考慮剪應(yīng)力作用的有限土體被動土壓力分析

徐日慶 徐葉斌

摘? ?要：以擋土墻后有限范圍砂土為研究對象，建立擋土墻位移與內(nèi)、外摩擦角的關(guān)系，假定墻后土體為圓弧形拱，并考慮層間剪應(yīng)力，采用多道滑裂面假設(shè)下得到的破裂面角與被動土壓力系數(shù)，推導了有限土體的被動土壓力解，該公式也可退化為半無限土體的被動土壓力解. 與模型試驗相比，所提理論解與試驗值吻合較好，證明了解析解的合理性. 參數(shù)分析表明：考慮層間剪應(yīng)力下不影響被動土壓力的合力，但會使其合力作用點升高;被動土壓力隨土體寬高比減小呈現(xiàn)先變化不大后急劇增加的趨勢;被動土壓力合力隨內(nèi)摩擦角增加呈單增趨勢，而合力作用點則隨之降低.

關(guān)鍵詞：被動土壓力;薄層單元法;有限土體;層間剪應(yīng)力;土拱效應(yīng)

中圖分類號：TU 472? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標志碼：A

文章編號：1674—2974（2020）09—0076—09

Abstract：Taking the sand soil in the limited range behind the retaining wall as the object， the relationship between the retaining wall displacement? and the internal and external friction angles is established. Assuming that the earth behind the wall is arc-shaped and considering the shear stress between the soil layers， the angle of fracture surface and passive earth pressure coefficient under the hypothesis of multichannel slip surfaces are adopted， and then the theoretical formula of passive earth pressure with limited soil is derived. It can also be degenerated into the solution of passive earth pressure with semi-infinite soil. Compared with the model test， the proposed theoretical solution is in good consistency with the experimental values， which verifies the rationality of the analytical solutions. Parameter analysis shows that： considering the inter-layer shear stress， the total value of passive earth pressure is not influenced， while the position of action point is higher. The passive earth pressure changes little at first and then increases significantly with the decrease of the soil aspect ratio. With the increase of the internal friction angle， the resultant of passive earth pressure increases while the position of action point is lower.

Key words：passive earth pressure;thin-layer element method;finite soil;inter-laminar shear stress;soil-arching effect

擋土墻后土壓力的計算理論由來已久，經(jīng)典的朗肯土壓力與庫倫土壓力雖被廣泛采用，但均未考慮到墻土摩擦對應(yīng)力狀態(tài)的影響與土體單元的應(yīng)力偏轉(zhuǎn)，且兩者都為線性解，與實際情況差距較大，存在明顯的局限性，雖然理論簡單但無法應(yīng)用于復雜情況. 目前土壓力的求解大多采用薄層單元法分析，土壓力分布曲線具有很強的非線性. 此外大部分土壓力理論均假定擋土墻后的土壓力處于理想狀態(tài)，而實際上并非如此，一方面是由于隨著城市地下空間的蓬勃發(fā)展，基坑擋土墻后土體并不能完全滿足半無限土體的條件，相比于半無限土體，有限土體對基坑擋土墻的主動土壓力會偏小[1-5]，而被動土壓力則會偏大許多[6-7];另一方面，基坑擋土墻的位移往往未達到極限狀態(tài)，土體的內(nèi)外摩擦角未能完全發(fā)揮，直接采用極限狀態(tài)參數(shù)并不合理. 因此有必要對非理想狀態(tài)的被動土壓力進行深入研究，以建立更完善的被動土壓力理論，用以指導相關(guān)的基坑工程擋土墻設(shè)計.

對于非理想狀態(tài)的被動土壓力，為考慮非極限狀態(tài)的影響，徐日慶等[8]引入擋土墻位移與摩擦角發(fā)揮值的關(guān)系，宋飛等[9]進一步考慮密砂的強度變化特性對被動土壓力的影響，推導了砂土在非極限狀態(tài)下的被動土壓力解，能夠從一定程度反映擋土墻后的被動土壓力值，但其解均為線性，可視為朗肯解或庫倫解的一種推廣，具有一定的局限性. 徐明等[10]采用離散元方法研究了大顆粒粒徑混合體的主動土壓力，得到了主動土壓力隨粒徑尺寸的變化規(guī)律. 竺明星等[11]基于雙土拱效應(yīng)推導了砂性土滑坡中抗滑排樁的滑坡推力解，分析表明樁身滑坡推力與滑坡傾角、砂土內(nèi)摩擦角和樁間距比值有關(guān). 應(yīng)宏偉等[5-6]對狹窄基坑下砂土的主動與被動土壓力進行了研究，并通過ABAQUS進行數(shù)值模擬提出對于有限土體其會出現(xiàn)多道潛在滑裂面，其中主動土壓力呈“Z”形，被動土壓力呈“X”形，由此推導得到的理論解表明：對于被動土壓力，有限土體下破裂面夾角隨寬高比減小有所增大，被動土壓力系數(shù)隨寬高比減小而增加，且增幅快速提升.

為了考慮土體單元應(yīng)力偏轉(zhuǎn)的影響，引入土拱效應(yīng)求解土壓力具有重要意義，1936年Terzaghi[12]通過活動門試驗首次證明了土拱效應(yīng)的存在，土拱效應(yīng)是土體在自重與荷載作用下產(chǎn)生不均勻變形，而使得一定范圍內(nèi)土體出現(xiàn)應(yīng)力重分布. 侯鍵等[13]、朱建明等[14]與周曉龍等[15]分別考慮了土拱效應(yīng)的影響，對理想狀態(tài)下砂土與黏土的被動土壓力進行了推導，朱建明等[14]指出對于被動土壓力，土拱效應(yīng)隨墻體傾角增大而增強，合力作用點高度也隨之降低;周曉龍等[15]則提出隨外摩擦角與內(nèi)摩擦角比值的增大土拱效應(yīng)逐漸增強，但上述研究均未考慮層間剪應(yīng)力的影響，這是不合理的. 對土體單元進行受力分析，剪應(yīng)力只有在主應(yīng)力作用面才為零，而考慮土拱作用下主應(yīng)力將發(fā)生偏轉(zhuǎn)，因此應(yīng)當考慮層間剪應(yīng)力的影響. 劉忠玉等[16-17]研究了層間剪應(yīng)力對主動土壓力的影響，結(jié)果表明考慮層間剪應(yīng)力對土壓力合力不產(chǎn)生影響，但會使得主動土壓力作用點有所降低.

通過上述討論可知目前對于臨近地下室的被動土壓力研究較少，還未有考慮土層層間剪應(yīng)力的影響，有待于進一步的研究. 本文在前人研究的基礎(chǔ)上，以平動擋土墻后有限范圍砂土為研究對象，考慮非極限狀態(tài)下的土拱效應(yīng)與層間剪應(yīng)力，采用多滑裂面假設(shè)下得到的破裂面夾角與被動土壓力系數(shù)，并將有限土體分為兩個分離體，采用薄層單元法進行受力分析，得到了有限土體的被動土壓力理論解，并分析參數(shù)變化對被動土壓力的影響，可為相關(guān)工程設(shè)計提供一定參考.

1? ?有限土體被動土壓力推導

由于研究對象為基坑擋土墻后的有限土體，則應(yīng)有土體破裂面與地下室擋墻交點到地面的距離h > 0，如圖1所示.

B為有限土體寬度，H為基坑擋土墻高度，H0為地下室擋墻高度，β為土體破裂面與水平面的夾角.

墻后有限土體的楔形滑裂體可分為Ⅰ區(qū)（矩形）與Ⅱ區(qū)（三角形）兩個分離體進行分析. 對于Ⅰ區(qū)，其薄層單元寬度固定為B;對于Ⅱ區(qū)，土體薄層單元寬度為Bz =（H - z）cot β. 當h = 0時，墻后土體只有Ⅱ區(qū)，即與半無限土體相同.

為了簡化理論推導，可做如下假設(shè)：

其中h值為：

1）墻后砂土為單一土層，其內(nèi)摩擦角為φ，土體與基坑擋土墻和地下室擋土墻之間的外摩擦角分別為δ和α.

2）地下室擋墻不產(chǎn)生位移，基坑擋土墻位移模式為平動，其水平位移設(shè)為Sz .

3）墻頂后土體與擋土墻在同一水平線上，且上部附加荷載均勻分布，設(shè)為q0 .

4）墻后破裂面與地下室外墻相交，即有H0 > h.

5）墻后砂土的土拱為大主應(yīng)力拱，土拱形狀為圓弧形.

1.1? ?非極限狀態(tài)下的摩擦角

非極限狀態(tài)是指擋土墻逐漸產(chǎn)生位移而使其后土體的摩擦角逐漸發(fā)揮的某一狀態(tài).

對于內(nèi)摩擦角發(fā)揮值φm和外摩擦角發(fā)揮值δm，在平動模式下，F(xiàn)ang等[18]與Matsuzawa等[19]分別通過模型試驗與數(shù)值模擬得出φ與δ隨位移呈線性增長，然后保持一恒定值的結(jié)論，其取值均可采用Chang[20]提出的公式.

對于內(nèi)摩擦角發(fā)揮值φm，其值為：

式中：土的內(nèi)摩擦角初始值φ0可采用Federico等[21]的研究成果，取φ0 = 0.64φ. η為墻體位移比，其值為η = Sz /Sp，Sz為某被動狀態(tài)下墻體的位移，Sp為被動極限狀態(tài)下墻體的位移.

對于外摩擦角發(fā)揮值δm，其值為：

初始外摩擦角δ0可取為φ/2[19]，δ為實測值，在缺乏資料時可取δ = 2φ/3[20].

對于地下室擋土墻和土體之間的外摩擦角αm也有相同的結(jié)論.

1.2? ?非極限狀態(tài)下土拱效應(yīng)分析

1.2.1? ?Ⅰ區(qū)土拱效應(yīng)分析

圖2給出了擋土墻后Ⅰ區(qū)土體的大主應(yīng)力軌跡線.

由圖2中幾何關(guān)系可知：

圖3所示為擋土墻后土體的應(yīng)力莫爾圓.

由圖中的應(yīng)力莫爾圓可求得有限土體兩側(cè)的主應(yīng)力偏轉(zhuǎn)角分別為：

微分單元體豎向應(yīng)力和水平向應(yīng)力分別為

式中：Kpm為朗肯被動土壓力系數(shù)，其值為

1.2.2? ?Ⅱ區(qū)土拱效應(yīng)分析

圖4所示為擋土墻后Ⅱ區(qū)土體的大主應(yīng)力軌跡線.

由圖4中幾何關(guān)系可知：

1.3? ?層間剪應(yīng)力系數(shù)

1.3.1? ?Ⅰ區(qū)層間剪應(yīng)力系數(shù)

對于土層層間剪應(yīng)力，由章瑞文等[22]與圖3可求得其值為

1.3.2? ?Ⅱ區(qū)層間剪應(yīng)力系數(shù)

對于Ⅱ區(qū)的土體，考慮土拱效應(yīng)下的平均剪應(yīng)力為

1.4? ?破裂面角與被動土壓力增強系數(shù)

對于破裂面角與被動土壓力系數(shù)，本文參照應(yīng)宏偉等[6]文中方法，假定有限寬度土體將會出現(xiàn)多道潛在滑裂面，其計算模型如圖5所示.

當基坑擋土墻后為半無限土體時，僅有一道滑裂面，即滿足

記β1為第一道滑裂面夾角，作用在h1上的被動土壓力合力為F1，相應(yīng)的被動土壓力系數(shù)為K1. 按照經(jīng)典庫倫理論，使被動土壓力系數(shù)K1達到極小值Kc的滑裂面角β1即為庫倫滑裂面角βc，其中Kc與βc分別為

當土體寬高比減小剛進入有限土體時，將產(chǎn)生第二道滑裂面，此時滿足

記β2為第二道滑裂面夾角，作用在h2上的被動土壓力合力為F2，相應(yīng)的被動土壓力系數(shù)為K2.

取梯形滑裂體進行分析，其受力分析如圖6所示.

其水平向與豎向的受力平衡方程如下：

對于楔形體滿足庫倫理論的求解條件，由此可知此時β2 = βc，K2 = Kc，代入式（23），并將K1對ξ1進行求導，導數(shù)為零的點即為被動土壓力系數(shù)K1的極值點，由此也可得到相應(yīng)的最危險滑裂面角β1 .

式中：

當土體寬度進一步減小時，將使n2也不再滿足n2 ≥ nc的條件，此時將產(chǎn)生更多的滑裂面，假設(shè)共產(chǎn)生n組滑裂面，第i組滑裂面底部相應(yīng)的深度為hi，相應(yīng)的滑裂面傾角為βi，被動土壓力合力為Fi .

設(shè)半無限土體下得到的被動土壓力系數(shù)和破裂面角為Kc與βc，在有限土體B寬度下得到的被動土壓力系數(shù)和破裂面角為KB與βB，令有限土體被動土壓力增強系數(shù) 為

1.5? ?隔離體靜力平衡方程推導

1.5.1? ?Ⅰ區(qū)靜力平衡方程

?、駞^(qū)薄層單元進行受力分析，如圖7所示.

根據(jù)圖7的受力分析圖，分別建立豎向及水平向微分方程為

1.5.2? ?Ⅱ區(qū)靜力平衡方程

取Ⅱ區(qū)薄層單元進行受力分析，如圖8所示.

根據(jù)圖8的受力分析，分別建立豎向及水平向微分方程為

1.6? ?擋土墻后側(cè)向土壓力

考慮被動土壓力增強系數(shù)后，側(cè)向土壓力為

1.7? ?被動土壓力合力及其作用點位置

擋土墻后被動土壓力合力作用點距離擋土墻底部為hp，其值可按下式計算

2? ?模型試驗對比分析

應(yīng)宏偉等[7]對砂土的被動土壓力進行了模型試驗研究. 模型試驗參數(shù)如下：填土重度γ = 14.6 kN/m3，摩擦角φ = 35°，墻土間摩擦角δ = 16.57°，填土表面均布荷載q0 = 0，擋土墻后土體高度為H = 0.525 m. 當土體寬高比為B/H = 10/3，可得B > H cot β，即為半無限土體;當墻后土體寬高比為B/H = 4/5時，可得B < H cot β，即為有限土體. 具體試驗裝置和試驗過程詳見文獻[7].

圖9給出了半無限土體和有限土體的理論解與試驗值的對比圖，其中應(yīng)宏偉理論解與侯鍵理論解詳見文獻[6]與[13]. 結(jié)果表明：首先，無論是半無限土體還是有限土體，與侯鍵解和應(yīng)宏偉解相比較，本文理論解均表現(xiàn)為上部偏大，而下部偏小一些，這可能與本文考慮了土層層間剪應(yīng)力有關(guān). 總體上本文解能較好地與試驗值相吻合，驗證了本文方法的合理性. 其次，所得被動土壓力理論解在底部相比試驗值會偏大，這可能是由于土體底部為模型箱而帶來邊界效應(yīng)的影響.

3? ?參數(shù)分析

為了研究φ、B/H和層間剪應(yīng)力對被動土壓力大小及分布的影響，本文通過算例來討論各因素的影響規(guī)律. 參數(shù)統(tǒng)一取值為：H = 10 m，φ = 30°，δ = α = 2φ/3，γ = 16 kN/m3，q0 = 0 kPa，η = 1.0，土體寬度B > H cot β，即為半無限土體. 在考慮相關(guān)參數(shù)影響時再另取值.

3.1? ?層間剪應(yīng)力的影響

圖10給出了層間剪應(yīng)力和土拱效應(yīng)對被動土壓力的影響，從中可以得出：無論是被動極限狀態(tài)還是非極限狀態(tài)，考慮土拱效應(yīng)均會使被動土壓力的分布非線性更強，而考慮層間剪應(yīng)力下被動土壓力分布總體會有所抬高，而對其合力不產(chǎn)生影響. 其中，在擋土墻上部，考慮層間剪應(yīng)力作用的被動土壓力比未考慮層間剪應(yīng)力的要大，而擋土墻下部則反之. 這是由于在平移模式下，被動土壓力的層間剪應(yīng)力方向與主動土壓力相反，導致應(yīng)力由土體底部向表面?zhèn)鬟f. 土層層間剪應(yīng)力作為土體的內(nèi)力，由作用力和反作用力的關(guān)系可知，其僅會影響土體被動土壓力的分布，而不影響被動土壓力的合力.

3.2? ?寬高比的影響

圖11給出了不同內(nèi)摩擦角下被動土壓力合力隨土體寬高比變化的規(guī)律. 由圖可知，對于不同內(nèi)摩擦角，隨著土體寬高比的減小，被動土壓力合力均表現(xiàn)為初期略有減小后增大，達到臨界點之后呈急劇增長的趨勢. 且土體內(nèi)摩擦角越小，土體由半無限土體進入到有限土體的B/H值越小. 不難解釋，土體內(nèi)摩擦角越小，則破裂面角越大，有限土體的臨界值B/H也就越小. 土壓力合力的變化規(guī)律則是由于土體寬高比剛進入有限土體時，滑裂區(qū)土體減少引起被動土壓力減小，而被動土壓力系數(shù)初期變化不大;當土體寬高比進一步減小時，由于地下室擋土墻的約束導致被動土壓力系數(shù)迅速增大，從而使被動土壓力呈現(xiàn)急劇增長的趨勢.

3.3? ?內(nèi)摩擦角的影響

圖12給出了內(nèi)摩擦角φ對被動土壓力的影響，由此可知：無論是有限土體還是半無限土體，被動土壓力合力均隨φ的增大而逐漸增大，且變化幅度不斷增大;合力作用點則隨φ的增大逐漸降低，半無限土體作用點高度始終高于有限土體. 不難解釋，與主動土壓力隨φ的增大而減小不同，由于被動土壓力的兩側(cè)摩擦力是向下的，因此內(nèi)摩擦角增加會導致側(cè)向土壓力增大. 同樣地，在內(nèi)摩擦角一定時，外摩擦角與內(nèi)摩擦角比值增大也會引起側(cè)向土壓力增大. 對于作用點高度，由于有限土體與半無限土體的被動土壓力差值在下部顯著大于上部，因此使得有限土體作用點高度偏低.

4? ?結(jié)? ?論

本文通過考慮土拱效應(yīng)、土層層間剪應(yīng)力和土體寬高比的影響，推導了有限土體的被動土壓力解，該公式也可退化為半無限土體的被動土壓力解. 與模型試驗結(jié)果和前人理論解相對比，本文理論解能更好地與試驗值吻合，證明了本文解的合理性. 參數(shù)分析表明：

1）對于被動土壓力，層間剪應(yīng)力使得其合力作用點有所抬高，而對其合力不產(chǎn)生影響，層間剪應(yīng)力系數(shù)的數(shù)值取決于內(nèi)外摩擦角與破裂面角.

2）隨著寬高比的增加，被動土壓力合力呈現(xiàn)先變化不大后急劇增長的趨勢，且土體內(nèi)摩擦角越小，土體由半無限土體進入到有限土體的B/H值越小.

3）無論是有限土體還是半無限土體，隨著內(nèi)摩擦角的增加，均表現(xiàn)為被動土壓力合力逐漸增大，合力作用點逐漸降低.

目前關(guān)于土體寬高比對被動土壓力影響的理論與試驗還較少，有待于更多的理論研究與試驗結(jié)果來更好地揭示其影響規(guī)律.

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