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    例析立體幾何特殊問題 培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)

    2020-10-19 09:19:08魏敬波張曉帆
    數(shù)理化解題研究 2020年28期
    關(guān)鍵詞:棱柱探索性邏輯推理

    魏敬波 張曉帆

    (河北省趙縣中學(xué) 051530)

    高中數(shù)學(xué)有關(guān)立體幾何題目除常規(guī)的證明平行、垂直,求角、求距離、求面積、求體積等外,還有幾類特殊問題經(jīng)常出現(xiàn)在各類模擬題或高考題中,這些特殊問題對(duì)于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有著獨(dú)到的地位,現(xiàn)歸納整理以饗讀者.

    一、與球有關(guān)的組合體問題

    球是一個(gè)非常完美的幾何體,人們常常將它與一些簡(jiǎn)單的幾何體如柱、錐、臺(tái)等,通過內(nèi)切或外接的方式組合成新的幾何體,使其能夠更加深入地考查空間幾何關(guān)系與度量計(jì)算.一般的幾何體與球切、接問題的求解方法是把空間問題化歸為平面問題,再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系.

    例1直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上,若AB=AC=AA1=2,∠BAC=60°,則此球的表面積等于____.若改為∠BAC=90°,其它條件不變,如何求?

    圖1 圖2

    例2若底面為等邊三角形,側(cè)面均為矩形的三棱柱的各面均與半徑為r的球相切,求此棱柱的體積.

    點(diǎn)評(píng)(1)涉及球與棱柱、棱錐等多面體的切、接問題時(shí),一般過球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線做截面;球與旋轉(zhuǎn)體的切、接問題可以通過作它們的軸截面解題,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解.(2) 與球有關(guān)的組合體問題,通過幾何體的直觀圖或截面圖,確定球心的位置或通過補(bǔ)形法(補(bǔ)形為三棱柱,長(zhǎng)方體,正方體等),再找到球的半徑(或直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系,列方程(組)求解.(3)與球有關(guān)的組合體問題意在提高學(xué)生的推理論證能力和空間想象能力,提升其邏輯推理和直觀想象等核心素養(yǎng).

    二、最值問題

    最值問題是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容,幾乎滲透到每一章,是高考熱點(diǎn)之一,在歷年高考中多次出現(xiàn).立體幾何中的典型最值問題同樣要引起我們的注意.

    1.借助側(cè)面展開,化曲為直

    解決多面體(旋轉(zhuǎn)體)不同面的表面上兩點(diǎn)間的最短距離問題,往往把立體圖形展成平面圖形,這是解決立體幾何問題最常用方法,然后利用平面上兩點(diǎn)間的所有連線中直線段為最短的方法找到所求距離,再通過構(gòu)造三角形來求最值.

    例3已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1,AB=a,BC=b,BB1=c,并且a>b>c>0,現(xiàn)有一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿長(zhǎng)方體表面爬行至C1點(diǎn),求它的最短行程是多少.

    解將長(zhǎng)方體相鄰兩個(gè)面展平有下列三種可能,如圖3所示.

    三個(gè)圖形中AC1的長(zhǎng)分別為

    圖3

    2.轉(zhuǎn)化為函數(shù),利用性質(zhì)或公式.

    圖4

    C.2 D.3

    因此體積V取最大值時(shí)h=2.故選C.

    當(dāng)且僅當(dāng)24-2a2=a2時(shí)取等號(hào),即a2=8,此時(shí)SO=2.故選C.

    點(diǎn)評(píng)將棱錐體積表示為單變量函數(shù)是利用函數(shù)性質(zhì)解題的關(guān)鍵,再根據(jù)函數(shù)類型尋求相應(yīng)的方法去求最值.這一過程中導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用以及基本不等式等相關(guān)知識(shí)得到夯實(shí),推理論證能力得以提高,邏輯推理素養(yǎng)、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和運(yùn)算素養(yǎng)得到發(fā)展.

    三、軌跡問題

    在知識(shí)的交匯處命題是高考的一個(gè)常見題型,以空間圖形為載體求軌跡問題無疑是立體幾何與解析幾何的一個(gè)絕妙結(jié)合,它不僅要求學(xué)生對(duì)立體幾何和解析幾何有關(guān)知識(shí)了然于胸,而且要求學(xué)生思維敏捷,靈活多變.

    例5P是正方體ABCD-A1B1C1D1側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),若P到直線BC與直線C1D1的距離相等,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是( ).

    A.橢圓 B.圓

    C.雙曲線 D.拋物線

    解如圖5,由正方體可知P到直線C1D1的距離即P到C1的距離,所以在平面BB1C1C內(nèi)P到定點(diǎn)C1的距離與P到定直線BC的距離相等,由拋物線定義知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡所在的曲線是拋物線,故選D.

    圖5 圖6

    例6定點(diǎn)A和B都在平面α內(nèi),定點(diǎn)P?α,PB⊥α,C是α內(nèi)異于A和B的動(dòng)點(diǎn),且PC⊥AC,那么動(dòng)點(diǎn)C在平面α內(nèi)的軌跡是( ).

    A.一條線段,但要去掉兩個(gè)點(diǎn)

    B.一個(gè)圓,但要去掉兩個(gè)點(diǎn)

    C.一個(gè)橢圓,但要去掉兩個(gè)點(diǎn)

    D.半圓,但要去掉兩個(gè)點(diǎn)

    解如圖6,連接BC,因?yàn)镻B⊥α,所以PB⊥AC.又PC⊥AC,由線面垂直的判定定理得AC⊥平面PBC,從而AC⊥BC.又C是α內(nèi)異于A和B的動(dòng)點(diǎn),所以動(dòng)點(diǎn)C在平面α內(nèi)的軌跡是以AB為直徑的圓但要去掉A和B兩點(diǎn),故選B.

    點(diǎn)評(píng)此類問題設(shè)計(jì)匠心獨(dú)具,形式新穎,很好地將立體幾何知識(shí)與解析幾何中拋物線、圓等曲線的定義結(jié)合在一起,考查學(xué)生從新背景去發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力,是在知識(shí)交匯處命題、提升學(xué)生直觀想象和數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)的很好范例.

    四、探索性問題

    以已知結(jié)論尋求成立的條件或判斷是否存在等類型的探索性問題,考查邏輯推理能力、空間想象能力以及探究能力,屬中高檔問題.探索性問題能有效地檢測(cè)考生的創(chuàng)新能力、直覺思維能力,也是高考十分關(guān)注的一種命題方式.

    對(duì)于探索性問題,常常是先假設(shè)存在,然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理.若由此導(dǎo)出矛盾,則假設(shè)不成立,否則給出肯定結(jié)論.

    例7(2014年湖北高考)如圖8,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn),M,N分別是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中點(diǎn),點(diǎn)P,Q分別在棱DD1,BB1上移動(dòng),且DP=BQ=λ(0<λ<2).

    圖8 圖9

    (1)當(dāng)λ=1時(shí),證明:直線BC1∥平面EFPQ;

    (2)是否存在λ,使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,說明理由.

    點(diǎn)評(píng)(1) 向量本身就是利用代數(shù)法研究幾何問題,所以空間向量最適合于解決立體幾何中的探索性問題,它無需進(jìn)行復(fù)雜的作圖、論證、推理,只需通過坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷.降低了對(duì)空間想象能力的要求,提高解題效率.

    (2)解題時(shí),把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件,據(jù)此列方程或方程組,把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解,是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等,使問題的解決更簡(jiǎn)單、有效.

    (3)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量解決問題的過程是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力的過程,對(duì)于提升學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)大有裨益.

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