信道估計誤差有界時速率損失上界統(tǒng)計特性

徐 娟，姚如貴，高 巖，朱禮亞

1.長安大學(xué) 電控學(xué)院，西安 710064

2.西北工業(yè)大學(xué) 電子信息學(xué)院，西安 710072

1 引言

隨著無線通信業(yè)務(wù)的飛速發(fā)展與多媒體應(yīng)用的急劇增加，所需的無線頻譜資源越來越多，而頻譜資源已變得越來越匱乏，因此，需要研究具有高頻譜效率的傳輸新技術(shù)。在已有的傳輸技術(shù)中，基于認知無線電網(wǎng)絡(luò)[1]或異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)[2]等技術(shù)的多層網(wǎng)絡(luò)頻譜共享技術(shù)[3]，均是可行且有前景的傳輸技術(shù)。

范德蒙子空間頻分復(fù)用（Vandermonde-subspace Frequency Division Multiplexing，VFDM）技術(shù)是一種新提出的提高二層網(wǎng)絡(luò)頻譜效率的頻譜共享技術(shù)[4-5]，宏小區(qū)（Macro Cell，MC）利用塊傳輸系統(tǒng)（例如正交頻分復(fù)用（Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM）系統(tǒng)）中循環(huán)前綴（Cyclic Prefix，CP）對應(yīng)的頻域冗余為小小區(qū)（Small Cell，SC）提供傳輸機會，并且保證SC的傳輸不會干擾自身的正常通信。采用VFDM 后，SC發(fā)射機發(fā)出的信號通過層間預(yù)編碼（Cross-Tier Precoder，CTP）被約束到SC 到MC 干擾信道的零空間里，因此VFDM 也可以被看作一種干擾對齊算法。現(xiàn)有干擾對齊方法是基于空間自由度，而VFDM是基于頻域自由度。

文獻[5]研究了MC 僅有一條通信鏈路時的VFDM系統(tǒng)，提出基于范德蒙德矩陣構(gòu)建CTP的方法。當(dāng)MC存在多條通信鏈路時，文獻[6]提出了一種基于子空間的CTP 設(shè)計方案。當(dāng)存在多用戶時，CTP 設(shè)計可以在SC中的每個發(fā)射端上獨立進行。上述關(guān)于CTP的研究進一步擴展到非協(xié)作的多天線系統(tǒng)中[7-8]。文獻[9]研究了協(xié)作CTP的設(shè)計，可以顯著增加傳輸維度；同時，為了有效利用協(xié)作帶來的傳輸維度提升，研究了更有效的層內(nèi)編碼設(shè)計（Intra-Tier Precoder，ITP）方案，提高整個網(wǎng)絡(luò)的和速率。文獻[10]進一步擴展到多小區(qū)應(yīng)用場景，并借鑒干擾對齊技術(shù)設(shè)計預(yù)編碼矩陣。

然而，以上所有的研究均是基于已知理想信道狀態(tài)信息（Channel State Information，CSI）。在實際應(yīng)用中，CSI 只能通過信道估計的方法獲得，然而由于信道估計誤差、量化誤差、反饋時延等因素的影響，不能獲得精確的 CSI[11]。在非理想 CSI 的情況下，SC 到 MC 的干擾不能完全消除，剩余的干擾泄漏會給MC帶來速率損失。文獻[3]提出了一種信道估計（Channel Estimation，CE）過程，并將估計的信道矩陣作為評估影響VFDM系統(tǒng)性能的依據(jù)。在文獻[9]中，采用與文獻[3]中相同的方法，評估了非理想CSI 條件下的協(xié)作二層網(wǎng)絡(luò)總速率。文獻[3]和[9]中的非理想CSI 條件下的性能評估是通過仿真完成的?？紤]CE誤差服從高斯分布，文獻[12]研究了在信道估計誤差服從高斯分布時干擾泄漏上界的統(tǒng)計特性，建立了MC速率損失與干擾泄漏之間的關(guān)系。基于文獻[9]的研究方法，文獻[13]研究了干擾對齊系統(tǒng)的基于改進最小均方誤差的穩(wěn)健層內(nèi)預(yù)編碼設(shè)計。

實際應(yīng)用中，信道估計誤差往往也是有界的。因此，本文從另外一個角度，理論研究了信道估計誤差有界情況下干擾泄漏對MC 的速率影響。首先推導(dǎo)出了干擾泄漏的上界，然后通過干擾泄漏與MC系統(tǒng)速率之間的關(guān)系，得到MC 系統(tǒng)速率的上界，評估出在估計誤差有界時對MC 系統(tǒng)速率的影響。最后給出了仿真結(jié)果驗證了本文的分析。

2 系統(tǒng)模型

為了集中精力評估估計誤差有界時的系統(tǒng)損失，考慮一個簡單的、但是通用的基于VFDM技術(shù)的二層頻譜共享網(wǎng)絡(luò)，如圖1 所示。第一層網(wǎng)絡(luò)的MC 由一個宏小區(qū)基站（MC Base Station，MBS）和一個宏小區(qū)用戶（MC User，MU）組成，采用K個子載波、循環(huán)前綴長度為L的OFDM 傳輸體制。而第二層網(wǎng)絡(luò)SC 由一個小小區(qū)基站（SC Base Station，SBS）和一個小小區(qū)用戶（SC User，SU）組成。MC 和 SC 共享頻譜，并且MC 對所占頻譜具有優(yōu)先使用權(quán)。為了避免SC對MC產(chǎn)生有害干擾，SC利用CP對應(yīng)的頻域冗余采用VFDM傳輸技術(shù)。為了簡化分析，假設(shè)第一層網(wǎng)絡(luò)MC 中MBS 和所有MU、第二層網(wǎng)絡(luò)SC中SBS配置單天線，且MC和SC均假設(shè)為理想符號級同步。

圖1 基于VFDM的二層網(wǎng)絡(luò)模型

在 MC 和 SC 接收機處接收到的信號y1∈ CK×1 和y2∈ CK×1 可以表示為[3]：

其中，x1∈ CK×1 和x2∈ C(K+L)×1為 MBS 和 SBS 發(fā)射的信號向量；為MU 和SU 接收到的加性高斯白噪聲。分別表示 MBS 到MU、SBS 到 MU、SBS 到SU 和 MBS 到 SU 的信道矩陣，gi表示第i個等效信道的增益，i=0,1,…,K-1；F∈CK×K是離散傅里葉變換矩陣，其中是循環(huán)前綴插入矩陣；T(hsr)∈CK×(K+L)是由信道沖激響應(yīng)構(gòu)成的 Toeplitz 矩陣 (s,r=1,2) ，其形式如下：

為了抑制SC 到MC 的干擾，需要引入CTPC∈C(K+L)×L，因此，SC的發(fā)射向量可寫為：

其中，s2∈C(K+L)×L是 SC 發(fā)送的經(jīng)過 ITP 編碼的，且。

將式（4）代入式（1）中，則可以得到：

其中，第二項為SC 對MU 的干擾。為了消除SC 對MC的干擾，設(shè)計的CTP需要滿足下式：

由式（6）可知，預(yù)編碼器矩陣C必須在H21的零空間內(nèi)，其具體設(shè)計方法在第3章進行介紹。

以上的分析是基于理想CSI條件的。然而，在實際的應(yīng)用中，由于估計誤差、量化誤差或反饋時延，SBS可能無法獲得準確的CSI，獲得的H21是有誤差的，存有誤差的信道矩陣H21可建模為：

由式（5）、式（7）和式（8）可知，在MU 處接收的信號為：

其中第二項ΔH21Cs2為由于信道估計誤差引起的干擾泄漏，干擾泄漏直接影響了MC的系統(tǒng)速率。后續(xù)將會分析信道估計誤差有界條件下的干擾泄漏和系統(tǒng)速率損失的上界。

3 層間預(yù)編碼的設(shè)計

為了保證SC 的傳輸不會干擾MU 的接收，考慮非理想CSI，必須設(shè)計滿足式（8）所示的約束關(guān)系的CTP矩陣[3，6-8]?；谄娈愔捣纸猓⊿ingle Value Decomposition，SVD），H21可以寫為：

其中，U∈ CK×K和V21∈ C(K+L)×(K+L)為酉矩陣，Λ∈CK×(K+L)為對角陣，對角線元素λi，i=1,2,…,K是H?21的K個奇異值，且λ1≥λ2≥…≥λK。令Λ=(Λ10)，其 中Λ1∈CK×K。 令其 中V1∈CK×(K+L)，V2∈CL×(K+L)。因為V21是酉矩陣，所以有則公式（10）兩端同時乘以得到：

因此，層間預(yù)編碼矩陣C可設(shè)計為：

4 有界信道估計誤差對系統(tǒng)速率的影響

4.1 干擾泄漏分析

由式（9）可知，由于信道估計誤差的存在，使得所設(shè)計的CTP 不能完全消除SC 對MC 的干擾，從而引起干擾泄漏，導(dǎo)致系統(tǒng)可達速率降低。本節(jié)重點分析由于信道估計誤差而引起的系統(tǒng)速率損失。首先，令：

由于干擾向量ε的每個符號都有相同的統(tǒng)計性質(zhì)，所以只對其中的任意一個符號進行研究。選擇ε的第i個符號作為分析，則有：

其中，(ΔH21)i表示矩陣 ΔH21的第i行。

當(dāng)信道估計誤差是有界時，令：

第i個發(fā)送符號的干擾泄漏為：

下面簡單分析一下干擾泄漏上界：

公式（16）所示的第i個發(fā)送符號的干擾泄漏可進一步計算為：

其中，e(i)表示C的第i列，第四個等式是基于的假設(shè)得到的。

公式（17）中每一項都有相同性質(zhì)，對第k項分析如下：

由公式（17）和公式（18）可得到第i個發(fā)送符號的干擾泄漏上界為：

4.2 系統(tǒng)速率損失分析

這一節(jié)，首先推導(dǎo)出速率損失與干擾泄漏之間的關(guān)系，然后利用干擾泄漏的統(tǒng)計特性，進一步分析速率損失的統(tǒng)計特性。需要注意的是，基于前面的分析，不同符號的干擾泄漏有相同的統(tǒng)計特性，在以下的分析中，只分析給定符號的速率損失。

考慮非理想信道估計，即存在信道估計誤差時，第i個符號可達系統(tǒng)速率可計算為：

其中，對數(shù)運算符中分子表示第i個接收符號的功率，這里假設(shè)發(fā)射符號是歸一化的。

而理想CSI條件下第i個符號可達理論速率為：

由式（20）和（21）得到，由于非理想CSI造成的速率損失可計算為：

在高信噪比時，公式（22）可以簡化為：

由式（18）和（23）可得到第i個符號速率損失上界為：

5 數(shù)值仿真結(jié)果與分析

本章將給出一些仿真結(jié)果驗證推導(dǎo)過程的正確性。仿真中參數(shù)設(shè)置如下：子載波的數(shù)目K=64，循環(huán)前綴長度L=16。本文數(shù)值仿真采用(L+1)徑Raileigh衰落信道模型，信道沖激響應(yīng)的分布假設(shè)為hsr～。

設(shè)定δmax=0.01，每個MC 符號速率下界的仿真結(jié)果如圖2 所示（以下系統(tǒng)速率均指MC 每個符號的系統(tǒng)速率，且速率下界等于理想速率減去公式（24）所示的速率損失上界）。由圖2 可以看出，在信噪比較低時，MC系統(tǒng)的速率下界與理想CSI 條件下系統(tǒng)可達速率相差不多，主要是因為在低信噪比下，信道噪聲是影響系統(tǒng)速率的主要因素，信道估計誤差帶來的速率損失不顯著。而當(dāng)信噪比較高時，信道估計誤差對系統(tǒng)速率帶來的影響遠大于噪聲帶來的影響，此時理想CSI條件下的MC 系統(tǒng)速率與信道估計誤差有界條件下的系統(tǒng)速率都會隨著SNR的增大而增大，但差距越來越明顯。

圖2 每個MU可達符號速率下界

圖3給出了在δmax=0.01 時，200個信道實現(xiàn)條件下的MC 可達速率。如前面所述，當(dāng)SNR 較小時，系統(tǒng)速率的下界非常逼近理想CSI時系統(tǒng)的速率，但隨著SNR的增大，系統(tǒng)速率下界逐漸低于MC 系統(tǒng)的理想速率，信道估計誤差的影響逐漸顯著。由圖3 還可以看出，MC系統(tǒng)存在信道估計誤差時，得到的速率一直界于理想系統(tǒng)速率（即最大系統(tǒng)速率）與系統(tǒng)速率下界之間，全部覆蓋下界與系統(tǒng)速率的最大值之間的所有可能情況。

圖3 δmax=0.01 時200個信道實現(xiàn)對應(yīng)每MU可達速率

圖4進一步給出了200個信道實現(xiàn)條件下的MC可達平均速率。由圖4可以看出，平均速率界于理想信道速率和系統(tǒng)速率下界之間。

圖4 δmax=0.01 時MC系統(tǒng)可達平均速率

圖5給出了MC系統(tǒng)仿真的平均速率損失和公式（24）推導(dǎo)的理論速率損失上界的對比，以驗證公式推導(dǎo)的正確性。從圖5中可以看出，理論推導(dǎo)的速率損失和真實的速率損失很接近，但又稍微大于真實速率損失，其原因是在推導(dǎo)過程中，為了簡化分析，對公式（23）做了近似。因而得到的公式（24）中的理論速率損失上界是一個稍微放大的臨界值。

圖5 δmax=0.01 時每MU速率損失上界隨SNR變化情況

不同的信道估計誤差，對速率損失上界影響也不同。圖6 給出了符號速率損失上界隨δmax變化的趨勢。由圖6 可以看出，在不同的信噪比和不同的δmax下，理論速率損失上界跟真實的速率損失上界都很接近。在特定的信噪比下，隨著信道估計誤差的上界δmax的增大，速率損失也隨之增大。但是推導(dǎo)的速率損失上界與真實的速率損失上界始終保持一致。當(dāng)信噪比變化時，也會有相同的結(jié)論。上述結(jié)論也進一步證實了理論推導(dǎo)的正確性。

圖6 不同δmax 和SNR時每MC符號速率損失上界

6 結(jié)束語

針對基于VFDM技術(shù)的二層頻譜共享系統(tǒng)，本文研究了在有界信道估計誤差的情況下干擾泄漏對MC 的速率影響。首先研究了信道估計誤差在有界時干擾泄漏的上界，然后建立干擾泄漏與MC系統(tǒng)可達速率之間的關(guān)系，得到MC 系統(tǒng)速率損失的上界，評估出估計誤差有界時對MC 系統(tǒng)速率損失的影響。最后給出了仿真結(jié)果證實推導(dǎo)的正確性。本文研究結(jié)果對評估實際系統(tǒng)性能具有一定的指導(dǎo)意義。下一步擬進一步研究信道估計誤差服從高斯分布或者有界時SC的性能損失評估，以及存在信道估計誤差時的穩(wěn)健設(shè)計。