基于概率密度演化的風機基礎疲勞可靠度計算

趙儉斌 王凱威 王一達 付兵

摘? ?要：風機底部基礎在風荷載作用下會產(chǎn)生疲勞破壞.為了研究風荷載作用下風機的疲勞可靠性，將隨機脈動風荷載進行正交展開，用數(shù)論選點法和概率密度演化方法將展開的風荷載模型用于風機塔身的疲勞可靠度計算.采用推力系數(shù)法計算風荷載作用下風機基礎較危險部位的應力時程，然后用雨流計數(shù)法統(tǒng)計該點的疲勞損傷，將其代入概率密度演化方程并通過差分計算可求得疲勞損傷的概率密度函數(shù).通過累計疲勞損傷小于1的概率可求得危險部位的疲勞可靠度，也就是整個基礎的疲勞可靠度.以一3 MW風機作為算例驗證了本文方法的有效性，應用概率密度演化方法，可以精確地給出基礎在風荷載作用下的疲勞可靠度，本文成果對于近似工況的風機基礎疲勞可靠度的計算具有借鑒意義.

關鍵詞：風機;概率密度演化;疲勞可靠度;正交展開;雨流計數(shù)法

中圖分類號：TU359;TM614? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標志碼：A

文章編號：1674—2974（2020）09—0120—08

Abstract：The bottom of wind turbine foundation will cause fatigue damage under wind loads. In order to study the fatigue reliability of wind turbines under wind loads， the random fluctuating wind loads were expanded orthogonally， and the expanded wind load model was used to calculate the fatigue reliability of the wind turbine tower using the number theory selection method and the probability density evolution method. The thrust coefficient method was used to calculate the stress time history of the dangerous part of the wind turbine foundation under the wind load， and then the fatigue damage of the point was calculated by the rain flow counting method， which is substituted into the probability density evolution equation. The probability density function of fatigue damage can be obtained by solving differential equation. By accumulating the probability of fatigue damage less than 1， the fatigue reliability of the dangerous parts can be obtained， that is， the fatigue reliability of the entire foundation. The effectiveness of the proposed method is verified by a 3 MW wind turbine. Using the probability density evolution method， the fatigue reliability of the foundation under wind load can be accurately given. The findings of this paper have reference significance for the calculation of fatigue reliability of wind turbine foundation under similar working conditions.

Key words：wind turbine;probability density evolution;fatigue reliability;orthogonal expansion;rain flow counting

在過去20年，風電持續(xù)高速發(fā)展[1-3]，到2018年底，全球風電累計裝機容量已突破600 GW，新增裝機容量共53.9 GW.風機受到長期的動力荷載作用，疲勞問題突出，需要準確預測風機結構的疲勞損傷，尤其是在塔底動應力很高的地方.

影響結構疲勞損傷的因素甚多，其中荷載是最主要的方面，風荷載本質(zhì)上具有不可忽略的隨機性，因此，采用可靠度的分析方法分析結構疲勞損傷是一種自然的選擇.

目前，可靠度的求解方法包括：Monte Carlo[4，5]、一次二階矩[5]、響應面法[5]等. 基于一次二階矩理論的可靠度分析方法的主要目標在于尋求隨機結構響應的二階矩統(tǒng)計量. 在獲得二階矩統(tǒng)計量之后，通過假定結構響應服從正態(tài)分布計算結構的使用可靠度.響應面法的基本思想是將功能函數(shù)的輸入和輸出變量表示為標準正態(tài)分布變量的多項式，而各變量的系數(shù)通過配點法（collocation points）確定，最后由功能方程得到可靠指標和失效概率.Monte Carlo法雖然適用性較強，但以過高的計算量為代價. 近年來陳建兵和李杰[7-9]發(fā)展了一類隨機結構反應的概率密度演化方法，利用這種方法，可以精確定量地給出結構反應的演化概率密度曲線族，由此，可方便地根據(jù)指定的位移反應限值，直接計算給出隨機結構在隨機荷載作用下的可靠度.

對于風機這種新的結構形式，其受到的風荷載突出，隨機風引起的疲勞損傷問題也更突出，但是有關風機結構的疲勞可靠度分析成果還很少.

本文基于概率密度演化思想，構造一個虛擬隨機過程，使得隨機結構時域內(nèi)的疲勞損傷為該虛擬隨機過程的截口隨機變量. 進而，建立概率密度演化方程并求解出隨機結構疲勞損傷的概率密度，在安全域內(nèi)積分給出結構的疲勞可靠度.

1? ?風荷載的數(shù)值模擬

設x，y，z為空間中的一個點，其中z是離地面的高度，x是橫向風向，y是順風向.在實踐中，為了簡化概念，風速波動可以在平面y=0中表征[10]. 當只考慮豎向相關性時，風速場可以寫成：

2? ?疲勞可靠度分析的概率密度演化方法

在對風速進行正交展開后，可將展開結果代入塔身動力反應控制方程，求解控制方程進而可以得到對應不同θ的動力反應（如塔身某點的速度），將對應于不同θ的動力反應代入概率密度演化方程，將求解結果對θ積分，可得所需要的動力反應隨時間變化的概率密度.

風機結構的動力反應控制方程[14]為：

對于疲勞損傷D，就結構動力學問題而言，它必連續(xù)依賴于隨機參數(shù)θ，構造以τ為虛擬時間參數(shù)的虛擬隨機過程Zl

3? ?疲勞累積損傷理論

損傷是指在循環(huán)荷載作用下材料的損壞程度，一般用一個無量綱參數(shù)D來表示它，當D = 0時，說明材料完好無損，當D > 1時，表示材料已經(jīng)達到它的疲勞壽命.

在隨機荷載作用下，結構疲勞損傷分析采用疲勞累積損傷理論. 目前普遍采用的理論有Palmgren[20]-Miner[21]線性疲勞損傷準則.

本文主要分析風荷載作用下風機塔身底部混凝土基礎的疲勞可靠度，采用P-M準則對應的S-N曲線[22]為：

式中：Smax為風荷載作用下的應力范圍，單位為MPa，Nf為對應Smax的導致材料發(fā)生疲勞破壞的循環(huán)次數(shù).疲勞損傷D的定義為

式中：nk為第k級應力幅值下的實際循環(huán)次數(shù)，Nf k為第k級應力幅值下達到疲勞破壞時的允許循環(huán)次數(shù)，由S-N曲線查得. k為計算疲勞損傷時所涉及到的所有工況所對應的應力幅值總數(shù).

4? ?實例計算

本文基于某風電場3 MW風力發(fā)電機進行建模分析.該風力發(fā)電機輪轂高度90 m，風輪直徑100.8 m，額定風速11.9 m/s，設計壽命為20年. 基礎混凝土采用圓形臺柱式擴展基礎，底板直徑21.5 m，高3.9 m，埋深3.5 m. 塔筒材料為Q345鋼材，基礎環(huán)采用Q345鋼材，基礎混凝土采用C35混凝土，底部采用完全約束，采用ABAQUS有限元軟件建立模型，選用實體單元.表1為各段塔筒的幾何參數(shù)，采用的ABAQUS中混凝土損傷本構模型如圖1所示.

圖1中，fcm為屈服強度，εc1為屈服應變，Ec為彈性模量，dc為損傷因子，εinc? 為非線性應變，εplc? 為塑形應變，εelc? 為彈性應變，σc為壓應力，εc為壓應變，dc = （1 - βc）εinc? Ec /σc +（1 - βc）εinc? Ec，βc取值為0.35～0.7，應力應變關系由混凝土規(guī)范[23]提供，將相關參數(shù)輸入軟件中計算可得所需數(shù)據(jù).

4.1? ?風荷載的計算

平均風速的選取考慮到輪轂處的工作情況，根據(jù)平均風速的指數(shù)模型計算可選取相應10 m處平均風速（標準平均風速）12 m/s.

在計算方程（18）時，令θ = θq，θq = （θ1，q，θ2，q，…，θs，q）（s = 15，q = 1，2，…，Nsel），將對應θq的D（θq，T）代入方程中，可得聯(lián)合概率密度函數(shù)p zl Θ（z，θq，τ），進而對方程（20）積分并結合式（21）和（22），最終可得D值的疲勞可靠度.關于Nsel的選取遵循數(shù)論選點法，在Matlab中實現(xiàn)選取步驟，對n = 2 422 957的隨機列向量采用數(shù)論選點法[10，15，16]進行篩選，得到Nsel = 182個隨機列向量組，依次編號1、2、3…，方便后續(xù)整理計算.

在這182個隨機列向量組的基礎上，根據(jù)算法在Matlab中進行編程，獨立地生成標準平均風速為12 m/s時的182種風速時間歷程，每一個隨機列向量對應生成一個風速時程，將脈動風速時程繼承隨機列向量的編號，并將脈動風時程與平均風時程合并，可得到輪轂處的總風速時程，如圖2.

為了驗證風速模擬數(shù)值的準確性，在平均風速為10.27 m/s時進行實測，實測風速的采樣頻率為1/7 Hz，選擇的實測風速為風向穩(wěn)定且基本與應變測點一致的時間段，實測結果如圖3. 采用文中所述方法展開風速為10.27 m/s時結果如圖4.

由對比可知，文中風速展開方法與實測值趨勢大體一致，可以由此確定風速模擬取值的正確性.

4.2? ?風機動力響應的有限元模擬

將風荷載時程加載至風機模型上，可以得到各個隨機風荷載下的風機動力響應，本文主要觀察鋼環(huán)與混凝土接觸范圍內(nèi)的動力響應，取10 m處平均風速為12 m/s.利用公式（14）、（15）計算塔身處各點的風荷載時程.

將風荷載加至有限元模型，并考慮塔身風荷載的影響，采用應力等值線來表示模型內(nèi)部的應力分布情況，可以清晰描述外動力響應在結構中的分布，從而快速確定模型中的最危險區(qū)域.疲勞損傷的計算是在等效應力時程的基礎上計算，因此提取基礎環(huán)和基礎的等效應力云圖.本文提取182種隨機風荷載時程的第一和第二個時程，編號為1、2，編號1、2動力響應下基礎環(huán)和基礎等效應力云圖如圖5所示.

由圖5可看出，基礎環(huán)在與混凝土基礎上部接觸部位出現(xiàn)應力集中現(xiàn)象，初步驗證了本文工況破壞發(fā)生的位置，進一步提取出編號1動力響應混凝土基礎的整體應力云圖與剖面應力云圖如圖6所示.

同樣，查看其他編號動力響應的應力云圖與編號1的結果進行對比，可看到應力最大的位置相同，區(qū)別只是應力大小和時程的變化. 如圖7為編號2動力響應的風機基礎的動力響應結果.

由圖6和圖7可知，在順風向的鋼環(huán)內(nèi)外側與混凝土基礎表面接觸處，動力響應產(chǎn)生的混凝土應力值最大，此處為疲勞危險位置，符合實際工程發(fā)生的破壞位置.

經(jīng)過對比發(fā)現(xiàn)鋼環(huán)內(nèi)側混凝土的應力比外側更高，這意味著，當工程實際遇到本文工況基礎環(huán)外側混凝土疲勞破壞時，其實鋼環(huán)內(nèi)側混凝土接觸部分更有可能已經(jīng)破壞. 提取危險點的應力響應，所有編號荷載作用下的危險點應力響應如圖8所示，編號1對應的壓應力時程如圖9所示，編號1的雨流統(tǒng)計數(shù)據(jù)如圖10所示.由于風荷載是θ的函數(shù)，故應力時程平均應力和最大幅值隨θ = 182而變化，由圖8可見，最大應力幅值可達10 MPa.

根據(jù)有限元模擬所得的應力時程運用雨流計數(shù)法進行求解疲勞損傷，根據(jù)雨流計數(shù)法的基本思想在Matlab中進行編程，得到雨流計數(shù)結果之后可將結果進行等效應力修正，結合選取的S-N曲線對所有編號響應情況的應力時程根據(jù)線性疊加理論進行疲勞損傷計算，結果如圖11所示.

圖11的疲勞損傷值為加載時長600 s時的過程所造成的疲勞損傷，將求解出的疲勞損傷轉化為以秒為單位，將之與所需計算的加載時長相乘即可得到所需年限的疲勞損傷，以此可以分別計算出使用時長10年～30年時危險點處的疲勞損傷累計值.

將疲勞損傷定義為關于τ的隨機過程，即虛擬隨機過程，并進一步進行離散，采用單邊差分法進行計算方程（18）的數(shù)值解.

采用單邊差分方法時，其中時間步數(shù)為100，步長為0.01 s，疲勞離散步數(shù)為50步，離散區(qū)間為[0，5]，每一編號對應的疲勞損傷結果都作為初始條件進行一次計算，將計算所得所有編號的疲勞概率分布離散數(shù)值解相加，可以得到此年限下的概率密度數(shù)值解，不同年限時，代入不同的疲勞累計損傷即可得到該年限下的疲勞破壞概率密度數(shù)值解，全部結果展示如圖12所示. 其中疲勞破壞年限為30年、20年和10年的概率密度離散值如圖13所示.

由圖11、圖12可看出，使用時間越短時，疲勞損傷累計值小于1的概率分布越多，隨著年限增加疲勞概率密度曲線總體呈現(xiàn)向疲勞損傷大于1的方向偏移的趨勢.

當疲勞損傷值在1以下時，鋼環(huán)側混凝土不會發(fā)生疲勞破壞，換言之，結構處于安全狀態(tài). 將疲勞損傷值為1以下的疲勞概率進行數(shù)值積分，即為結構處于安全狀態(tài)的概率，即為結構的安全可靠度. 可靠度計算結果如圖14所示.

由圖14可見，隨著時間的增加，疲勞可靠度不斷降低，隨著年限的增加，疲勞可靠度的降低呈現(xiàn)不斷加快的趨勢.當年限到達30年時，疲勞可靠度為76.66%，風機使用時長20年時，疲勞可靠度為94.67%.從已有文獻[24]來看，風機在使用壽命20年內(nèi)，基礎環(huán)附近混凝土發(fā)生疲勞破壞是真實存在的.

5? ?結? ?論

本文主要研究了陸上風機在風荷載作用下混凝土基礎的疲勞可靠度，具體結論如下：

1）根據(jù)隨機動力作用的正交展開法和數(shù)論選點法，將風荷載展開為分散點集，由此進行動力荷載的計算較為合理.這種方法是用概率密度演化方法求解概率密度的前提和基礎.

2）提出了一個基于概率密度演化方法的疲勞概率計算方法，將雨流計數(shù)法得到的疲勞損傷D值代入概率密度演化方程進而求解基礎處疲勞損傷的概率密度是一種有效的方法，不但過程簡單，而且精度較高.采用概率密度演化方法，可精確定量地給出結構反應的演化概率密度曲線族，由此，可以方便地得出結構在隨機荷載作用下的各種可靠度.給定閥值為1，通過對概率密度在小于閥值的范圍內(nèi)進行積分可得對應某風速的疲勞可靠度.

3）由表2可以看出，本文所研究的混凝土基礎的疲勞可靠度隨著時間降低，當年限到達30年時，疲勞可靠度只有大約76.66%，這意味著，風機基礎有23.34%的概率發(fā)生疲勞破壞，這是一個非常危險的數(shù)值，結合本文實際工況實例中風力發(fā)電機的設計壽命為20年，風機使用時間長20年時的疲勞可靠度有94.67%，意味著疲勞破壞概率為5.33%，也印證了本文實際工況的發(fā)生并不是意外情況，尤其是在風機場的風機數(shù)量基數(shù)大的情況下，發(fā)生本文工況所示的疲勞破壞的概率還是不容小覷的.

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