基于雙目標(biāo)優(yōu)化的某轉(zhuǎn)向系統(tǒng)輕量化設(shè)計(jì)

戚振杰 ，崔世海，胡海歐，霍俊焱，張 寧

(1. 天津科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300222；2. 中國汽車技術(shù)研究中心，天津 300300)

轉(zhuǎn)向系統(tǒng)性能直接影響到汽車行駛平順性和操縱穩(wěn)定性；同時(shí)，行駛中駕駛員對方向盤的振動(dòng)最為敏感，因此其對汽車的噪聲、振動(dòng)與聲振粗糙度(NVH)性能影響也很大.汽車在行駛的過程中經(jīng)常會(huì)在不平路面、不斷變化的運(yùn)動(dòng)方向和車速以及不平衡的傳動(dòng)系統(tǒng)等激振的共同作用下，整車及車輛局部以及一些子系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)烈振動(dòng).當(dāng)上述激振頻率和轉(zhuǎn)向系統(tǒng)本身的固有頻率接近時(shí)，共振現(xiàn)象就會(huì)發(fā)生.利用有限元方法分析轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的模態(tài)，基于優(yōu)化方法使之避開共振頻率，在改善模態(tài)的同時(shí)減輕其質(zhì)量對純電動(dòng)汽車的轉(zhuǎn)向系統(tǒng)設(shè)計(jì)開發(fā)具有重要意義.

李朔[1]圍繞儀表盤橫梁總成及方向盤管柱安裝點(diǎn)研究了影響某車型轉(zhuǎn)向系統(tǒng)模態(tài)的因素，最終解決了轉(zhuǎn)向系統(tǒng)抖動(dòng)的問題；汪東斌等[2]以改進(jìn)的可行方向法對汽車轉(zhuǎn)向系統(tǒng)一階固有頻率進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，在不增加轉(zhuǎn)向系統(tǒng)質(zhì)量的前提下，實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)向系統(tǒng)一階固有頻率的提升；弓劍等[3]通過引入模態(tài)應(yīng)變能分析法縮減白車身模態(tài)靈敏度分析樣本，在實(shí)現(xiàn)了白車身模態(tài)優(yōu)化目標(biāo)的同時(shí)還盡量減少了增重；劉顯春[4]利用 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近似模型采用遺傳算法，在滿足模態(tài)和剛度的性能要求下實(shí)現(xiàn)了減重的目標(biāo)；俞云云等[5]利用拉丁超立方抽樣，構(gòu)建了Kriging代理模型，以橋殼總質(zhì)量和整體最大應(yīng)力最小化為目標(biāo)，采用多目標(biāo)優(yōu)化算法對所建代理模型進(jìn)行求解，得到驅(qū)動(dòng)橋殼輕量化設(shè)計(jì)的最優(yōu)方案.文獻(xiàn)[1-2]只考慮了轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的模態(tài)優(yōu)化，忽略了輕量化研究，文獻(xiàn)[4-5]提供了基于近似模型的遺傳算法進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)的方法，但是只采用了一種實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法.

本文在某純電動(dòng)汽車轉(zhuǎn)向系統(tǒng)模態(tài)要求大于等于35Hz的前提下，采用正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和最優(yōu)拉丁超立方實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)相結(jié)合的方法，構(gòu)建了轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的RBF近似模型.采用遺傳算法對轉(zhuǎn)向系統(tǒng)尺寸進(jìn)行優(yōu)化，在滿足轉(zhuǎn)向系統(tǒng)模態(tài)不低于設(shè)計(jì)要求的前提下，得到一種增重最小、不增重或者更輕的最優(yōu)方案，以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)向系統(tǒng)模態(tài)和質(zhì)量的雙目標(biāo)優(yōu)化.

1 轉(zhuǎn)向系統(tǒng)模態(tài)分析

1.1 轉(zhuǎn)向系統(tǒng)有限元模型描述

基于某純電動(dòng)汽車的轉(zhuǎn)向系統(tǒng) CAD模型，在HyperMesh中建立了如圖1所示的有限元模型，模型包括方向盤、轉(zhuǎn)向管柱及支架、駕駛員安全氣囊，儀表板橫梁、轉(zhuǎn)向助力電機(jī)，主副儀表板等.白車身采用全約束方案，將轉(zhuǎn)向系統(tǒng)有限元模型搭載在白車身上后，在Nastran求解器中進(jìn)行CAE分析計(jì)算求解.

1.2 轉(zhuǎn)向系統(tǒng)模態(tài)分析及驗(yàn)證

根據(jù) CAE有限元分析結(jié)果，轉(zhuǎn)向系統(tǒng)橫向和垂向模態(tài)振型圖分別如圖2和圖3所示.

為了保證后續(xù)模態(tài)分析及優(yōu)化工作的可靠性，本文對在安裝狀態(tài)下的轉(zhuǎn)向系統(tǒng)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析.采用多點(diǎn)激勵(lì)、多點(diǎn)相應(yīng)的方法進(jìn)行自由狀態(tài)下轉(zhuǎn)向系統(tǒng)模態(tài)實(shí)驗(yàn)，通過 LMS測試系統(tǒng)對模態(tài)參數(shù)進(jìn)行識別.實(shí)驗(yàn)結(jié)果與計(jì)算模態(tài)的對比見表 1，可見二者誤差不足5%，驗(yàn)證了有限元模型的準(zhǔn)確性.

圖1 轉(zhuǎn)向系統(tǒng)在安裝狀態(tài)下的有限元模型Fig. 1 Finite element model of the steering system under installation state

表1 模態(tài)頻率計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值的對比Tab. 1 Model frequency from calculation and experiment

企業(yè)要求轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的模態(tài)頻率大于等于 35Hz，故原車的一階橫向模態(tài)頻率和一階垂向模態(tài)頻率均不滿足目標(biāo)要求，易發(fā)生共振現(xiàn)象.原轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的模態(tài)頻率低，可能是由于其某些部位結(jié)構(gòu)較弱導(dǎo)致的，故首先引入模態(tài)應(yīng)變能分析法，對結(jié)構(gòu)薄弱位置進(jìn)行分析.

2 轉(zhuǎn)向系統(tǒng)模態(tài)應(yīng)變能分析與優(yōu)化

在轉(zhuǎn)向系統(tǒng)有限元模態(tài)分析中，第i階模態(tài)的第j單元的模態(tài)應(yīng)變能(Eij)[6]定義為

式中：{ui} 為車身第i階模態(tài)振型；[Kj]為j單元?jiǎng)偠染仃?

從式(1)可見，單元模態(tài)應(yīng)變能越高，局部的位移越大，結(jié)構(gòu)的剛度就越低.在轉(zhuǎn)向系統(tǒng)模態(tài)分析中，某階模態(tài)頻率下的模態(tài)應(yīng)變能分布反映了其在該模態(tài)振型下變形集中區(qū)域，局部模態(tài)應(yīng)變能的集中反映了在該階振型下車身變形時(shí)局部剛度的不足，當(dāng)車身受到外界激勵(lì)時(shí)更容易產(chǎn)生變形.選取模態(tài)應(yīng)變能作為評價(jià)車身動(dòng)態(tài)剛度的指標(biāo)，可以更有效地識別車身變形薄弱處，從而有針對性地加強(qiáng)結(jié)構(gòu)，提高優(yōu)化效率.

對上述建立的轉(zhuǎn)向系統(tǒng)有限元模型進(jìn)行模態(tài)分析，獲取了轉(zhuǎn)向系統(tǒng)第一階垂向模態(tài)頻率下的應(yīng)變能分布如圖 4所示，應(yīng)變能集中在儀表盤橫梁左半部分、左右安裝支架、中間支架以及與中通道相連的兩個(gè)支架處，說明這幾處剛度較弱，在進(jìn)行方案優(yōu)化時(shí)應(yīng)重點(diǎn)加強(qiáng)這些區(qū)域.

圖4 一階垂向模態(tài)頻率21.9Hz下應(yīng)變能分布Fig. 4 Strain energy distribution at first order vertical modal frequency 21.9Hz

由于一階垂向模態(tài)頻率21.9Hz與企業(yè)設(shè)定的目標(biāo)值 35Hz相差較大，直接進(jìn)行板件厚度優(yōu)化，設(shè)計(jì)變量較多，優(yōu)化效率低，故引入模態(tài)應(yīng)變能分析并結(jié)合工程經(jīng)驗(yàn)確定了以下的優(yōu)化方案(圖5).

方案一：儀表盤中間三角支架厚度由 1.5mm 增加到 3.0mm；方案二：與中通道相連的兩個(gè)支架由1.5mm 增加到 3.0mm；方案三：CCB與車身連接處的左右安裝支架的厚度由1.2mm增加到3.0mm，儀表盤橫梁由一體式拆分為大管套小管形式，其中左邊大管半徑 28.5mm，厚度 3.0mm，右邊小管半徑23.5mm，厚度2.5mm；方案四：儀表盤橫梁與三角支架間增加一個(gè)支架，厚度3.0mm.

圖5 優(yōu)化方案Fig. 5 Optimization scheme

根據(jù)上述優(yōu)化方案，重新建立有限元模型后進(jìn)行CAE計(jì)算分析，得到優(yōu)化后轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的一階橫向模態(tài)頻率為47.1Hz和一階垂向模態(tài)頻率為33.6Hz，如圖6和圖7所示.

圖6 一階橫向模態(tài)振型圖Fig. 6 The first horizontal modal shape

圖7 一階垂向模態(tài)振型圖Fig. 7 The first vertical modal shape

通過對轉(zhuǎn)向系統(tǒng)一階垂向模態(tài)頻率下的應(yīng)變能分布，即薄弱點(diǎn)位置分析，最終采用第一階段(TG1)的 4種優(yōu)化方案后轉(zhuǎn)向系統(tǒng)橫向模態(tài)頻率提升為47.1Hz，滿足目標(biāo)要求；但垂向模態(tài)頻率為 33.6Hz，仍不滿足目標(biāo)要求，且優(yōu)化后質(zhì)量增加了 5.5kg，增重較多，不符合小型純電動(dòng)汽車輕量化的要求.因此，需要對轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的垂向模態(tài)和質(zhì)量最輕這兩個(gè)目標(biāo)進(jìn)行第二階段(TG2)的雙目標(biāo)優(yōu)化.

3 轉(zhuǎn)向系統(tǒng)輕量化設(shè)計(jì)

3.1 設(shè)計(jì)變量的選取

在保證轉(zhuǎn)向系統(tǒng)模態(tài)滿足設(shè)計(jì)目標(biāo)的前提下，為了實(shí)現(xiàn)良好的減重效果，選取儀表盤左右兩個(gè)橫梁、橫梁上所有支架、橫梁左右安裝支架、方向盤轉(zhuǎn)向柱中間部位多個(gè)安裝支架、中通道所有安裝支架的厚度等共 18個(gè)設(shè)計(jì)變量(x1—x18)，設(shè)計(jì)對象如圖 8所示，設(shè)計(jì)變量參數(shù)見表2.

圖8 設(shè)計(jì)對象Fig. 8 Design object

表2 設(shè)計(jì)變量參數(shù)Tab. 2 Parameters of design variables

3.2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

為縮短轉(zhuǎn)向系統(tǒng)多目標(biāo)優(yōu)化時(shí)間，厚度設(shè)計(jì)變量與轉(zhuǎn)向系統(tǒng)橫向模態(tài)和垂向模態(tài)指標(biāo)間的對應(yīng)關(guān)系需要通過建立近似模型來擬合，這就需要通過合理的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)獲得大量的樣本數(shù)據(jù).正交實(shí)驗(yàn)[7]是從所有的樣本點(diǎn)中挑選出正交、均勻的樣本點(diǎn)進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，是一種快速、高效、經(jīng)濟(jì)的設(shè)計(jì)方法，具有“均勻分散，齊整可比”的特點(diǎn)，可以大大減少實(shí)驗(yàn)分析次數(shù).拉丁超立方實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)[8]基本上是一種對抽樣分布全面分層，再從每層中隨機(jī)取值的方法.它是專門為仿真實(shí)驗(yàn)提出的一種實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)類型，常用于采樣大型設(shè)計(jì)空間，是一種充滿空間設(shè)計(jì)，可以用較少樣本點(diǎn)填滿足夠大的空間，其在非線性數(shù)據(jù)擬合方面更具優(yōu)勢；但也存在實(shí)驗(yàn)點(diǎn)分布不夠均勻，且隨著水平數(shù)的增加，丟失設(shè)計(jì)空間一些區(qū)域的可能性也增加的缺點(diǎn).最優(yōu)拉丁超立方抽樣可以彌補(bǔ)這一缺點(diǎn)，進(jìn)一步改善均勻性，使因子和響應(yīng)的擬合更加精確真實(shí).本文采用正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和最優(yōu)拉丁超立方實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)相結(jié)合的方法，在 Isight軟件中運(yùn)用正交實(shí)驗(yàn)方法生成初始樣本矩陣，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行最優(yōu)拉丁超立方抽樣，從而使優(yōu)化的樣本矩陣更加正交化、均勻化.

綜上，得到轉(zhuǎn)向系統(tǒng)不同參數(shù)組合下的樣本點(diǎn)，并計(jì)算輸出對應(yīng)樣本點(diǎn)x1的響應(yīng)數(shù)據(jù) 64個(gè)，分別見表 3和表 4，其中表 3中x1、x2、…、x18代表設(shè)計(jì)變量；表4中m代表轉(zhuǎn)向系統(tǒng)質(zhì)量，f1代表轉(zhuǎn)向系統(tǒng)一階橫向模態(tài)頻率，f2代表一階垂向模態(tài)頻率.

3.3 近似模型的建立

徑向基函數(shù)[9](radial basis function，RBF)是一種多變量空間插值方法，可以表示為徑向?qū)ΨQ基函數(shù)的線性加權(quán)的形式.RBF 近似模型有許多優(yōu)點(diǎn)，比如它有良好的非線性逼近性，在收斂的情況下，有收斂快、計(jì)算穩(wěn)定等優(yōu)點(diǎn)，故本文基于 18個(gè)設(shè)計(jì)變量和拉丁超立方抽樣數(shù)據(jù)以及響應(yīng)數(shù)據(jù)，在 Isight軟件中構(gòu)造了關(guān)于轉(zhuǎn)向系統(tǒng)質(zhì)量、一階橫向頻率、一階垂向頻率的RBF模型，并另外選取15個(gè)樣本點(diǎn)來檢驗(yàn)近似模型的精度.圖9、圖10和圖11分別為檢驗(yàn)轉(zhuǎn)向系統(tǒng)質(zhì)量、橫向模態(tài)和垂向模態(tài)的近似模型時(shí) 15個(gè)測試樣本的預(yù)測值和實(shí)際值所構(gòu)成的散點(diǎn)圖.

表3 轉(zhuǎn)向系統(tǒng)最優(yōu)拉丁超立方抽樣樣本點(diǎn)Tab. 3 Optimal Latin hypercube sampling points of the steering system

表4 轉(zhuǎn)向系統(tǒng)樣本模型的響應(yīng)數(shù)據(jù)Tab. 4 Response data of the steering system sample model

圖9 轉(zhuǎn)向系統(tǒng)質(zhì)量近似模型測試樣本散點(diǎn)圖Fig. 9 Test sample scatter plot of the steering system quality approximation model

圖10 轉(zhuǎn)向系統(tǒng)橫向模態(tài)近似模型測試樣本散點(diǎn)圖Fig. 10 Test sample scatter plot of the steering system horizontal modal approximation model

圖11 轉(zhuǎn)向系統(tǒng)垂向模態(tài)近似模型測試樣本散點(diǎn)圖Fig. 11 Test sample scatter plot of the steering system vertical modal approximation model

表 5為分別采用正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和最優(yōu)拉丁實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)以及兩種實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)相結(jié)合的方法分別得到的轉(zhuǎn)向系統(tǒng)質(zhì)量、橫向頻率、垂向頻率的相關(guān)系數(shù) R2，R2取值范圍[0，1]，該值越接近于 1說明模型精度越高.可以看出，采用正交和最優(yōu)拉丁相結(jié)合的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法構(gòu)建的 RBF模型的擬合精度較高，能夠代替有限元模型進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，同時(shí)也說明了利用正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與最優(yōu)拉丁超立方設(shè)計(jì)方法進(jìn)行抽樣可以使抽樣結(jié)果更加均勻化、正交化，擬合的精度更高.

表5 近似模型的精度評價(jià)Tab. 5 Accuracy evaluation of the approximation model

3.4 優(yōu)化設(shè)計(jì)

轉(zhuǎn)向系統(tǒng)輕量化優(yōu)化設(shè)計(jì)要在滿足其一階橫向模態(tài)的同時(shí)，既要將其一階垂向模態(tài)頻率提升至35Hz以上，又要保證質(zhì)量最輕，故將轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的質(zhì)量最小和垂向模態(tài)頻率最大作為優(yōu)化目標(biāo)，一階橫向模態(tài)頻率大于35Hz作為約束條件，數(shù)學(xué)模型為

式中：mmin(xi) 為質(zhì)量最小目標(biāo)函數(shù)；f2max(xi)為一階垂向模態(tài)頻率最大目標(biāo)函數(shù)；f1(xi)為一階橫向模態(tài)頻率約束函數(shù)；xi為設(shè)計(jì)變量；xiu、xid分別為設(shè)計(jì)變量上限和下限.本文選擇 NSGA-Ⅱ遺傳算法[9]，對所建立的轉(zhuǎn)向系統(tǒng)近似模型進(jìn)行雙目標(biāo)優(yōu)化求解.所謂的遺傳算法是將父種群在進(jìn)化過程中做交叉和變異，從而得到子種群，并合并兩個(gè)種群；依據(jù)非劣解關(guān)系對種群中兩個(gè)個(gè)體進(jìn)行比較，從而使所有個(gè)體依次分成多個(gè)控制前沿層.并且，NSGA-Ⅱ還具有適應(yīng)度共享的特征，即為處在同一層的制定同樣的適應(yīng)度，使得群體在進(jìn)化過程中始終保持多樣性，避免群體過早收斂于少數(shù)個(gè)體上，即早熟收斂.經(jīng)過多次嘗試，本文設(shè)置 NSGA-Ⅱ遺傳算法的種群個(gè)體為 180、交叉的概率為 0.9、變異的概率為 0.05、進(jìn)化代數(shù)為48代時(shí)，優(yōu)化結(jié)果最理想.最終經(jīng)過一段時(shí)間的計(jì)算后優(yōu)化終止.迭代過程如圖12、圖13和圖14所示，共經(jīng)過25次優(yōu)化迭代后得到結(jié)果.

圖12 轉(zhuǎn)向系統(tǒng)橫向模態(tài)迭代過程Fig. 12 Iterative process of the steering system horizontal modal

圖13 轉(zhuǎn)向系統(tǒng)垂向模態(tài)迭代過程Fig. 13 Iterative process of thesteering system vertical modal

圖14 轉(zhuǎn)向系統(tǒng)質(zhì)量迭代過程Fig. 14 Mass iterative process of the steering system

為了實(shí)現(xiàn)在滿足轉(zhuǎn)向系統(tǒng)橫向模態(tài)頻率以及垂向模態(tài)頻率均大于等于 35Hz要求的前提下質(zhì)量盡可能輕這一目標(biāo)，故選取第 23步的優(yōu)化解作為最優(yōu)方案，綜合考慮制造工藝性要求，得到優(yōu)化后的設(shè)計(jì)變量見表6.

表6 輕量化前后設(shè)計(jì)變量尺寸變化Tab. 6 Variable changes before and after reducing weight

將優(yōu)化后的設(shè)計(jì)變量在轉(zhuǎn)向系統(tǒng)模型中更新后進(jìn)行仿真計(jì)算，得到轉(zhuǎn)向系統(tǒng)質(zhì)量、一階橫向模態(tài)頻率 44.6Hz和一階垂向模態(tài)頻率 35.4Hz，如圖 15和圖 16所示，并與輕量化設(shè)計(jì)前的轉(zhuǎn)向系統(tǒng)性能指標(biāo)進(jìn)行對比，見表 7.由表 7可知：經(jīng)過兩個(gè)階段的優(yōu)化，轉(zhuǎn)向系統(tǒng)一階橫向模態(tài)頻率和垂向模態(tài)頻率均滿足目標(biāo)要求，且質(zhì)量由 125.24kg降至 121.97kg，增重率由4.6%降至1.9%，輕量化效果明顯.

圖15 一階橫向模態(tài)振型圖Fig. 15 The first horizontal modal diagram

圖16 一階垂向模態(tài)振型圖Fig. 16 The first vertical modal diagram

表7 輕量化設(shè)計(jì)前后轉(zhuǎn)向系統(tǒng)性能指標(biāo)對比Tab. 7 Comparison of performance indicators of the steering systems before and after reducing weight

4 結(jié) 語

本文首先引入模態(tài)應(yīng)變能的方法找到轉(zhuǎn)向系統(tǒng)薄弱點(diǎn)位置進(jìn)行優(yōu)化，使轉(zhuǎn)向系統(tǒng)模態(tài)頻率滿足了設(shè)計(jì)要求.然后在正交實(shí)驗(yàn)方法生成的初始樣本矩陣基礎(chǔ)上進(jìn)行最優(yōu)拉丁超立方抽樣，并結(jié)合徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近似模型和多目標(biāo)遺傳算法對轉(zhuǎn)向系統(tǒng)進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì).最終的優(yōu)化方案使轉(zhuǎn)向系統(tǒng)一階橫向模態(tài)頻率由33.4Hz提升至44.6Hz，一階垂向模態(tài)頻率由21.9Hz提升至35.4Hz，而轉(zhuǎn)向系統(tǒng)質(zhì)量僅增加了2.27kg，實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)向系統(tǒng)模態(tài)和質(zhì)量的雙目標(biāo)優(yōu)化.