導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)

諶鳳霞 陳娟

摘 要：導(dǎo)數(shù)是微分學(xué)中重要的核心概念，其產(chǎn)生的背景深刻且應(yīng)用廣泛。基于“以學(xué)為中心”的教學(xué)要求，通過(guò)問(wèn)題導(dǎo)入、啟發(fā)探究、應(yīng)用舉例、知識(shí)總結(jié)、課后鞏固等設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)，調(diào)動(dòng)了學(xué)生在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，主動(dòng)探索新知識(shí)的信心，引導(dǎo)學(xué)生自主探究掌握知識(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)的概念;教學(xué)設(shè)計(jì)

《高等數(shù)學(xué)》是我校工科類、管理類本科專業(yè)必修的一門(mén)公共基礎(chǔ)課程。本課程的培養(yǎng)目標(biāo)是通過(guò)高等數(shù)學(xué)基本概念、基本理論及基本運(yùn)算的學(xué)習(xí)使學(xué)生具有分析、解決專業(yè)中實(shí)際問(wèn)題的能力，從而培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索、勇于發(fā)現(xiàn)的科學(xué)精神?！皩?dǎo)數(shù)的概念”在《高等數(shù)學(xué)》課程的學(xué)習(xí)中起到貫穿始終、承上啟下的作用。

本次課依據(jù)專業(yè)需求教高數(shù)、技術(shù)發(fā)展教方法、學(xué)生志趣改手段，采用靈活多樣的教學(xué)方法，通過(guò)任務(wù)驅(qū)動(dòng)引入教學(xué)內(nèi)容，案例式教學(xué)、參與式教學(xué)實(shí)施教學(xué)內(nèi)容，結(jié)合網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)完成知識(shí)的傳授、內(nèi)化和升級(jí)，這種教學(xué)模式，營(yíng)造了學(xué)生想學(xué)、樂(lè)學(xué)的教學(xué)氛圍。在學(xué)習(xí)方法上，注重培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作探究、總結(jié)反思三種能力，使學(xué)生從“我學(xué)會(huì)”轉(zhuǎn)變成“我會(huì)學(xué)”。

導(dǎo)數(shù)是微分學(xué)中重要的核心概念，其產(chǎn)生的背景深刻且應(yīng)用廣泛。本次課設(shè)計(jì)的重點(diǎn)是如何把導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的背景、廣泛的應(yīng)用、抽象的概念和厚重的歷史文化有機(jī)地融合并滲透到德育和智育中去。為此，本節(jié)課引導(dǎo)學(xué)生在日常生活中乘坐高鐵時(shí)觀察到的兩個(gè)細(xì)節(jié)入手，采用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)模式，運(yùn)用極限方法開(kāi)展探究。讓學(xué)生經(jīng)歷提出問(wèn)題，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的全過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、抽象概括能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。通過(guò)不同背景問(wèn)題共性的概括，導(dǎo)數(shù)概念的產(chǎn)生自然是水到渠成。

一、創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)入新課

函數(shù)是高等數(shù)學(xué)研究的主要對(duì)象。在第一章我們用極限方法研究了函數(shù)的連續(xù)性。這一章我們繼續(xù)使用極限方法給出研究函數(shù)的一個(gè)有力工具。請(qǐng)同學(xué)們看一個(gè)短視頻，短片中飛馳的高鐵是我國(guó)創(chuàng)新能力的標(biāo)志性成果，也是我國(guó)向世界遞出的一張靚麗的名片。

短片中兩個(gè)細(xì)節(jié)引起的問(wèn)題值得同學(xué)們的思考。第一個(gè)是電子屏清晰地顯示了高鐵在變速行駛中每個(gè)時(shí)刻的速度，這個(gè)瞬時(shí)速度怎樣求出來(lái)的？第二個(gè)問(wèn)題，當(dāng)高鐵駛?cè)霃澋罆r(shí)，為保持高鐵的平穩(wěn)運(yùn)行，彎道的設(shè)計(jì)會(huì)涉及到求曲線的切線斜率，這個(gè)切線斜率又如何求解呢？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)精心設(shè)計(jì)的視頻短片，使學(xué)生聯(lián)系實(shí)際，吸引學(xué)生注意力，激發(fā)學(xué)生解決問(wèn)題的積極性。

1、 瞬時(shí)速度

設(shè)質(zhì)點(diǎn)做變速直線運(yùn)動(dòng)，其位置函數(shù)為s=f（t），時(shí)刻t0處的位置為f（t0），怎樣求t0時(shí)的瞬時(shí)速度呢？

我們現(xiàn)在不會(huì)求瞬時(shí)速度，因?yàn)檫@是個(gè)速度是變化的，但同學(xué)們會(huì)求平均速度。為此，再取一個(gè)時(shí)刻t，就可計(jì)算出從t0到t時(shí)間間隔內(nèi)的平均速度，即

當(dāng)所取的時(shí)間間隔很小時(shí)，用平均速度近似代替t0時(shí)的瞬時(shí)速度。 若所取的時(shí)間間隔越小，則這個(gè)平均速度就越接近t0時(shí)的瞬時(shí)速度。讓t無(wú)限地趨近t0 ，若平均速度的極限存在，大家看，這個(gè)極限值就是什么？ 對(duì)，就是高鐵在t0時(shí)的瞬時(shí)速度。

2、切線的斜率

當(dāng)點(diǎn)N沿曲線C無(wú)限接近于點(diǎn)M（動(dòng)畫(huà)演示切線形成過(guò)程）。割線MN的極限位置就是曲線C在點(diǎn)M處的切線。

當(dāng)點(diǎn)N沿曲線C無(wú)限接近于點(diǎn)M時(shí)，則有x→x0。對(duì)割線MN的斜率，取x→x0時(shí)的極限，若極限存在，則該極限值就是切線MT的斜率。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)兩個(gè)引例的解釋，幫助學(xué)生思考解決問(wèn)題的關(guān)鍵與方法途徑，為新課的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

二、啟發(fā)探究、揭示本質(zhì)

回顧這兩個(gè)問(wèn)題，這兩個(gè)問(wèn)題有什么共性呢？

對(duì)，雖然這兩個(gè)問(wèn)題的背景不同，但從數(shù)學(xué)上看二者本質(zhì)卻是相同的，都?xì)w結(jié)為函數(shù)在一點(diǎn)處的改變量和自變量改變量之商的極限。這個(gè)商的分子是函數(shù)值之差，分母是自變量之差，所以這種形式的極限也稱為差商的極限。我們就把這種差商的極限抽象出來(lái)，上升為數(shù)學(xué)上的概念，就是導(dǎo)數(shù)的定義。

三、應(yīng)用舉例、鞏固概念

例1 求函數(shù)y=x2在點(diǎn)x=2處的導(dǎo)數(shù)。

例2 求函數(shù)y=sinx在點(diǎn)x=1處的導(dǎo)數(shù)。

選擇了簡(jiǎn)單而具有代表性的兩個(gè)例子，采用板書(shū)推導(dǎo)，嚴(yán)格給出解答步驟，培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范解題與書(shū)寫(xiě)的能力。讓同學(xué)們討論如何判斷函數(shù)在一點(diǎn)是否可導(dǎo)？并討論總結(jié)出求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的一般步驟。讓同學(xué)們知道導(dǎo)數(shù)的定義式既可用于判定又可用于計(jì)算，加深對(duì)課程內(nèi)容的理解。

四、知識(shí)拓展、提升技能

（1）如何定義函數(shù)f（x）在閉區(qū)間 [a， b]上可導(dǎo)呢？

（2）函數(shù)f（x）在一點(diǎn)處可導(dǎo)與在這點(diǎn)處有切線是什么關(guān)系？函數(shù)連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系？

（3）導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

五、知識(shí)總結(jié)、深化學(xué)習(xí)

（1）通過(guò)思維導(dǎo)圖的動(dòng)畫(huà)形式對(duì)本課主要內(nèi)容和知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)，形式有趣，更容易達(dá)到教學(xué)效果。

（2）本課課后，在課堂派上發(fā)布課后作業(yè)，通過(guò)作業(yè)為掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式做好準(zhǔn)備。

（3）思考問(wèn)題：求函數(shù)y=sinx，y=logax的導(dǎo)數(shù)，老師和同學(xué)們?cè)谡n堂派中交流討論。課后鞏固過(guò)關(guān)，對(duì)作業(yè)及時(shí)批閱和針對(duì)性的輔導(dǎo)。

本節(jié)課使用了信息化教學(xué)手段，使得課堂上信息來(lái)源變得豐富多彩;采用翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式，使學(xué)生帶著準(zhǔn)備進(jìn)入課堂，成為學(xué)習(xí)過(guò)程的中心，主動(dòng)的參與課堂教學(xué)，全面提高課堂的互動(dòng);創(chuàng)設(shè)學(xué)生感興趣的學(xué)習(xí)情境，引導(dǎo)學(xué)生自主探究掌握知識(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情;教學(xué)環(huán)節(jié)，環(huán)環(huán)相扣，層層遞進(jìn)，成功將學(xué)生留在了課堂;任務(wù)驅(qū)動(dòng)、小組合作相結(jié)合突破教學(xué)重難點(diǎn)，真正實(shí)現(xiàn)了做中學(xué)、做中教、教學(xué)做合一。

[參考文獻(xiàn)]

[1]《高等數(shù)學(xué)》——百度百科.

[2]馮穎. 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的微課教學(xué)設(shè)計(jì)，高等數(shù)學(xué)研究. 2017， 20（3）.

（作者單位：廣東科技學(xué)院，廣東 東莞 523000）