過程式板書：讓數學核心問題留痕

張衛(wèi)星

（浙江省臺州市仙居縣田市鎮(zhèn)中心小學）

數學板書主要呈現數學核心知識點。在提倡數學核心素養(yǎng)落地的當下，數學板書的引領作用顯得越來越重要。數學核心問題既為核心知識點的落實服務，也為學生核心素養(yǎng)的生成服務。從教學方法和教學目標的角度來說，數學板書和數學核心問題的目的是一致的，那就是為學生的學習服務。如果能將核心問題與數學板書融為一體（過程式板書），那么對學生學習的促進作用就更大。

過程式板書既要呈現學習過程，又要呈現核心問題的引領過程，既要呈現核心知識點，又要呈現這個知識點的產生過程。我探究了過程式板書的設計，并通過設計讓數學核心問題留痕，讓課堂學習更有效。

一、凸顯知識本質：在比較中留痕

比較是數學中常見的思想方法之一，是促進學生思維發(fā)展的手段。比較還是學習數學的重要方式，通過比較，可以凸顯知識本質，便于學生更清晰地掌握，而滲透比較思想的核心問題可以更好地引領學生展開學習。因此，借助比較讓，核心問題在板書上留痕，既可以提升學生的學習效果，又可以讓學生感悟比較的數學思想。

人教版《義務教育教科書·數學》四年級上冊“畫垂線”是一節(jié)典型的技能課。畫垂線的技能如果能夠通過比較的方式呈現出來，那么學生的感悟效果也就更加明顯。我在分析教材后提煉出了“畫垂線”的核心問題：如何畫垂線？能畫幾條？垂線和距離有什么異同？為了突出這幾個核心問題，我設計了五次比較的場景：一是畫點在直線上的垂線的范式和變式；二是畫點在直線外的垂線的范式和變式；三是畫同一條直線上的不同垂線；四是過一點畫直線的幾條線段；五是畫平行線之間的幾條垂線。通過這樣五次比較并且在黑板上留下痕跡（如圖1），學生就可以清晰地知道垂線的畫法，過一點只能畫一條垂線，一條直線上的所有垂線互相平行，從一點到直線的垂直線段最短，平行線之間的距離處處相等。這也是核心問題引領學生學習的一種新方式。

圖1

人教版《義務教育教科書·數學》四年級上冊“筆算除法”一課，教材安排了兩課時進行教學，第一課時教學四舍法試商，第二課時教學五入法試商。我認為，把這兩個課時整合在一起教學更有利于學生的比較，從而讓學生真正掌握四舍法和五入法試商的特征。為此，我設計了這一節(jié)整合課的核心問題：四舍法試商可能會發(fā)生什么現象？五入法試商可能會發(fā)生什么現象？兩者有何不同？借助板書，學生容易理解四舍法試商，初商容易變大，要調?。晃迦敕ㄔ嚿?，初商容易偏小，要調大。最后的驗算方法，學生基本都能理解。把兩種試商方法放在一起比較，學生能夠更好地理解兩種試商方法的特征和優(yōu)勢，便于學生深刻領會。事實上，板書（如圖2）的過程就是核心問題引領下學生學習的過程。

圖2

二、積累活動經驗：在體驗中留痕

體驗是個體主動親歷或虛擬地親歷某件事并獲得相應的認知和情感的直接經驗的活動。數學體驗式學習是指學生在教師的組織、引導和合作下，在一定的情境下參與特定的數學活動，經歷數學知識的形成和應用過程，從而積累數學活動經驗，更好地獲取知識、應用知識、解決問題。因此，數學核心問題應努力把學生的數學學習引向體驗式學習，讓學生在自主體驗中真正感悟數學知識的本質。在板書中，可以通過示意圖建立數學模型、通過流程圖進行清淅展示來留下體驗的痕跡。

人教版《義務教育教科書·數學》四年級上冊“烙餅問題”是一節(jié)經典的數學思維課，我連續(xù)四年任教這一內容，之前三年都著眼于例題，努力建構烙餅模型：“烙餅的最短時間=餅的張數×烙一面的時間”。這一模型在“每次最多烙兩張餅”這一條件下普適性很強，但如果這一條件發(fā)生改變，就沒有了普適性，又要重新建構模型。前三年中，我都要建兩個烙餅模型，使得自己很辛苦，也使得有些學稀里湖涂。今年，我進行了教學改進，著力建立一個普適的模型?；诖?，我設計了如下的核心問題：烙3張餅，如何最省時？烙餅時間和烙餅次數有什么關系？烙餅次數如何算？在烙2張餅的時候，讓學生感受同時烙可以節(jié)省時間，當然應該在板書上留下痕跡。烙3張餅是本課的核心內容，必須安排學生動手體驗，讓學生積累烙餅經驗，真正感受到同時烙的優(yōu)勢，利用示意圖留下痕跡。在此基礎上，引導學生順勢推導出烙4張餅、5張餅、6張餅的時間，然后引導學生通過觀察得出如下這些結論：烙餅次數=烙餅張數（每次烙2張餅時）；烙餅次數=餅的張數×2÷每次烙幾個面；烙餅的最短時間=烙餅次數×烙一面的時間。當我把這些模型留在黑板上時（如圖3），這樣的板書既呈現出烙餅過程，又呈現出核心問題的引領過程，讓學生真正經歷了烙餅及思考的過程。

圖3

人教版《義務教育教科書·數學》四年級數學上冊《合理安排時間》，是一節(jié)適合學生自己探索、自己體驗的思維活動課，前提是要事先給予學生安排整理的方法——畫流程圖，還要事先提醒學生同時做的事情可以放在流程圖的同一個框內（如圖4）。為此，筆者設計了如下的核心問題：你能利用流程圖將下面的事情有序安排，保證所花時間最少嗎？如何合理安排，可以節(jié)省時間？當學生在經歷思考和畫流程圖后，會你一言、我一句地總結出合理安排時間的兩條原則：一是要關注事情的先后順序，二是要關注能同時做的事情同時做。只有這兩條原則都符合了，所花的時間就是最少且最合理。當然，黑板的清晰展示，可以給學生一個較好的示范。最后的板書既是核心問題的清晰呈現，更是學生體驗過程的展示，讓學生清晰地感悟合理安排時間的竅門所在。

圖4

三、親歷合情推理：在歸納中留痕

歸納推理是從特殊到一般的推理方法，即依據一類事物中部分對象的相同性質推出該類事物都具有這種性質的一般性結論的推理方法。歸納推理往往是在人們實踐經驗的基礎上得出結論的，是合情推理的一種常見方式，在小學數學教學中經常用到。因此，教師在遇到需要歸納推理的內容時，一定要精心設計好核心問題，然后引領學生投入到歸納推理中。當學生親歷這個過程時，就親歷了合情推理，學生的數學思維就能得到一次深度發(fā)展。

人教版《義務教育教科書·數學》四年級上冊“除法的規(guī)律”一課，教材涉及三種除法規(guī)律，即除數不變規(guī)律、被除數不變規(guī)律、商不變規(guī)律。而要在一節(jié)課內發(fā)現這三種規(guī)律對于四年級學生來說還是比較困難的，即使能發(fā)現，在綜合運用時也容易混淆。如何清晰歸納出這三種規(guī)律呢？我設計了如下這組核心問題：結合黑板上的三組算式，想一想除數不變的時候，被除數和除數如何變化？被除數不變的時候，除數和商如何變化？商不變的時候，被除數和除數到底發(fā)生什么變化？設計時直接指向黑板上事先寫好的三組算式，做到數形結合，讓學生的思維有所依靠。借助這三組算式，選取從上往下和從下往上兩個視角，學生會在不斷交流中初步歸納推理出這三種規(guī)律。在此基礎上，我繼續(xù)引導學生關注相應的關鍵詞和條件，學生基本上能夠理解這三種規(guī)律（如圖5）。這樣，每一種規(guī)律都是師生共同歸納推理出來的，板書也是師生一起完成的，學生對這三種規(guī)律就會有一種親切感，能夠把握其實質。

圖5

人教版《義務教育教科書·數學》四年級上冊“田忌賽馬”這一課，教材首先讓學生通過有序排列感受田忌和齊王賽馬的所有方式（一共6種），田忌獲勝的次數為什么只有1次？這1次獲勝的原因是什么？從而使學生明白田忌獲勝的理由：一是讓對方先出馬；二是以弱勝強，即用最差的馬和齊王最好的馬比賽。為此，我設計了如下這組核心問題：田忌和齊王對陣一共有幾種方式？請有序排列出來。為什么田忌獲勝的次數只有1次？田忌獲勝的理由是什么？其實，當學生有序地排列出各種對陣的方式并且在黑板上呈現出來時（如圖6），就有了共同觀察、思考、討論的素材。學生就很容易就能得出獲勝的理由，而這理由就是本節(jié)課所滲透的策略思想。羅列對陣方式是一種排列的過程，而后續(xù)的分析討論則是歸納推理的過程。由于注重過程，既實現了目標，又在黑板上留下了痕跡，還便于學生及時回顧鞏固。

圖6

四、構建知識體系：在溝通中留痕

邏輯性強、連貫緊密是數學的特點之一。溝通知識之間的內在聯系，使學生獲得知識、形成技能，并不斷將這些知識和技能納入原有的知識體系，是數學教學的價值追求。在教學中，我們不能單一、孤立地教給學生知識和技能，而是要將已學知識和技能進行系統(tǒng)化、整體化，注意知識和技能間的內在聯系，形成良好的認知結構，引導學生從不同的角度利用多種方法去思考問題、解決問題。因此，在設計核心問題和數學板書時，要根據教學內容適時溝通知識之間的關系，引導學生建構起一個邏輯緊密的知識體系，便于學生順利感悟。

人教版《義務教育教科書·數學》四年級上冊“平行四邊形的認識”一課，其主要教學目標是引導學生建立平行四邊形的觀念，使他們學會畫平行四邊形底邊上的高，溝通平行四邊形和長方形及正方形之間的關系，在操作中感悟平行四邊形容易變形的特性以及變形過程中的變與不變。為此，我設計了如下的核心問題：利用手中的學具探索平行四邊形有什么特點？平行四形和長方形及正方形之間有什么關系？如何畫平行四邊形的高？把長方形學具拉成平行四邊形，什么變了？第一個問題，學生借助手中的學具，再加上課件的動態(tài)演示，能夠比較清晰地得出平行四邊形的三大特征：對邊平行、對邊相等、對角相等。第二個問題，我先出示一組四邊形讓學生判斷是不是平行四邊形，然后揭示平行四邊形的概念，接著引領學生溝通平行四邊形和長方長及正方形之間的關系，最后在學生充分說理后用集合圖表示出它們之間的關系。第三個問題，我先和學生一起畫高，接著讓學生說一說高的特點，最后揭示高的概念，強調畫高的要點。第四個問題同樣要讓學生先操作，在操作基礎上提出問題，引領學生思考。借助學具，學生基本上能夠得出變與不變的內容。這樣一來，既讓核心問題的引領作用充分發(fā)揮，同時又把相應的提煉和溝通過程在黑板上呈現了出來（如圖7），讓學生真正感受到了數形結合的巨大魅力，真正厘清了知識的本質。

圖7

人教版《義務教育教科書·數學》四年級上冊“商不變規(guī)律的運用”一課，教學目的之一是利用商不變規(guī)律讓計算簡便。教材呈現了三種類型：一是被除數和除數的末尾都有0，但沒有余數；二是被除數和除數的末尾都有0，但有余數；三是把除數轉化成整十、整百的數，被除數發(fā)生相應變化。為此，我設計了如下這組核心問題：為什么被除數和除數要劃掉相同個數的0？有余數的時候怎么處置？如果用遞進等式計算，如何簡便？教學時，我先把這四個算式事先在黑板上寫好，然后和學生一起經歷計算的過程，在相互交流、反思、糾正中得到了正確答案。最后，將其過程在黑板上留下來（如圖8）。第一個問題，重在讓學生理解劃掉相同個數的0的理由；第二個問題，重在通過驗算讓學生明白余數如何處置，自己總結出“商不變，余數要變”的結論。第三個問題，重在運用商不變規(guī)律，把除數變成整十、整百的數，然后被除數發(fā)生相同變化。事實表明，通過這樣的方式，學生的學習興趣較高，知識點的落實效果較好。

圖8

總之，核心問題導學的實質是用少數幾個精準的問題引領學生展開數學學習，而選擇性板書則將核心問題導學的痕跡留在黑板上。事實證明，選擇性板書既可以讓學生的學習思路更加清晰，又可以讓學生的思維有所依托。更為重要是，可以把學生的學習過程呈現出來，讓學生的學習興趣明顯增強，讓數學學習向深度發(fā)展，從而讓數學核心素養(yǎng)真正落地。