以高考卷談高三備考的幾點建議

何正文

(廣東省肇慶市百花中學(xué) 526020)

筆者參與2020年Ⅰ卷的數(shù)學(xué)評卷工作，對部分學(xué)生在一些題目上犯了一些可以避免的錯誤感到可惜，對部分學(xué)生在一些題目上由于沒有養(yǎng)成良好數(shù)學(xué)思維而缺乏靈便方法感到惋惜，因此在對試卷進行分析和評閱后，筆者歸類為核心概念，數(shù)據(jù)分析，空間想象，數(shù)學(xué)思維五個方面的原因.

一、 核心概念模糊

例1 (2020年全國Ⅰ卷理選擇題第1題)若z=1+i，則|z2-2z|=( ).

解析由題意可得：z2=(1+i)2=2i，則z2-2z=2i-2(1+i)=-2.故|z2-2z|=|-2|=2.故選：D.

此題為試卷第一題，考點為考查復(fù)數(shù)的運算法則和復(fù)數(shù)的模的求解等知識，屬于基礎(chǔ)題.由題意首先求得z2-2z的值，然后計算其模即可，選錯的學(xué)生大部分選擇了C答案，錯誤地將復(fù)數(shù)的模與開方混為一談，這是復(fù)數(shù)相關(guān)概念模糊的典型.

圖1

故選C.

二、建模能力欠缺

圖2

例3(2020年全國Ⅰ卷理選擇題第3題)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為( )

故選：C.

圖3

例4(2020年全國Ⅰ卷理選擇題第12題)若2a+log2a=4b+2log4b，則( ).

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

解析構(gòu)建一條f(x)=2x+log2x函數(shù)模型，則f(x)為增函數(shù)，因為2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b,

所以f(a)

f(a)-f(b2)=2a+log2a-(2b2+log2b2)=22b+log2b-(2b2+log2b2)=22b-2b2-log2b，

當(dāng)b=1時，f(a)-f(b2)=2>0，此時f(a)>f(b2)，有a>b2.

當(dāng)b=2時，f(a)-f(b2)=-1<0，此時f(a)

故選：B.

此題為本題主要考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，涉及到構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是一道中檔題.學(xué)生能不能構(gòu)造f(x)=2x+log2x函數(shù)模型是解決這道題關(guān)鍵.

三、數(shù)據(jù)處理能力不足

例5(2020年全國Ⅰ卷理選擇題第5題)某校一個課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位：℃)的關(guān)系，在20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散點圖：

圖4

由此散點圖，在10℃至40℃之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是( ).

A.y=a+bxB.y=a+bx2

C.y=a+bexD.y=a+blnx

解析由散點圖分布可知，散點圖分布在一個對數(shù)函數(shù)的圖象附近，因此，最適合作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是y=a+blnx.

故選：D.

本題考查函數(shù)模型的選擇，主要觀察散點圖的分布，應(yīng)該屬于基礎(chǔ)題.考生卻選不出正確答案，表面上這是一道根據(jù)散點圖的分布可選擇合適的函數(shù)模型.，其實更加是一道數(shù)據(jù)分析題，學(xué)生能從散點讀出數(shù)據(jù)，與認識的函數(shù)圖象對比數(shù)據(jù)分析，找出答案.

(1)求甲連勝四場的概率；

(2)求需要進行第五場比賽的概率；

(3)求丙最終獲勝的概率.

由對稱性可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等，

本題考查獨立事件概率的計算，解答的關(guān)鍵就是列舉出符合條件的基本事件，考查計算能力，屬于中等題.

(1)根據(jù)獨立事件的概率乘法公式可求得事件“甲連勝四場”的概率；

(2)計算出四局以內(nèi)結(jié)束比賽的概率，然后利用對立事件的概率公式可求得所求事件的概率；

(3)列舉出甲贏的基本事件，結(jié)合獨立事件的概率乘法公式計算出甲贏的概率，由對稱性可知乙贏的概率和甲贏的概率相等，再利用對立事件的概率可求得丙贏的概率.

學(xué)生往往看著今年的概率統(tǒng)計題目從字?jǐn)?shù)比前兩年少，但是數(shù)據(jù)分析卻成為考察難點，18,19年概率統(tǒng)計字?jǐn)?shù)多，但往往提供信息也多，而今年題目短，要分析的內(nèi)容也多，缺乏數(shù)據(jù)分析能力的學(xué)生往往就無從下手.

四、空間想象不足

例7(2020年全國Ⅰ卷理選擇題第10題)已知A,B,C為球O的球面上的三個點，⊙O1為△ABC的外接圓，若⊙O1的面積為4π，AB=BC=AC=OO1，則球O的表面積為( ).

A. 64π B. 48π C. 36π D. 32π

圖4

根據(jù)圓截面性質(zhì)OO1⊥平面ABC，

∴球O的表面積S=4πR2=64π.

故選：A

圖1

本題考查球的表面積，應(yīng)用球的截面性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.需要學(xué)生空間想象能力，由已知可得等邊△ABC的外接圓半徑，進而求出其邊長，得出OO1的值，根據(jù)球截面性質(zhì)，求出球的半徑.

∴CF=CE=1，

本題考查利用余弦定理解三角形，考查計算能力，屬于中等題.需要學(xué)生三維到二維的空間想象能力，在△ACE中，利用余弦定理可求得CE，可得出CF，利用勾股定理計算出BC、BD，可得出BF，這些都是從三棱錐空間中得到等量關(guān)系.

五、數(shù)學(xué)思維缺失

例9(2020年全國Ⅰ卷理選擇題第11題)已知⊙M：x2+y2-2x-2y-2=0，直線l：2x+y+2=0，P為l上的動點，過點P作⊙M的切線PA,PB，切點為A,B，當(dāng)|PM|·|AB|最小時，直線AB的方程為( ).

A. 2x-y-1=0 B. 2x+y-1=0

C. 2x-y+1=0 D. 2x+y+1=0

所以以MP為直徑的圓的方程為(x-1)(x+1)+y(y-1)=0，即x2+y2-y-1=0，兩圓的方程相減可得：2x+y+1=0，即為直線AB的方程.

故選：D

本題主要考查直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運算能力，屬于中檔題.學(xué)生遇到一些P為l上的動點，感覺很迷茫，往往缺乏辯證分析數(shù)學(xué)思維，點到直線距離和半徑比較推出直線與圓相離，挖掘出四點A,P,B,M共圓，且AB⊥MP，根據(jù)|PM|·|AB|=2S△PAM=2|PA|可知，當(dāng)直線MP⊥l時，|PM|·|AB|最小，求出以MP為直徑的圓的方程，根據(jù)圓系的知識即可求出直線AB的方程.步步為營，從條件引結(jié)果，從結(jié)果找條件.順藤摸瓜的數(shù)學(xué)思維是解決這道題關(guān)鍵.

(1)求E的方程；

(2)證明：直線CD過定點.

解析(1)依據(jù)題意畫出如下圖形：

圖1

∴直線CD的方程為：

本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)及方程思想，還考查了計算能力及轉(zhuǎn)化思想、推理論證能力，屬于難題.

從這次2020年全國Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)卷試題，核心概念，數(shù)據(jù)分析，空間想象，數(shù)學(xué)思維五個方面作為著力點，幫助高三學(xué)生理清自身數(shù)學(xué)體系，要知己，還要知彼，在數(shù)學(xué)思維的高度理解題目，找到解題的突破口、解題規(guī)律，分析解題思路，平時教師鼓勵學(xué)生談他們自己的想法和困惑，加強對數(shù)據(jù)分析，空間想象方面的能力.