小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的優(yōu)化路徑

芮金芳

（江蘇省溧陽市平橋小學(xué)）

結(jié)構(gòu)，在《現(xiàn)代漢語詞典》中解釋為“組成整體的各部分的搭配和序列”。皮亞杰認(rèn)為，認(rèn)識不僅具有結(jié)構(gòu)，而且認(rèn)識是一個由從低級到高級不斷建構(gòu)、完善結(jié)構(gòu)的過程。布魯納則認(rèn)為，一個人在學(xué)習(xí)歷程中，不是簡單地把概念、信息、知識堆砌起來，各種知識之間充滿縱橫交錯的復(fù)雜聯(lián)系，是一個動態(tài)的結(jié)構(gòu)。小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)是指在大單元整合視野下，基于學(xué)生已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)，生長動態(tài)化的知識結(jié)構(gòu)體系，促進(jìn)學(xué)生個性化認(rèn)知的學(xué)習(xí)過程。在這個過程中，學(xué)生整體感悟知識結(jié)構(gòu)，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)發(fā)生，積淀數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。當(dāng)前，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中存在知識零散、學(xué)習(xí)淺層、思維離散等問題。在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成整體、系統(tǒng)、深度、結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。要達(dá)成這樣的目標(biāo)，需要找到小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的優(yōu)化路徑。

一、關(guān)聯(lián)核心要素，建構(gòu)“塊知識”的整體結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)概念是對數(shù)量關(guān)系、空間形式特征的概括，它是同類事物本質(zhì)特征聯(lián)合起來所形成的一種屬性。數(shù)學(xué)概念的形成是抽象、理性的。要讓學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念，需要把諸多相關(guān)聯(lián)的核心要素進(jìn)行一定的意義建構(gòu)，從而獲得對概念本質(zhì)的理解，形成良好的整體認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

如在教學(xué)“認(rèn)識分?jǐn)?shù)”一課時，一位教師提供了不同形狀的圖形，讓學(xué)生折一折、涂一涂，表示出他們的二分之一。這位教師精選結(jié)構(gòu)化的資源素材，用核心問題引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識之間的共同要素，引導(dǎo)學(xué)生提煉二分之一的本質(zhì)屬性。在這個過程中，學(xué)生結(jié)構(gòu)化地整體理解和掌握了分?jǐn)?shù)的知識。

圖1

師：如圖1，這些圖形的折法不同，涂色部分的形狀也不一樣，為什么都能表示是這張長方形紙的二分之一呢？

生：這些折法都是把一張長方形的紙平均分成兩份，涂色部分是其中的1份。所以，涂色部分都是長方形的二分之一。

師：除了這些折法，還有其他折法也能表示出這張長方形紙的二分之一嗎？

生：只要沿著長方形的中心點(diǎn)任意分成2份，都可以表示它的二分之一。（如圖2）

圖2

圖3

師：如圖3，這些圖形形狀各不相同，涂色部分的形狀也不一樣，為什么涂色部分也都能用二分之一表示呢？

生：不管圖形的形狀如何，只要把它平均分成2份，涂色部分是其中的1份，就可以用二分之一來表示。

學(xué)生在教師提供的豐富多樣、具有結(jié)構(gòu)化資源的素材中，從兩個維度即同一組內(nèi)圖形大小、形狀、顏色完全相同和不同組內(nèi)大小、形狀、顏色不相同進(jìn)行動作表征和圖形表征，在多次深度比較辨析中逐步剝離，去除分?jǐn)?shù)次要的、非本質(zhì)的特性，保留聚焦“只要平均分成2份，每份就是它的二分之一”符號表征的核心要義。在具有結(jié)構(gòu)性、整體性、關(guān)聯(lián)性素材的利用和比較中，學(xué)生對“二分之一”這個分?jǐn)?shù)核心概念的意義建構(gòu)，逐漸從模糊走向清晰、從單一走向多維、從零散走向整體，形成了比較完備的整體認(rèn)知結(jié)構(gòu)，也為后續(xù)進(jìn)一步學(xué)習(xí)“認(rèn)識一個整體的幾分之一”“分?jǐn)?shù)的意義”奠定了基礎(chǔ)。

二、深度理解算理，建構(gòu)“類知識”的方法結(jié)構(gòu)

學(xué)習(xí)是學(xué)生基于自身認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的一種再認(rèn)識、再提升、再生長。在整個小學(xué)階段的計算學(xué)習(xí)中，如何實(shí)現(xiàn)算理理解與算法建構(gòu)的有機(jī)統(tǒng)一，一直是整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)運(yùn)算中的核心問題。學(xué)生對于算理和算法的學(xué)習(xí)，主要體現(xiàn)在口算、估算、筆算中。筆算的算理和口算基本一致，但算法往往需要經(jīng)歷由“原始”到簡潔的規(guī)范過程，而且稍復(fù)雜的筆算算理與算法都是在簡單筆算基礎(chǔ)上延伸、發(fā)展而來的。

基于這樣的認(rèn)識，在教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法（不進(jìn)位）”時，我立足學(xué)生已有的口算經(jīng)驗(yàn)，通過對比和遷移，豐富了學(xué)生對筆算乘法類結(jié)構(gòu)特征的整體認(rèn)識和結(jié)構(gòu)把握，架構(gòu)起了多樣算法之間的內(nèi)在意義聯(lián)結(jié)。

如學(xué)習(xí)24×12時，我利用導(dǎo)學(xué)單呈現(xiàn)了口算、點(diǎn)子圖、豎式計算的三種方法。

拆分法：

24×10=240；24×6=144；

24×2=48；144×2=288。

240+48=288。

畫點(diǎn)子圖法： 豎式計算法：

不同的算法將學(xué)生原有計算經(jīng)驗(yàn)中“先拆再合”的思想充分展示了出來，使學(xué)生在結(jié)構(gòu)化對比、溝通中發(fā)現(xiàn)了這些不同算法之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。點(diǎn)子圖直觀地還原出了兩位數(shù)筆算乘法的算理意義，以形助數(shù)，幫助學(xué)生以直觀可視的方式理解了背后的算理。同時，它與口算中的“分步式”完全相同，幫助學(xué)生打通了“圖式—分步式—豎式”之間的結(jié)構(gòu)通道，在整體比較中找到了各算法之間的融通點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了由明確算理到建構(gòu)算法的自然過渡。（如圖4）

圖4

在形成兩位數(shù)筆算乘法一般計算方法后，我引導(dǎo)學(xué)生回顧以前學(xué)過的“兩位數(shù)乘一位數(shù)筆算乘法”，并提問：如果是三位數(shù)乘兩位數(shù)該怎樣算？任意數(shù)和兩位數(shù)相乘呢？任意數(shù)和三位數(shù)相乘呢？（如圖5）

圖5

皮亞杰曾說：“全部數(shù)學(xué)都可以按照結(jié)構(gòu)的建構(gòu)來考慮，而且這種建構(gòu)始終是開放的……這種結(jié)構(gòu)或者正在形成更強(qiáng)的結(jié)構(gòu)，或者由更強(qiáng)的結(jié)構(gòu)來予以結(jié)構(gòu)化?！睂W(xué)生從乘數(shù)一位數(shù)出發(fā)，在類推聯(lián)想到兩位數(shù)、三位數(shù)、甚至更多位數(shù)的計算中，在遷移與對比中，實(shí)現(xiàn)了整數(shù)乘法筆算的橫向整合，形成了整數(shù)筆算乘法一般化的“算理”結(jié)構(gòu)模型，構(gòu)建了筆算乘法的網(wǎng)狀關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，加深了對筆算乘法算理本質(zhì)的深度理解。

三、體悟策略思想，建構(gòu)“群知識”的意義結(jié)構(gòu)

“解決問題的策略”這個板塊的內(nèi)容是從三年級開始每冊安排的策略主題學(xué)習(xí)。具體內(nèi)容分布如表1。

表1 “解決問題的策略”內(nèi)容分布表

教材一共編排了8次“解決問題的策略”專題學(xué)習(xí)，雖然策略學(xué)習(xí)內(nèi)容不同，但教材在策略教學(xué)的體系編排結(jié)構(gòu)、內(nèi)容展開、過程推進(jìn)中都具有類似的關(guān)聯(lián)度。

（一）教材編排結(jié)構(gòu)上的關(guān)聯(lián)性

不管是哪一種策略教學(xué)，教材都按照解決問題的四大板塊展開，即“理解題意—分析關(guān)系—自主解答—回顧反思”，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷分析和思考問題的全過程。正如波利亞在《怎樣解題》一書中提到，解題過程一般包括四個步驟：弄清問題、擬定計劃、實(shí)施計劃、回顧反思。

（二）學(xué)習(xí)內(nèi)容展開上的關(guān)聯(lián)性

以五年級上冊“一一列舉的策略”為例。首先，以“王大伯圍柵欄”典型實(shí)際問題情境切入，激發(fā)學(xué)生了解這個策略是什么策略、它有什么作用、具體該怎樣實(shí)施的學(xué)習(xí)內(nèi)需；其次，結(jié)合具體數(shù)量關(guān)系的分析思考，逐步內(nèi)化“一一列舉”策略，初步感悟在解決什么問題時可以運(yùn)用這一策略；最后，隨著策略運(yùn)用解決問題中經(jīng)驗(yàn)的逐步累積，學(xué)生自覺形成靈活選擇策略解決問題的意識，并能學(xué)會自我監(jiān)控回望策略運(yùn)用的全過程。這樣的策略學(xué)習(xí)內(nèi)容展開邏輯，同樣適用于其他策略的學(xué)習(xí)。

（三）策略推進(jìn)過程中的關(guān)聯(lián)性

學(xué)生解決問題策略的形成不是一蹴而就的，它是一個潛移默化、循序漸進(jìn)的過程。所以，不管哪種策略的學(xué)習(xí)，都需要貫穿“策略需要—策略感知—策略體驗(yàn)—策略形成—策略應(yīng)用”這一學(xué)習(xí)線索，在策略學(xué)習(xí)中，學(xué)生只有將自身的學(xué)習(xí)經(jīng)歷提煉上升為策略經(jīng)驗(yàn)，方能充分體驗(yàn)與深刻理解不同策略的本質(zhì)要義。

布魯納認(rèn)為，掌握事物的結(jié)構(gòu)，就是以使許多別的東西與它有意義地聯(lián)系起來的方式去理解它。學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是了解他們之間是怎樣相互關(guān)聯(lián)的。在解決問題策略學(xué)習(xí)中我發(fā)現(xiàn)，任何一種策略學(xué)習(xí)都不是孤零零的一個節(jié)點(diǎn)，如果利用關(guān)聯(lián)整合視角發(fā)現(xiàn)策略教學(xué)中的聯(lián)系，就能組建一個更大的策略群學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，由點(diǎn)及面、由淺入深地建立策略學(xué)習(xí)的生長序列，架構(gòu)不同策略之間的意義聯(lián)結(jié)，促進(jìn)策略學(xué)習(xí)中知識、經(jīng)驗(yàn)、思想的深度融合。

四、積淀反思素養(yǎng)，建構(gòu)“類思想”的循環(huán)結(jié)構(gòu)

結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)，不僅要引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識之間的顯性結(jié)構(gòu)，更要領(lǐng)悟方法形成中的隱形思維結(jié)構(gòu)，生長出結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)過程中的關(guān)聯(lián)性思維、整體性思維、系統(tǒng)性思維、邏輯性思維，并拓展應(yīng)用到新的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中。這樣，才能引導(dǎo)學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

美國心理學(xué)家波斯納認(rèn)為，沒有反思的經(jīng)驗(yàn)是狹隘的經(jīng)驗(yàn)，最多只能是膚淺的知識。結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)給學(xué)生提供了整體建構(gòu)、尋求關(guān)聯(lián)、邏輯判斷、主動創(chuàng)造的學(xué)習(xí)歷程和思維進(jìn)階空間，在反思中有助于深化學(xué)生對數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思維方式的再認(rèn)識、再思考、再理解、再創(chuàng)造。同時，有助于促進(jìn)學(xué)生思維整體結(jié)構(gòu)的深層次運(yùn)行，促進(jìn)學(xué)生元認(rèn)知能力的發(fā)展和提升。

在學(xué)生學(xué)習(xí)了“解決問題的策略（畫圖）”后，教師要引領(lǐng)學(xué)生回望審視解決問題的全過程，思考：這個解決問題的策略是什么？這個策略是怎樣解決這一類和差實(shí)際問題的？我們是怎樣想到畫圖的？為什么選擇畫線段圖？畫圖時我們要注意什么？畫圖對我們進(jìn)一步理解、分析、思考解決問題有什么好處？同時，要回顧“在以前的學(xué)習(xí)中，有哪些地方運(yùn)用畫圖策略來解決問題的？”還可以延伸至“數(shù)學(xué)中的畫圖策略除了今天學(xué)習(xí)的畫線段圖還有其他的嗎？”“除了畫圖策略還有其他解決問題的策略嗎？”“今天研究的數(shù)學(xué)上的畫圖策略與美術(shù)課中畫圖有什么異同點(diǎn)？”這樣瞻前顧后地追問，將學(xué)生原先積累的運(yùn)用畫圖策略分析、思考、解決問題的零散經(jīng)驗(yàn)匯總聚合，有助于學(xué)生從以往的學(xué)習(xí)經(jīng)歷中剝離、提煉出數(shù)學(xué)思想方法和應(yīng)用策略，形成具有遷移作用的策略體驗(yàn)。同時，能將這種體驗(yàn)延伸至后續(xù)的其他解決問題的策略學(xué)習(xí)中，將學(xué)生的認(rèn)知方法、結(jié)構(gòu)不斷豐富、完善、打開，形成一個開放、循環(huán)、流動的結(jié)構(gòu)，真正觸發(fā)學(xué)生思維的深度生長。

結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)，需要教師在教學(xué)中形成結(jié)構(gòu)性思維，以整體關(guān)聯(lián)的視角、開放動態(tài)的內(nèi)容、連續(xù)循環(huán)的過程、遷移生長的反思，不斷促進(jìn)學(xué)生結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的自然發(fā)生，并在知識的理解、整合、關(guān)聯(lián)、遷移中培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維，以真正促進(jìn)高階思維的形成，實(shí)現(xiàn)優(yōu)質(zhì)化的深度學(xué)習(xí)。