，整個平均分的過程是除法，一共綜合運(yùn)用三種運(yùn)算，在算法方面就相對復(fù)雜，學(xué)生學(xué)習(xí)過程中就覺得困難。

5.余數(shù)要比除數(shù)小

往往老師們覺得“余數(shù)要比除數(shù)小”是在有余數(shù)除法時才進(jìn)行教學(xué)的，但實際上學(xué)生的真正學(xué)情是，每一次除法的試商都要運(yùn)用這一結(jié)論。而“余數(shù)比除數(shù)小”又囊括了兩種情況，一種是余數(shù)比除數(shù)大，一種是余數(shù)等于除數(shù)，這就成為學(xué)生豎式試商過程中最大的難點(diǎn)。

二、建議

1.復(fù)習(xí)

講授三年級下冊第二單元口算除法前，先安排一節(jié)復(fù)習(xí)課，復(fù)習(xí)內(nèi)容主要有三方面：

（1）理解除法含義

復(fù)習(xí)除法的含義，使學(xué)生感知除法的兩個特征：一是平均分，目的不是根據(jù)乘法口訣快速說出平均分的結(jié)果，而是使學(xué)生在動手操作過程中，先一個一個地分，再兩個兩個的分……感受內(nèi)化平均分的過程，理解余數(shù)如果等于或大于除數(shù)，還可以繼續(xù)進(jìn)行平均分。二是包含除，乘法的本質(zhì)可以理解為相同加數(shù)相加，除法是乘法逆運(yùn)算，相對來說，除法就可以理解為連續(xù)減去相同的數(shù)，如果沒有剩余就叫整除，有剩余就是有余數(shù)的除法。

（2）復(fù)習(xí)筆算除法格式

加法、減法、乘法的豎式書寫格式都有點(diǎn)類似，筆算除法的書寫格式卻與加它們完全不同，經(jīng)過兩個學(xué)期，很多學(xué)生已經(jīng)完全遺忘除法豎式書寫格式，為了能順利進(jìn)行第二單元教學(xué)，尊重學(xué)生已有學(xué)情，有必要進(jìn)行筆算除法格式的復(fù)習(xí)。

（3）構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

2011版《新課標(biāo)》中強(qiáng)調(diào)“從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展?！睂W(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，應(yīng)該經(jīng)歷的過程應(yīng)先是看山是山，看水是水;然后看山不是山，看水不是水;最后總結(jié)規(guī)律構(gòu)建模型升華為看山仍然山，看水仍然是水。三年級下學(xué)期第二單元以前，運(yùn)用除法一共有三種模型，分別是平均分、每幾個一份能分成幾份以及倍數(shù)關(guān)系，只有構(gòu)建了三種模型，學(xué)生在解決問題以及應(yīng)用時才能正確運(yùn)用所學(xué)知識。

2.生活情景引入

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)相對抽象，即使通過動手操作擺小棒，學(xué)生也很難理解除法為什么從高位算起，為此，課前談話引入，筆者設(shè)計如下：

【片段1】

師：同學(xué)們，上學(xué)期期末，我們班級購買冬季厚版班服的事情還記得嗎？

生：記得。

師：假如同一天田老師還需給你們每人發(fā)放一套夏版班服的話，你猜田老師會先發(fā)夏裝還是冬裝呢？為什么呢？

生1：先發(fā)夏裝，因為夏裝薄比較好發(fā)。

生2：先發(fā)冬裝，因為我們班冬裝很厚重，很占地方，當(dāng)時把講臺都放滿了，田老師肯定先發(fā)冬裝。

師：你們的想法呢？同意生1的請舉手，同意生2的請舉手。

生舉手投票，96%的同學(xué)支持第二種。

師：是啊，生活中，我們分發(fā)物品會先分發(fā)多的，后分發(fā)少的，那平均分的除法呢？這節(jié)課讓我們一起來探究下吧！

3.教學(xué)順序

教材的設(shè)計是，先教學(xué)42÷2，后教學(xué)52÷2，動手操作小棒探究42÷2時，有的學(xué)生基于之前加、減、乘的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，會選擇先平均分2根，再平均分4捆;有的學(xué)生基于生活經(jīng)驗平均分時先平均分多的，也就是整捆的十位，再平均分少的、單根的也就是個位;兩種平均分的方法在十位和個位都沒有余數(shù)時都可以，這就為學(xué)生辨析除法到底是從高位算起還是從低位算起，制造了困難，很多學(xué)生通過42÷2往往感知除法既可以從高位除起，又可以從低位除起，帶著這種負(fù)面知識認(rèn)知，再學(xué)習(xí)52÷2時，很多學(xué)生就不知道該先平均分十位還是個位，所以筆者建議先教學(xué)52÷2，再教學(xué)42÷2，讓學(xué)生在探究52÷2時，深刻感知先平均分十位再平均分個位，進(jìn)而小結(jié)規(guī)律，先從高位算起，一位一位算。

4.實踐探究

三年級第二學(xué)期之前，運(yùn)用除法的三種情況分別是平均分、每幾個一份能分成幾份以及倍數(shù)關(guān)系，但筆算豎式時，我們只將除法豎式看作第一種含義，就是平均分，例如52÷2，為了讓學(xué)生深刻感知平均分的含義，一定要讓學(xué)生經(jīng)歷實踐操作擺小棒的過程，教學(xué)過程中向?qū)W生提出第一個疑問，先平均分整捆的，還是先平均分單根的。經(jīng)過動手探究感知兩個結(jié)論，一是平均分時先分整捆的，也就是豎式計算時從高位算起，二是余數(shù)要比除數(shù)小才能算下一位，如果余數(shù)等于或者大于除數(shù)就還可以再次平均分，商就要適當(dāng)調(diào)整。

5.理解算理

數(shù)學(xué)真正的魅力在于培養(yǎng)人的數(shù)學(xué)思維和激發(fā)人的數(shù)學(xué)思考，如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促使學(xué)生主動思考呢？就是在日常教學(xué)中，不僅使學(xué)生會數(shù)學(xué)，還要懂原理，對于除法豎式來說，就是不僅會算法，還要會算理，能真正理解除法的含義，掌握平均分的過程，理解筆算除法的算理，才能活學(xué)活用、舉一反三，擴(kuò)寬數(shù)學(xué)思維的廣度，增進(jìn)數(shù)學(xué)思考的深度。

6.培養(yǎng)數(shù)感

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中的數(shù)感培養(yǎng)主要包括“理解數(shù)的意義;能用多種方法表示數(shù);能在具體的情境中把握數(shù)的相對大小;能用數(shù)表達(dá)和交流信息;能為解決問題選擇適當(dāng)?shù)乃惴?能估計運(yùn)算的結(jié)果等等?！惫P算除法的數(shù)感培養(yǎng)目標(biāo)是，在筆算除法過程中，把握商和除數(shù)的積與被除數(shù)之間的相對大小，那如何培養(yǎng)學(xué)生的這方面數(shù)感呢？首先落實學(xué)生乘法口訣的正確率和速度，其次提高除法口算（一位數(shù)除兩位數(shù)、整百整十?dāng)?shù)）的正確率和速度，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生試商調(diào)商過程中的數(shù)感。

7.總結(jié)算法

通過以上建議操作，學(xué)生會深刻感知除法的含義、理解除法的算理、掌握并運(yùn)用“余數(shù)小于除數(shù)”的原理，但是還要抽象總結(jié)概括出除法豎式算法，幫助學(xué)生梳理條理、理清思路，構(gòu)建筆算除法的模型，使學(xué)生能有效利用所學(xué)算理算法正確進(jìn)行筆算除法。

8.拓展一位數(shù)除多位數(shù)

通過課堂生成反饋，學(xué)生對于一位數(shù)除兩位數(shù)、多位數(shù)時，一位一位除理解還是不夠深刻。數(shù)學(xué)教學(xué)的知識點(diǎn)不應(yīng)該是孤島似的閃爍各自光芒，而應(yīng)該是網(wǎng)狀互動的，結(jié)合維果茨基的“最近發(fā)展區(qū)理論”，可以適當(dāng)拓展知識，比如，一位數(shù)除以六位數(shù)（每一位都有余數(shù)）這種情況，學(xué)生在具體情境中感知數(shù)學(xué)的知識是通用的，也是為以后學(xué)習(xí)做好鋪墊。

筆算除法是人教版三年級下冊最難教學(xué)的內(nèi)容之一，很多老師感慨學(xué)生怎么都教不會，反復(fù)練習(xí)又事倍功半，就是因為我們沒有尊重學(xué)生的基本學(xué)情。陶行知先生提出教的法子根據(jù)學(xué)的法子、學(xué)的法子根據(jù)做的法子。我們的教學(xué)應(yīng)當(dāng)永遠(yuǎn)以學(xué)生“如何做”為導(dǎo)向，尊重學(xué)生已有知識經(jīng)驗，找到知識點(diǎn)之間的聯(lián)系與區(qū)別，這樣才能切實有效提高教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.1.