對一道經(jīng)典競賽題的商榷

邵 韜

(浙江省寧波市鄞州中學(xué) 315100)

一、對一道競賽題的質(zhì)疑

在高中物理磁場這一章，有這樣一道競賽題：

如圖1所示，質(zhì)量為m，帶電量為q的正點(diǎn)電荷在水平面上運(yùn)動，受到的阻力f=-kv.有一寬度為d的帶狀區(qū)域內(nèi)存在方向垂直于水平面向里，大小為B的勻強(qiáng)磁場.問質(zhì)點(diǎn)要穿過MN區(qū)域，初速度v0至少要多大，方向θ0如何？

當(dāng)前的解析是由動力學(xué)方程出發(fā)，寫出動量微分關(guān)系

在x方向上：-qvyB-kvx=max?-qΔyB-kΔx=mΔvx

在y方向上：qvxB-kvy=may?qΔxB-kΔy=mΔvy

考慮到剛好穿過MN區(qū)域時(shí)速度為零，對上式求和并代入始末條件

在x方向上： -qBd-kx=0-mv0cosθ0

在y方向上：qBx-kd=0-mv0sinθ0

筆者認(rèn)為解析中對穿出磁場時(shí)速度為零的假設(shè)存疑.恰好穿出磁場時(shí)速度的豎直分量為零，水平分量一定為零嗎？

二、對粒子運(yùn)動軌跡的研究

考慮到阻力始終與速度方向共線，洛倫茲力始終垂直于速度方向，建立自然坐標(biāo)系.設(shè)t時(shí)刻粒子的速度為v，如圖2.

角速度恒定，可設(shè)t時(shí)刻速度方向與x軸正方向的夾角為θ=ωt+θ0

粒子在xy方向上均做欠阻尼振動，速度不可能同時(shí)為零，僅在t→∞時(shí)，速度v→0，靜止于某一點(diǎn)Q

由分部積分法可推導(dǎo)積分公式

得位移在直角坐標(biāo)系中的分量

三、對習(xí)題的釋疑

現(xiàn)在來解答本題，粒子剛好出磁場時(shí)vy=0，且第一次到達(dá)最高點(diǎn)，則ωt1+θ0=π

代入時(shí)刻t1，滿足關(guān)系

本式表明，粒子恰好能出磁場時(shí)，不同的入射方向θ0時(shí)所對于的初速度v0不同.仍然設(shè)定參數(shù)ω=1rad/s，k=0.1kg·s-1，m=1kg，并取d=1m，通過matlab軟件繪制θ0-v0圖，如圖4.由圖得當(dāng)v0min=0.579m/s，此時(shí)θ0=0.180rad.題目的設(shè)計(jì)者本身是想考察物理學(xué)習(xí)者對臨界思想在動量微分關(guān)系上應(yīng)用技巧，但未考慮粒子運(yùn)動的復(fù)雜性，因此本題只能從動力學(xué)方程入手求解.