核心素養(yǎng)背景下的數(shù)學(xué)中考命題研究

黃錦書 沈惠娟

【摘要】本文以命制“新定義題型”數(shù)學(xué)中考題為例論述命制數(shù)學(xué)考題的方法，分析2019年廣西北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷的最后一題，對(duì)該考題進(jìn)行改編，明確考題的考查層次、拓寬考題的考查范圍，提出注重問題情境、明晰初中數(shù)學(xué)各知識(shí)板塊的考查比例、考查數(shù)學(xué)本質(zhì)與核心知識(shí)等命題建議。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué) 中考 命題研究 核心素養(yǎng) 新定義題型

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2020）29-0036-04

近年來，聚焦數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)成為中考命題的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)，注重考查思維過程、創(chuàng)新意識(shí)和分析問題、解決問題能力的問題越來越受到命題專家的青睞。如何在考查結(jié)果性目標(biāo)的同時(shí)兼顧過程性目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生“四基”的考查？怎樣命題才能更好地考查數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力呢？筆者認(rèn)為，應(yīng)盡量原創(chuàng)或是加大改編力度，對(duì)試題反復(fù)打磨、精雕細(xì)琢?！靶露x題型”承載了區(qū)分、選拔的功能，其原創(chuàng)取向、由淺入深、數(shù)形結(jié)合的命題風(fēng)格，體現(xiàn)了命題組深厚的命題功底，這類“新定義題型”重在考查學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)思考、理解數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力，引領(lǐng)教學(xué)方向?！靶露x題型”指在問題中定義了一些概念、新運(yùn)算、新符號(hào)，要求學(xué)生“現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用”，用“新定義”解題，考查學(xué)生的閱讀理解能力、應(yīng)變能力及創(chuàng)新能力的一種題型。下面筆者以2019年廣西北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū)中考數(shù)學(xué)試題為例進(jìn)行分析。

一、試題分析

（一）試題呈現(xiàn)

如果拋物線C1的頂點(diǎn)在拋物線C2上，拋物線C2的頂點(diǎn)也在拋物線C1上時(shí)，那么我們稱拋物線C1與C2為“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線。如圖1，已知拋物線C1：y1=[14]x2+x與C2：y2=ax2+x+c是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線，點(diǎn)A，B分別是拋物線C1，C2的頂點(diǎn)，拋物線C2經(jīng)過點(diǎn)D（6，-1）。

（1）直接寫出A，B的坐標(biāo)和拋物線C2的解析式;

（2）拋物線C2上是否存在點(diǎn)E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo);如果不存在，請(qǐng)說明理由;

（3）如圖2，點(diǎn)F（-6，3）在拋物線C1上，點(diǎn)M，N分別是拋物線C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)相同，記△AFM面積為S1（當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A，F(xiàn)重合時(shí)S1=0），△ABN的面積為S2（當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)A，B重合時(shí)，S2=0），令S=S1+S2，觀察圖象，當(dāng)y1≤y2時(shí)，寫出x的取值范圍，并求出在此范圍內(nèi)S的最大值。

“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線這個(gè)“新定義”簡(jiǎn)單明了，沒有晦澀難懂的數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)符號(hào)，簡(jiǎn)約但不簡(jiǎn)單，深入思考就會(huì)發(fā)現(xiàn)其豐富的內(nèi)涵和意蘊(yùn)，但在此題中只是在第（1）問中得到簡(jiǎn)單的應(yīng)用，最后兩問不僅與新定義“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線沒有關(guān)系，甚至與二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象特征也基本不相關(guān)，二次函數(shù)只是作為背景，實(shí)在有點(diǎn)可惜。筆者認(rèn)為這道新定義試題應(yīng)側(cè)重考查代數(shù)知識(shí)，這樣整份試卷的知識(shí)點(diǎn)分配更合理，更能考查學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力和創(chuàng)新能力。筆者對(duì)這道題進(jìn)行研究和改編，敬請(qǐng)廣大同仁批評(píng)指正。

（二）對(duì)試題初步探究

既然兩條拋物線互為關(guān)聯(lián)，那么它們應(yīng)該在“數(shù)”和“形”上應(yīng)該有所聯(lián)系。計(jì)算發(fā)現(xiàn)C2：y2=-[14]x2+x+2中的a=-[14]與C1：y1=[14]x2+x中的a=[14]互為相反數(shù);仔細(xì)觀察圖形發(fā)現(xiàn)，兩條拋物線組成的圖形應(yīng)該是中心對(duì)稱圖形。筆者決定再找?guī)讉€(gè)例子研究，從特殊到一般，看看是否都有這樣的規(guī)律。于是筆者讓點(diǎn)B“動(dòng)”起來，即不要求拋物線C2一定經(jīng)過點(diǎn)D（6，-1）。當(dāng)點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，8）時(shí)，求得C2：y2=-[14]x2+2x+4，兩條拋物線的解析式中的二次項(xiàng)系數(shù)仍互為相反數(shù)。

作出圖形（如圖3），觀察發(fā)現(xiàn)兩條拋物線組成的圖形也是中心對(duì)稱圖形。當(dāng)點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，15）時(shí)，求得C2：y2=-[14]x2+3x+6，兩條拋物線的解析式中的二次項(xiàng)系數(shù)仍互為相反數(shù)，作出圖形（如圖4），觀察發(fā)現(xiàn)兩條拋物線組成的圖形是中心對(duì)稱圖形。不僅如此，比較得到的幾個(gè)C2解析式即可發(fā)現(xiàn)，C2解析式中的常數(shù)項(xiàng)等于一次項(xiàng)系數(shù)的2倍。

由上面分析，筆者猜想：如果兩條拋物線是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線，則兩條拋物線解析式中的二次項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)，兩條拋物線組成的圖形是中心對(duì)稱圖形。下面進(jìn)行推導(dǎo)驗(yàn)證。

不失一般性地，我們?cè)O(shè)拋物線C1：y=a1x2+b1x+c1與C：y=ax2+bx+c是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線，為了方便計(jì)算和后面的推理闡述，就以拋物線y=[14]x2+x的頂點(diǎn)A（-2，-1）作為拋物線C1的頂點(diǎn)，則拋物線C1的解析式可寫成y=a1（x+2）2-1，現(xiàn)在要證明a=-a1以及C與C1組成的圖形是中心對(duì)稱圖形。C1上任意一點(diǎn)B（m，n）為拋物線C的頂點(diǎn)，則拋物線C的解析式可寫成y=a（x-m）2+n?！唿c(diǎn)B在拋物線C1上，∴a1（m+2）2-1=n，又∵點(diǎn)A在拋物線C上，∴a（-2-m）2+n=-1，變形得a（m+2）2+n=-1，解方程組[a1（m+2） 2-1=na（m+2） 2+n=-1得]a=-a1，由此可知C與C1的解析式中的二次項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)。

因?yàn)閽佄锞€C與C1的解析式中的二次項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)，所以互為關(guān)聯(lián)的兩條拋物線的形狀、開口大小一樣，只是開口方向相反、位置不同，只要拋物線C繞線段AB的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，則拋物線C與C1重合，所以互為關(guān)聯(lián)的兩條拋物線組成的圖形是中心對(duì)稱圖形，由此可知猜想是正確的。

由上面結(jié)論可知，如果拋物線C1的解析式為y=[14]x2+x，則拋物線C的解析式中的二次項(xiàng)系數(shù)a=-[14]，則拋物線C的解析式可寫成y=[-14]（x-m）2+n?！唿c(diǎn)B在拋物線C1上，∴n=[14m]2+m，代入y=-[14]（x-m）2+n得y=-[14]x2+[12]mx+m，即b=[12m]，c=m，∴c=2b，即此時(shí)拋物線C的解析式中的常數(shù)項(xiàng)等于一次項(xiàng)系數(shù)的2倍。

在上面分析中，我們從運(yùn)動(dòng)與變化的角度，讓點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)起來，則拋物線C跟著運(yùn)動(dòng)，這樣就成了動(dòng)態(tài)問題。解決動(dòng)態(tài)問題，首先要把握運(yùn)動(dòng)、變化的全過程，在“變”中探求“不變”的本質(zhì)，變中不變即是性質(zhì)。我們探索出新圖形的性質(zhì)之后，就可以為后面運(yùn)用新圖形的性質(zhì)解決問題做準(zhǔn)備。

在這一過程中，筆者先借助幾何直觀猜測(cè)結(jié)論，再從數(shù)的角度驗(yàn)證猜測(cè)。如果只從“數(shù)”的角度出發(fā)，根據(jù)解析式和中心對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)去推導(dǎo)說明點(diǎn)在函數(shù)圖象上是比較煩瑣的，有時(shí)借助幾何直觀進(jìn)行思考會(huì)更簡(jiǎn)便，教師要重視向?qū)W生滲透借助幾何直觀進(jìn)行分析的思考方式。

（三）對(duì)試題進(jìn)一步拓展

由上述分析可知，互為關(guān)聯(lián)的拋物線C與C1組成的圖形是中心對(duì)稱圖形，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，則對(duì)稱中心跟著運(yùn)動(dòng)，那么對(duì)稱中心運(yùn)動(dòng)有規(guī)律嗎？對(duì)稱中心運(yùn)動(dòng)的軌跡是什么？下面筆者先通過合情推理進(jìn)行分析。

拋物線C1：y=[14]x2+x的頂點(diǎn)A（-2，-1），設(shè)對(duì)稱中心為O1，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)O1坐標(biāo)為（-2，-1）;當(dāng)點(diǎn)B坐標(biāo)為（2，3）時(shí)，點(diǎn)O1坐標(biāo)為（0，1）;當(dāng)點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，8）時(shí)，點(diǎn)O1坐標(biāo)為（1，[72]）;當(dāng)點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，15）時(shí)，點(diǎn)O1坐標(biāo)為（2，7）。通過描點(diǎn)觀察，猜想O1的軌跡是一條以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的拋物線。如果從“數(shù)”的角度去猜想，則看（-2，-1），（0，1），（1，[72]），（2，7）這4個(gè)點(diǎn)是否同在一條拋物線上。設(shè)O1的軌跡的解析式為y=a（x+2）2-1，把x=0，y=1代入y=a（x+2）2-1，求得a=[12];把x=1，y=[72]和x=2，y=7代入y=a（x+2）2-1，同樣求得a=[12]，由此可見，這4個(gè)點(diǎn)都同在拋物線y=[12]（x+2）2-1上，由此更加肯定猜想的正確性。下面用演繹推理進(jìn)行驗(yàn)證。

點(diǎn)A坐標(biāo)為（-2，-1），設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)O1坐標(biāo)為（x0，y0），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式（作三角形中位線容易推導(dǎo)出中點(diǎn)坐標(biāo)公式，所以應(yīng)該不算超綱）可知x0=[x-22]，y0=[y-12]，∴x=2（x0+1），y=2y0+1，代入y=[14]x2+x可得y0=[12]（x0+2）2-1，這就是y0與x0的關(guān)系式，把x0換成x，把y0換成y，則得到y(tǒng)=[12]（x+2）2-1，從而證明點(diǎn)O1的軌跡是拋物線y=[12]（x+2）2-1。

推廣到一般情形，為了方便計(jì)算和后面的推理闡述，不失一般性地，筆者還是以點(diǎn)A（-2，-1）作為拋物線C1的頂點(diǎn)，則拋物線C1的解析式可寫成y=p（x+2）2-1，推理同上：設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)O1坐標(biāo)為（x0，y0），可知x0=[x-22]，y0=[y-12]，∴x=2（x0+1），y=2y0+1，代入y=p（x+2）2-1可得y0=2p（x0+2）2-1，這就是y0與x0的關(guān)系式，把x0換成x，把y0換成y，則得到y(tǒng)=2p（x+2）2-1，由此可見，對(duì)稱中心O1的軌跡是一條拋物線。比較y=2p（x+2）2-1和y=p（x+2）2-1，可知這條拋物線與原拋物線頂點(diǎn)相同，其解析式中的二次項(xiàng)系數(shù)等于原拋物線解析式中的二次項(xiàng)系數(shù)的2倍。

上面的結(jié)論是從特殊到一般，由具體到抽象，通過觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、歸納、推理、驗(yàn)證等一系列活動(dòng)得出的。教師如果在日常教學(xué)中經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、探究和發(fā)現(xiàn)，通過幾何直觀、推理和計(jì)算去分析問題、解決問題，可以讓學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。并且，教師不僅要一題多解，還要一題多變，引導(dǎo)學(xué)生多層面、多角度對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行延伸探究，改變靜止孤立思考問題的習(xí)慣，使思維向廣闊的方向聯(lián)想，向縱深方向發(fā)展，達(dá)到由此及彼，觸類旁通的教學(xué)目的，這樣才能培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和靈活性，發(fā)展其創(chuàng)造力。

二、嘗試命制“新定義題型”

由于“新定義題型”考查學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，因此它遵循學(xué)習(xí)規(guī)律：學(xué)習(xí)新知—鞏固新知—運(yùn)用新知，2019年廣西北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷第26題中的新定義是“圖形新定義”，其命制呈現(xiàn)的結(jié)構(gòu)為：給出新圖形的定義—探索新圖形的性質(zhì)—運(yùn)用新圖形的性質(zhì)解決問題。整題在題干中給出新圖形的定義，在題支中設(shè)置探索性質(zhì)、運(yùn)用性質(zhì)的問題，設(shè)問的特點(diǎn)遵循我們認(rèn)識(shí)事物的規(guī)律：從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從特殊到一般。由此，筆者遵循此命題思路嘗試命制新題。

（一）初稿呈現(xiàn)

如果拋物線C的頂點(diǎn)在拋物線C1上，拋物線C1的頂點(diǎn)也在拋物線C上時(shí)，那么我們稱拋物線C與C1“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線。拋物線C：y=ax2+bx+c，拋物線C1：y1=[14]x2+x，點(diǎn)A，B分別是拋物線C1，C的頂點(diǎn)。

（1）如圖5，如果拋物線C與C1是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線，求a的值以及b和c之間的關(guān)系;

（2）拋物線C1以點(diǎn)A為頂點(diǎn)，拋物線C與C1是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線，求證：拋物線C與C1是中心對(duì)稱圖形;

（3）拋物線C與C1是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線，拋物線C與C1組成的圖形的對(duì)稱中心為O1，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)O1跟著運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)分析說明點(diǎn)O1運(yùn)動(dòng)的軌跡是一條拋物線。

此題第（1）問，根據(jù)文字語言和圖形語言初步理解新定義，是對(duì)新定義的簡(jiǎn)單應(yīng)用，先從“數(shù)”的特征提出問題，同時(shí)為第（2）問鋪墊;第（2）問讓學(xué)生在熟悉新定義的基礎(chǔ)上繼續(xù)探索，并從“形”的特征提出問題，對(duì)新定義的性質(zhì)進(jìn)一步研究，同時(shí)為第（3）問鋪墊;第（3）問在前面探索出新定義圖形的性質(zhì)后，讓學(xué)生學(xué)以致用。但仔細(xì)一想，如果這樣設(shè)問，還是沒有考查到二次函數(shù)的主要性質(zhì)，如軸對(duì)稱性質(zhì)和增減性等。雖然考查了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、特殊與一般、類比等數(shù)學(xué)思想，但尚未考查到分類討論思想，感覺壓軸的分量不夠，于是筆者決定再次進(jìn)行改編。

（二）再次改進(jìn)

由前面的分析可知，對(duì)稱中心O1的軌跡是一條拋物線，這條拋物線與原拋物線頂點(diǎn)相同，解析式中的二次項(xiàng)系數(shù)等于原拋物線解析式中的二次項(xiàng)系數(shù)的2倍。拋物線C1的解析式為y=[14]x2+x=[14]（x+2）2-1，點(diǎn)O1的軌跡為拋物線C2：y=[12]（x+2）2-1，如果拋物線C與C2是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線，拋物線C與C2組成的圖形的對(duì)稱中心為O2，由前面的分析易知，點(diǎn)O2運(yùn)動(dòng)的軌跡是拋物線C3：y=（x+2）2-1。以此類推，很容易求出對(duì)稱中心On的軌跡，但這樣還是沒有涉及二次函數(shù)的主要性質(zhì)，也沒用到分類討論思想。由于拋物線C3：y=（x+2）2-1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)比較好算，于是筆者決定以此展開。