擺線在單葉片真空泵設(shè)計(jì)中的應(yīng)用探討

胡林勇 鄭紅江 金妙 林希

摘 要：汽車(chē)剎車(chē)助力系統(tǒng)中的真空泵通常采用單葉片設(shè)計(jì)。在這種設(shè)計(jì)中，葉片是一塊兩端為圓弧柱面的矩形平板。工作時(shí)，葉片與真空泵轉(zhuǎn)子一起旋轉(zhuǎn)。除了作徑向運(yùn)動(dòng)，它的兩端圓弧柱面必須保持與泵腔內(nèi)壁曲面相切接觸以形成氣體密封。這要求泵體內(nèi)壁曲面的投影為一特殊設(shè)計(jì)的光滑封閉曲線（泵腔形線）。由于泵腔形線直接決定葉片徑向滑動(dòng)的速度和加速度，因此泵腔形線對(duì)真空泵功耗、噪音、和耐久壽命都有較大的影響。本文探討了擺線在單葉片真空泵設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，并給出了基于擺線的泵腔形線計(jì)算的數(shù)學(xué)公式。為保證葉片徑向滑動(dòng)加速度是連續(xù)的，本文給出了最優(yōu)葉片長(zhǎng)度。

關(guān)鍵詞：真空泵;擺線;泵腔型線

1 前言

為了提高汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)的工作效率以達(dá)到越來(lái)越高的節(jié)能減排要求，現(xiàn)代汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)廣泛采用渦輪增壓技術(shù)。這使得剎車(chē)助力系統(tǒng)需要獨(dú)立的真空泵提供助力真空。由于單葉片真空泵結(jié)構(gòu)間單，成本低，被廣泛應(yīng)用到當(dāng)前的汽車(chē)剎車(chē)系統(tǒng)中。圖1顯示單葉片真空泵的基本組成和工作原理。

單葉片真空泵主要由泵體、轉(zhuǎn)子、葉片、泵蓋和進(jìn)排氣口單向閥（圖中未顯示）組成。真空泵轉(zhuǎn)子通常由發(fā)動(dòng)機(jī)凸輪軸或曲軸通過(guò)連接機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)。剎車(chē)助力器真空罐被連到圖1所示的進(jìn)氣口。當(dāng)轉(zhuǎn)子被驅(qū)動(dòng)作逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)時(shí)，“A”腔容積逐漸變大而從進(jìn)氣口吸入空氣，而在“B”腔中的空氣被壓縮從排氣口排出。這樣循環(huán)往復(fù)，連接到進(jìn)氣口的剎車(chē)助力器真空罐里的空氣被逐漸抽出而形成剎車(chē)助力所需的真空。工作時(shí)，葉片將隨轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)并同時(shí)作徑向滑動(dòng)。為保持“A”腔和“B”腔的密封，設(shè)計(jì)時(shí)，葉片兩端通常選圓柱面，并要求葉片兩端圓柱面理論上必須同時(shí)保持和泵腔內(nèi)壁柱面相切。由于葉片被認(rèn)為是剛體，真空泵泵腔曲面的投影必須是一條特殊設(shè)計(jì)的封閉曲線。因此，工程計(jì)術(shù)人員在設(shè)計(jì)單葉片真空泵時(shí)，其主要任務(wù)之一就是尋找一條滿足上述要求的泵腔形線。在設(shè)計(jì)時(shí)，通常是先確定葉片兩端密封柱面中心的軌跡，實(shí)際泵體內(nèi)腔形線則是葉片端面圓的包絡(luò)線。參考文獻(xiàn)[1]探討了真空泵泵腔形線的數(shù)學(xué)理論。文獻(xiàn)[2]已顯示圓弧或橢圓曲線均可用作設(shè)計(jì)中的參考曲線。本文將研究擺線在真空泵內(nèi)腔形線設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，并推導(dǎo)出滿足二階連續(xù)泵腔形線公式。對(duì)真空泵的設(shè)計(jì)具有十分重要的參考價(jià)值。

2 基于擺線的泵腔形線的產(chǎn)生

在設(shè)計(jì)單葉片真空泵的泵腔內(nèi)壁曲線時(shí)，通常給定參考曲線。如圖2所示，當(dāng)葉片一個(gè)密封端面（柱面）的中心點(diǎn)沿給定的參考曲線從起始點(diǎn)A滑動(dòng)到參考曲線終點(diǎn)B時(shí)，葉片的另一密封端面的中心的軌跡即為泵腔生成曲線。顯然點(diǎn)“A”和點(diǎn)“B”是參考曲線和生成曲線的連接點(diǎn)。為了保證真空泵平穩(wěn)運(yùn)行，設(shè)計(jì)時(shí)，要求參考曲線和生成曲線在連接點(diǎn)A和B處至少有相同的一階和二階導(dǎo)數(shù)。亦就是說(shuō)葉片有連續(xù)的滑動(dòng)速度和加速度。基于這一要求，本文將推道出基于擺線的泵腔生成曲線和泵腔內(nèi)壁曲線。

從方程（9）可以看出，對(duì)于任意給定的葉片矩形部分長(zhǎng)度L，轉(zhuǎn)子外半徑Rr和葉片密封端面圓弧半徑r，參考曲線的偏心距e可以從方程（9）求解， 用（5）可以得到所需擺線生成圓的半徑R，從而確定泵腔形線的參考曲線。然而，這樣得到的泵腔形線不能保證在生成曲線和參考曲線的連接點(diǎn)“A”和 “B”處葉片的徑向滑動(dòng)加速度是連續(xù)的。為了保證葉片滑動(dòng)加速的連續(xù)性，L和e的選取必須受到另外的約束。下面將探討葉片的徑向滑動(dòng)，從而找出求解L和e的另一約束方程。

3葉片徑向滑動(dòng)速度和加速度

如圖2所示，為研究葉片的徑向滑動(dòng)，對(duì)參考曲線上任意一點(diǎn)A，分別用和來(lái)表示它的極徑和極角。應(yīng)用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系，極徑和可以被表示為：

4 最優(yōu)擺線參考曲線的確定

如前所述，為了得到一條保證葉片滑動(dòng)加數(shù)度連續(xù)性的參考曲線，葉片長(zhǎng)度的選取不能是任意的。因此，下面將探討約束葉片選取的方程。

在連接點(diǎn)A，極角，參數(shù);在連接點(diǎn)B，極角，，在這兩點(diǎn)滑動(dòng)加數(shù)度連續(xù)的條件可以被表示為[2]：

把和代入并應(yīng)用（14）和（15），約束方程（16）可以被簡(jiǎn)化表示如下：

對(duì)于給定的， 聯(lián)列方程（9）和（17）求解L和e可得到滿足葉片滑動(dòng)加速度連續(xù)性的參考曲線，從而得到最優(yōu)的泵腔形線。由于方程是非線性的，下面將給出簡(jiǎn)單的尤拉近似求解法。

方程（9）和（17）中消除L得到如下僅含e的方程（假定是提前給定的）：

對(duì)于e的第k次近似，一階尤拉方程根求解法給出其次迭代解為：

給定偏心距e的一個(gè)估計(jì) ， 應(yīng)用（19），（20）和（21）反復(fù)迭代，獲得工程上足夠精確的近似解，葉片矩形部分長(zhǎng)度L的最優(yōu)值可由（17）得到為：

5 計(jì)算實(shí)例

在這里將顯示一個(gè)計(jì)算實(shí)例。微軟EXCEL是一個(gè)比較好的工具。在這個(gè)計(jì)算實(shí)例中，取轉(zhuǎn)子外半徑，葉片密封面圓弧半徑為。代入方程（19）-（21）進(jìn)行反復(fù)迭代后得到e的近似值為。代入進(jìn)入（22），計(jì)算得葉片的最優(yōu)長(zhǎng)度。葉片的總長(zhǎng)度為78.932 mm。由（5）式求得最優(yōu)參考擺線生成圓的半徑;因此，最佳參考曲線的參數(shù)方程由（1）和（2）可得：

將參數(shù)作為自變量，用文獻(xiàn)[1]給出了計(jì)算泵腔封閉曲線的基本公式，可得泵腔形線如圖3所示。圖中藍(lán)色圓代表轉(zhuǎn)子。圖4中，X-軸為轉(zhuǎn)子角位移，藍(lán)色曲線為葉片徑向滑動(dòng)速度系數(shù)，紅色曲線顯示葉片徑向滑動(dòng)的加速度系數(shù)。

6 結(jié)束語(yǔ)

選擇擺線作為單葉片真空泵的泵腔形線設(shè)計(jì)中的參考曲線時(shí)，由于擺線只有一個(gè)獨(dú)立參數(shù)偏心距e或擺線生成圓半徑R，為了保證葉片徑向滑動(dòng)的加速度是連續(xù)的，真空泵葉片的長(zhǎng)度不能任意給定而有一個(gè)確定的最優(yōu)值。因此，為了滿足真空泵排量要求，泵腔深度將是一個(gè)重要參數(shù)。

參考文獻(xiàn)：

[1]林希.汽車(chē)單葉片真空泵設(shè)計(jì)中的數(shù)學(xué)理論[J].西安航空學(xué)院學(xué)報(bào)，2013（01）.

[2]林希，李小光.汽車(chē)單葉片真空泵設(shè)計(jì)中的最優(yōu)橢圓曲線[J].西安航空學(xué)院學(xué)報(bào)，2014（01）.