沖擊激勵下磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的響應特性分析

鄒博，徐園平，周瑾

(南京航空航天大學 機電學院，江蘇 南京 210016)

0 引言

磁懸浮軸承因其剛度阻尼可調(diào)，被廣泛應用于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的主動抑振中[1-2]。目前，許多學者正在開展其應用技術的相關研究[3]。然而，學者們在磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的沖擊響應特性上的研究還不夠深入。LAWRENCE Hawkins等[4]使用地形模擬器激振，測試了車載立式磁懸浮飛輪抗基礎沖擊的性能。M O T Cole等[5]對柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)施加沖擊載荷，比較了3種控制策略下轉(zhuǎn)子的沖擊響應情況。ZHU Changsheng[6]使用力錘對試驗臺施加沖擊力，研究了沖擊幅值、脈寬和基礎振動模態(tài)對磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動特性的影響。實際應用中，沖擊信號的組成十分復雜。在不同波形沖擊下，沖擊幅值和脈寬對響應特性的影響隨之不同。同時，當碰到電機故障或葉片磨損時，轉(zhuǎn)子承受的不平衡力會產(chǎn)生波動，沖擊響應特性也會隨之不同。針對這一問題，本文重點研究沖擊激勵和不平衡波動對磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應特性的影響。

1 沖擊激勵時磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運動方程

沖擊激勵過程中，假設低速旋轉(zhuǎn)的磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)仍然處于剛性狀態(tài)。轉(zhuǎn)子質(zhì)心處的動坐標系為O1xyz，其中，x軸和y軸沿著轉(zhuǎn)子的法向，z軸沿著轉(zhuǎn)子的軸向。坐標系O2XYZ固定在地面作為參考坐標系。在初始時刻，兩坐標系各個軸相互平行，X軸和Y軸的正向分別偏離重力方向135°。磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模型圖如圖1所示。其中，l1、l2分別為兩端磁軸承的電磁鐵到質(zhì)心的距離，ls1、ls2分別為兩端保護軸承到質(zhì)心的距離。磁懸浮軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

圖1 磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模型圖

假設垂向沖擊時，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的底座只產(chǎn)生平移運動。將轉(zhuǎn)子的動能T、勢能V和耗散能D代入Lagrange方程中，即可以得到?jīng)_擊激勵時轉(zhuǎn)子的運動微分方程式(1)。

表1 磁懸浮軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)

(1)

其中：函數(shù)L=T-V；qi為廣義坐標；Qi為廣義力。轉(zhuǎn)子的運動微分方程為

(2)

其中：qc=[x,y,α,β]T為質(zhì)心處轉(zhuǎn)子的位移；f為電磁力向量；Fg為重力向量；M為質(zhì)量矩陣；G為陀螺矩陣；B為轉(zhuǎn)換矩陣；Fu為不平衡力向量；Fb為基礎平移振動所等效的慣性力，即

(3)

為了便于研究，將電磁力轉(zhuǎn)化為彈性力和阻尼力，并將位移統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為保護軸承處轉(zhuǎn)子的位移，則轉(zhuǎn)子的運動微分方程為

(4)

其中：qs=[xs1,ys1,xs2,ys2]T為保護軸承處轉(zhuǎn)子位移；K、C分別由磁懸浮軸承的支承剛度阻尼矩陣所組成。位移向量之間的轉(zhuǎn)化關系為qc=Rqd和qc=Tqs。其中：qd=[x1,y1,x2,y2]T為電磁鐵處轉(zhuǎn)子的位移。

2 磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的沖擊響應計算

將電磁力的表達式代入式(2)并簡化，將其轉(zhuǎn)化到頻域，即可推導出磁懸浮軸承的等效剛度阻尼為

(5)

其中：Ki為力-電流系數(shù)矩陣；Kx為力-位移系數(shù)矩陣；Ga、Gc和Gs分別為功率放大器、PID控制器和傳感器的傳遞函數(shù)矩陣；ω為轉(zhuǎn)速。

為了簡化分析，在后面的分析過程中，統(tǒng)一忽略基礎振動時磁懸浮軸承支承特性的變化，并不計交叉剛度阻尼和耦合剛度阻尼的影響。為不失一般性，選擇半正弦脈沖沖擊和矩形脈沖沖擊進行研究。轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表2所示。

根據(jù)相關辨識試驗可知，磁懸浮軸承的支承剛度阻尼較小[7]，不妨將兩端磁懸浮軸承沿各個方向的剛度、阻尼均設定為1×106N/m和700N·s/m。令轉(zhuǎn)速為100r/s，偏心距為5μm，沖擊幅值為10g，脈寬為20ms。采用龍格庫塔法計算位移，取初始時刻的狀態(tài)值為0，仿真時間為2s，沖擊信號作用于1s時。將觀察時間段縮小至0.98s～1.08s，觀察左端保護軸承處轉(zhuǎn)子的位移，如圖2所示。

表2 計算用轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)參數(shù)

圖2 兩種沖擊激勵下轉(zhuǎn)子的響應圖

可以看到，轉(zhuǎn)子的最大沖擊響應幅值均出現(xiàn)在沖擊激勵過程中。注意，轉(zhuǎn)子會由于靜變形而偏離平衡位置。實際應用中，由于磁懸浮軸承反饋控制環(huán)節(jié)的作用，磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)會在平衡位置處波動。

3 沖擊響應幅值的影響因素分析

將沖擊幅值從1g增加到12g，脈寬從2ms增加到40ms，轉(zhuǎn)速為100r/s，偏心距為5μm，支承參數(shù)的數(shù)值不變，觀察轉(zhuǎn)子響應幅值的變化，如圖3和圖4所示。

圖3 半正弦沖擊幅值和脈寬的影響圖

圖4 矩形沖擊幅值和脈寬的影響圖

從圖3中可以看到，隨著沖擊幅值的增大，半正弦沖擊下位移增大的速度隨著脈寬波動而改變，且在小脈寬條件下位移增大的速度最大。從圖4中可以看到，當脈寬>5ms時，矩形沖擊下位移增大的速度基本上不受脈寬波動的影響。對比圖3和圖4可以發(fā)現(xiàn)，當沖擊幅值為12g，脈寬>5ms時，矩形沖擊下的位移均大于半正弦沖擊下的位移。

令轉(zhuǎn)速從50r/s增加到250r/s，偏心量從5μm增加到40μm，沖擊幅值為10g，脈寬為20ms，支承參數(shù)按照式(5)計算，且仍然只考慮直接剛度阻尼的影響，計算轉(zhuǎn)子的沖擊響應幅值，如圖5和圖6所示。分析時取傳感器Gs(s)=20 000V/m，PID控制器的比例系數(shù)kP=3，積分系數(shù)kI=1，微分系數(shù)kD=0.002，時滯系數(shù)Tf=0.000 1，功率放大器Ga(s)=0.36A/V，力-電流系數(shù)為ki=58.77N/A，力-位移系數(shù)kx=-2.64×105N/m。

圖5 半正弦沖擊下轉(zhuǎn)速和偏心量的影響圖

圖6 矩形沖擊下轉(zhuǎn)速和偏心量的影響圖

從圖5和圖6中可以看到，隨著偏心量的增大，位移增大的速度會隨著轉(zhuǎn)速波動而改變，且當轉(zhuǎn)速<100r/s時，位移增大的速度較小。當轉(zhuǎn)速>100r/s時，增大偏心量會導致轉(zhuǎn)子的位移迅速增大?？梢?，在高速條件下，應盡量考慮減小轉(zhuǎn)子的偏心量。對比圖5和圖6可以發(fā)現(xiàn)，矩形沖擊下的最大響應幅值明顯大于半正弦沖擊下的最大響應幅值。

4 結(jié)語

通過分析兩種典型沖擊激勵下轉(zhuǎn)子的響應特性，得出如下結(jié)論：

1) 隨著沖擊幅值的增大，半正弦沖擊下位移增大的速度會隨脈寬波動而改變。而當脈寬>5ms時，矩形沖擊下位移增大的速度基本上不受脈寬波動的影響。

2) 隨著偏心量的增大，兩種沖擊載荷激勵下位移增大的速度均會隨轉(zhuǎn)速波動而改變，且在轉(zhuǎn)速低于100r/s時位移增長的速度比較小。

3)矩形沖擊下轉(zhuǎn)子更易撞上保護軸承。在高速條件下，減小偏心量有助于提高其抗沖擊的能力。因此，實際應用中應盡量減小轉(zhuǎn)子的偏心量。