數(shù)形結(jié)合

馮少萍

【摘要】“數(shù)形結(jié)合”是通過結(jié)合形象思維與抽象思維的數(shù)學思想指導方法，既可把傳統(tǒng)計算數(shù)學中的各種算式推理形象化，也可使抽象的現(xiàn)代數(shù)學概念直觀形象化，將復雜的數(shù)學問題簡單化，從而可以幫助廣大學生更深入地理解學習現(xiàn)代數(shù)學，提高學生的數(shù)學綜合素質(zhì)，理解數(shù)學理論本質(zhì)。在數(shù)學課堂教學中，教師們還可以根據(jù)實際教學情況以“以形助數(shù)”“由數(shù)解形”以及“數(shù)形交替”等具體的教學方法適當開展?jié)B透運用數(shù)形結(jié)合思想，能有效性地提高小學生的數(shù)學思維能力，有利于有效促進小學生思維的健康發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合;數(shù)學思維;數(shù)學素養(yǎng)

“數(shù)學是研究現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學?！睌?shù)學教學研究的實驗研究對象大致可以分成兩個主要部分，其中一個內(nèi)容主要是“形”，另一個是“數(shù)”。而“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學本質(zhì)就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量空間關(guān)系與直觀的數(shù)學幾何圖形概念結(jié)合發(fā)展起來的一種系統(tǒng)數(shù)學理論思想方法。數(shù)形結(jié)合可以使“數(shù)”和“形”可以各施自身所長，互補自身不足，實現(xiàn)抽象思維與形象思維的有機協(xié)同綜合運作，從而可以使復雜思維問題簡單化，抽象思維問題形象化。

數(shù)形結(jié)合在中學數(shù)學學習中已經(jīng)是師生都非常熟悉的數(shù)學思想方法了，甚至在小學高年級里解決很多數(shù)學問題也是經(jīng)常會用到。而低年級的小學生在學習數(shù)學的過程中，其思維雖然是以形象直觀思維為主的，但其邏輯抽象思維也處于萌芽發(fā)育的重要階段中。教師在數(shù)學課堂中適時適度地滲透“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學思想，能夠幫助小學生更好地開拓思維，為邏輯思維的發(fā)育過程注入了新的營養(yǎng)成分。

在日常的教學過程中，教師在尊重低年級小學生思維發(fā)展的客觀規(guī)律的前提下，怎么樣才能有意識地滲透“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，從而有效地促進學生發(fā)展數(shù)學思維呢？

一、以“形”助“數(shù)”，變“抽象”為“形象”

數(shù)的產(chǎn)生來源于計數(shù)，但用來表示“數(shù)”的工具卻一系列的“形”。尤其是在數(shù)概念的建立、數(shù)的運算等內(nèi)容的教學中，蘊含其中的數(shù)形結(jié)合的思想方法需要教師有意識地滲透在課堂中。

（一）以“形”助“數(shù)”——在圖中培養(yǎng)“數(shù)感”

數(shù)感是學生數(shù)概念學習過程中必須要建立的一種基本素養(yǎng)，也是數(shù)學學習的前提和關(guān)鍵。而數(shù)形結(jié)合是培養(yǎng)學生數(shù)感的一個非常有效的思想方法，尤其是對于以形象思維為主的小學生，結(jié)合圖形來認識數(shù)字，才能深刻把握數(shù)的本質(zhì)內(nèi)涵。

在一年級上冊《認識10》的學習過程中，其中一個教學目標是讓學生對10的概念獲得比較全面的認識和掌握，尤其是突破“1個十是10個一，10個一是1個十”這個知識難點。在課堂上，要通過圖片要讓學生強化認識1根小棒表示“1個一”;1捆小棒表示“1個十”;“1個十”打開就變成“10個一”;“10個一”捆起來就變成了“1個十”這樣有助于幫助學生“1個十”和“10個一”的數(shù)感。

二年級下冊的《萬以內(nèi)數(shù)的認識》，教師可以通過利用一個方塊計數(shù)模型直觀地繪圖呈現(xiàn)出兩個計數(shù)單位和他們相互間的“十進制關(guān)系”。方塊這種基于幾何數(shù)量形體的直觀視覺形象，幫助小學生從直觀視覺上直接經(jīng)歷了計數(shù)單位的直接產(chǎn)生和單位轉(zhuǎn)化的整個過程，逐漸初步建立了一起抽象的幾何數(shù)量和現(xiàn)實生活中的幾何模型之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系?！靶巍钡淖鳛閷W習的承載體，有效地幫助學生更加有效、深刻地建立了數(shù)感。

（二）以“形”助“數(shù)”——在圖形中理解“算理”

計算是小學數(shù)學教學的重要內(nèi)容，算法教學過程中不僅需要做到讓學生明白應用算法算理規(guī)則的形成過程，也更需要做到讓學生在直觀中正確理解應用算理，對應用算理進行一個整體的深層次的理解，才能有效促進學生對具體應用算法的準確性，從而能夠?qū)W會靈活運用算法規(guī)則。

二年級上冊學習《兩位數(shù)加兩位數(shù)》例3（進位加）的過程中，也常常借用小棒模型、計數(shù)器模型或者位置圖模型等“形”的具象來刻畫“數(shù)”的抽象運算過程，能夠充分突破“個位相加滿十，向十位進1”這個知識難點，從而幫助學生更好理解進位加法的算理。

（三）以“形”助“數(shù)”——在圖形中理解“數(shù)量關(guān)系”

對于以直觀形象思維方式為主的低年級小學生而言，抽象的數(shù)學文字語言表述常?？赡軙蔀樗麄兘鉀Q數(shù)學問題的一大攔路虎。于是，用畫圖的方法來梳理題目中的數(shù)量關(guān)系，用“形”的方式表示“數(shù)量關(guān)系”，可以達到“一圖抵百語”的神奇效果。

例題：哥哥今年16歲，弟弟今年10歲，問哥哥要是弟弟這個年齡的時候，弟弟幾歲？

學生在解決這道問題的時候，經(jīng)常梳理不清哥哥和弟弟年齡之間的數(shù)量關(guān)系。教師在引導學生理解題意的時候用線段示意圖的方式畫出來，數(shù)量的邏輯關(guān)系就一目了然，問題也就迎刃而解了。

在小學的數(shù)學學習中，“線段示意圖”是非常重要的一種解決問題的工具，它可以形象、直觀地幫助學生解決簡單的實際問題。尤其是在解決有關(guān)“和倍、差倍、和差、路程問題、比的應用、分數(shù)（百分數(shù)）的應用”等問題中都發(fā)揮著其他方式無法替代的作用。所以從低年級開始，教師就應有意識地進行適當?shù)臐B透，讓學生能夠親身體驗將實際問題抽象成數(shù)學模型的過程，最終達到解決數(shù)學問題、理解數(shù)學本質(zhì)、開拓數(shù)學思維的目的。

三、由“數(shù)”解“形”，變“繁瑣”為“簡潔”

“形”雖然具有直觀化、形象化的優(yōu)勢，但也有其粗略、和不便于表達的劣勢。如果加以簡潔的數(shù)學描述、形式化的數(shù)學模型來表達“形”的特性，就能更全方位地展現(xiàn)數(shù)學抽象化與邏輯化的魅力。

例：數(shù)線段的問題：

要數(shù)清楚上圖有多少條線段，可以用畫“彩虹線”（左圖）的方法有序地把所有線段畫出來，然后再數(shù)數(shù)。但是隨著數(shù)量的增加，圖就會越畫越混亂，很難數(shù)清楚線段的數(shù)量。

可見直接畫圖數(shù)數(shù)有一定的局限性。但如果教師在講完畫圖的方法后，引導學生歸納總結(jié)方法，用“標數(shù)字再相加”（右圖）的方法來解決，就顯得簡潔明了，而且有利于學生發(fā)展邏輯思維能力。

以此類推，數(shù)“不共線”的線段，數(shù)角等類似的問題也可以用同樣的方法來歸納解決。除此之外，數(shù)“三角形”，數(shù)“長方形”，數(shù)“正方形”的問題也是一樣的方法：那就是以恰當?shù)臄?shù)量關(guān)系來表達圖形中隱含的信息，將幾何問題代數(shù)化。

四、“數(shù)”“形”交替，變“糊涂”為“靈活”

數(shù)形結(jié)合的思想可以有效使抽象的復雜數(shù)學問題直觀形象化，使繁難的復雜數(shù)學解決問題內(nèi)容簡潔化，進而盡可能有效啟發(fā)中小學生抽象思維的橫向發(fā)展?！皵?shù)”“形”交替是指在解決難題的時候，可以將題目內(nèi)容中的各種數(shù)量空間關(guān)系首先用“形”的方式表現(xiàn)出來，然后再慢慢利用“形”來將抽象的“數(shù)”關(guān)系變得直觀具體，最后對“形”關(guān)系進行仔細觀察、分析和邏輯聯(lián)想，把圖形翻譯成代數(shù)算式，從而幫助學生準確地解決問題。

例如，排隊問題：聰明班的同學在排隊買票，從前面數(shù)聰聰是第8個，從后面數(shù)聰聰是第10個，一共有多少個同學在排隊？

許多學生對聰聰?shù)奈恢萌绾嗡氵M人數(shù)里弄不明白，就很容易出現(xiàn)錯誤。如果教師能夠引導學生用圖形來表述題目的意思，從“形”中分析邏輯關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，就能列出準確的算式，就可以幫助學生從糊涂混亂的數(shù)學困惑中變得清晰明了。

如果學生從低年級起，教師就能幫助他在日常學習中持續(xù)自然地“引入輸出”這種滲透數(shù)形結(jié)合的發(fā)散數(shù)學多維思想，學生就能夠得到有效的數(shù)學思維的發(fā)散訓練。在這樣有效的思維培養(yǎng)下，學生進入高年級后解題思路會慢慢得以拓寬，解題方法也會靈活多樣。

例：計算：

如果只看算式進行解答，大部分學生可能會受思維定勢的影響，采用通分的方式進行計算：

為了幫助學生克服思維定勢，教師可以引導學生畫出圖形，然后通過圖形來分析。圖中的正方形表示“1”，要求的式子的和就是正方形涂色部分的大小。當結(jié)合圖形分析后，學生就能在直觀圖形的啟發(fā)下，一目了然地體會到“涂色部分的大小就等于1減空白部分的差”。

主動解決上述問題的學習過程中，學生真實經(jīng)歷了“數(shù)—形—數(shù)”的數(shù)學認識深化過程，獲得了比較優(yōu)化的數(shù)學解題技巧方法。這樣數(shù)形交替的思想方法啟發(fā)了學生從新的角度去思考數(shù)學問題，可以有效跳出學生思維不確定式的限制局限，從而有效促進學生學習思維的整體靈活性和學習思維的創(chuàng)造性。

數(shù)學思想方法是數(shù)學學科教學的基本精髓，是引導學生將基礎知識能力轉(zhuǎn)化到成為綜合能力的很重要的一條思想紐帶。對于學生來說，從感悟數(shù)形結(jié)合思想方法，到理解數(shù)形結(jié)合思想，再到嘗試聯(lián)系數(shù)形結(jié)合思想，再到自覺地運用數(shù)形結(jié)合思想，掌握數(shù)形結(jié)合思想是一個長期積累、反復訓練的過程。

在小學數(shù)學的日常教學中，教師要積極引導中小學生通過各種方法溝通理解“數(shù)”與“形”的密切聯(lián)系，同時鼓勵學生積極使用多種表征去解決數(shù)學問題，真正培養(yǎng)小學生在解決問題中有意識地運用數(shù)形結(jié)合思想，使學生從中深刻感悟數(shù)形轉(zhuǎn)化結(jié)合的思想，并能夠有創(chuàng)造性地學會運用數(shù)形結(jié)合思想方法解決實際問題。“數(shù)形結(jié)合”是小學生數(shù)學思維發(fā)展的助推器，真可謂是名副其實。

參考文獻：

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