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    對2017年美國數(shù)學奧林匹克壓軸題的再推廣

    2020-10-19 09:22:40成克勤龐耀輝
    數(shù)理化解題研究 2020年28期
    關鍵詞:正整數(shù)等價實數(shù)

    成克勤 龐耀輝

    (甘肅省蘭州市第七十一中學 730084)

    一、題目再現(xiàn)及其推廣

    原題對滿足a+b+c+d=4的非負實數(shù)a,b,c,d,

    文獻[1]給出上述問題的幾個推廣.

    最后,給出更具一般性的命題及其證明.

    命題如果非負實數(shù)a,b,c,d滿足a+b+c+d=2nk,其中n為任意給定的正整數(shù),k為任意給定的正實數(shù),那么

    二、聯(lián)想再探究

    上述結論是涉及四個非負實數(shù)的不等式,那么聯(lián)想到:n個非負實數(shù)a1,a2,…,an(n≥4)之間是否存在相應的不等式呢?經(jīng)探究得到如下結論.

    定理如果非負實數(shù)a1,a1,…,an(n≥4)滿足a1+a1+…+an=2mk, 其中m為任意給定的正整數(shù),k為任意給定的正實數(shù),

    那么

    下面我們先證明如下引理.

    引理1若a1,a1,…,an≥0(n∈N,n≥4),則4(a1a2+a2a3+…+ana1)≤(a1+a2+…+an)2.

    證明設f(a1,a2,…,an)=4(a1a2+a2a3+…+ana1)-(a1+a2+…+an)2,

    下面用數(shù)學歸納法證明f(a1,a2,…,an) ≤0.

    當n=4時,f(a1,a2,…,an) ≤0

    等價于4(a1+a3)(a2+a4)≤(a1+a2+a3+a4)2,由均值不等式知,命題成立.

    假設當n=k(k≥4)時命題成立,

    則當n=k+1時,不妨設ak=min{a1,a2,…,ak,ak+1},

    于是有

    f(a1,a2,…,ak+1)-f(a1,a2,…,ak-1,ak+ak+1)

    =4[ak-1ak+akak+1+a1ak+1-ak-1(ak+ak+1)-(ak+ak+1)a1]

    =-4[(ak-1-ak)ak+1+a1ak] ≤0,

    故f(a1,a2,…,ak+1) ≤f(a1,a2,…ak-1,ak+ak+1) .

    由歸納假設知

    f(a1,a2,…,ak-1,ak+ak+1) ≤0,

    則f(a1,a2,…,ak+1)≤0,

    故當n=k+1時結論也成立.引理證畢.

    引理2[1]對任意x≥0,都有xm+1-(m+1)kxm+mmkm+1≥0,當且僅當x=mk時等號成立(其中m為正整數(shù),k為正實數(shù)).

    根據(jù)引理2及x≥0可知,不等式x[xm+1-(m+1)kxm+mmkm+1]≥0成立,當且僅當x=0或x=mk時等號成立.

    上述不等式等價于

    (m+1)mmkm+2≥-(xm+1+mmkm+1)[x-(m+1)k],

    從而有

    其中當且僅當

    a1=a2=mk,a3=a4=…=an時等號成立.

    三、應用

    根據(jù)這個定理,我們可以獲得一些有趣的題目的解答或不等式.

    設整數(shù)n>3,非負實數(shù)a1,a2,…,an

    滿足a1+a2+…+an=2,

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